Homeworks 駒場ミクロ2016

ミクロ経済学第 ₂ 回課題解答

今井 陽介

2016

11

8

1 _基礎問題

1.「労働の限界生産性」とは、ある投入計画から労働投入量をさらに1単位増やしたときの生産量の増分 を指す。

2. 生産投入量を一律t倍(t > 0)したときの生産量が、もとの生産量のt倍を上回る場合を「規模に関し て収穫逓増」という。それに対して、もとの生産量のt倍と等しくなる場合を「収穫一定」、下回る場 合を「収穫逓減」という。

3. 小問3, 4では、資本量K ∈ ℜと労働量L ∈ ℜを投入して、1財のみを生産する場合を考える。生産関 数をf : ℜ²→ ℜ、生産物価格、資本価格と名目賃金率の組を(p, r, w) ∈ ℜ³とする。このとき、要素需 要関数x : ℜ³→ ℜ²と供給関数y : ℜ³→ ℜは以下の様にして定義することができる。

(x_K(p, r, w), xL(p, r, w)) ≡ argmax

(K,L)∈ℜ²

[pf (K, L) − rK − wL]

y(p, r, w) ≡ f(xK(p, r, w), xL(p, r, w)⁾

4. 生産水準をq ∈ ℜと表すと、費用関数C : ℜ³→ ℜと生産量条件付き要素需要関数z : ℜ³→ ℜ²は以 下の様に定義できる。

C(r, w, q) ≡ min

(K,L)∈V (q)^{[rK + wL]}

(z_K(r, w, q), z_L(r, w, q)) ≡ argmin

(K,L)∈V (q)

[rK + wL]

ただしV (q) ≡{(K, L) ∈ ℜ²f (K, L) = q^}

5.「限界費用」とは、ある生産量から1単位さらに生産量を増やしたときにかかる費用の増分を指す。他 方で「平均費用」とは、生産が行われるときに総費用を生産量で割った値を指す。

6.「可変費用」とは、生産量に応じて変化しうる費用のことである。これに対して、「固定費用」とは生産 量に関わらず企業が支払わなくてはならない費用を指す。

2 _標準問題

2.1

【同書の解答・解説を参照】

2.2

1. 市場価格532が175より高いので、演習問題2.4(3)(b)より従量税導入前の最適生産量は22である。 つぎに従量税を入れたときの企業行動を考える。従量税導入後の費用関数は(x³− 30x²+ 400x +

4000) + 132xとなる。固定費用がすべてサンクされないため、生産量がゼロ(x = 0)のときの費用は

4000、利潤は-4000となる。他方で、x > 0のとき、一階条件は 532 = p = 3x²− 60x + 532

となり、これより最適生産量は20となる。このときの費用はC(20) = 10640で利潤は0となるので、 課税後の企業の最適生産量は20となる。以上から企業の最適生産量は、従量税の導入によって22から 20へと減少した。■

2. 政府による直接課税は、企業がいかなる生産活動をしたとしても課せられるものである（たとえ生産量 がゼロであっても課せられる）。よって、企業の生産活動に直接的に影響を与えることはないため、最 適生産量は22からは変化しない。■

3 _発展問題

1. (i)ρ = 1のとき

f (K, L) = αK + (1 − α)Lは明らかに線形関数である。□ (ii)ρ → 0のとき

log[ lim

ρ→0f (K, L)] = lim

ρ→0log[f (K, L)] (∵ logの連続性)

= lim

ρ→0

log[αK^ρ+ (1 − α)L^ρ]

ρ ⁽¹⁾

= lim

ρ→0

log[αK^ρ+ (1 − α)L^ρ] − log[αK⁰+ (1 − α)L⁰] ρ

= ^d

dρ^[log[αK

ρ_{+ (1 − α)L}ρ_]^]

   ρ=0

=^αK

ρlog K + (1 − α)L^ρlog L αK^ρ+ (1 − α)L^ρ

   ρ=0

(∵合成関数の微分公式)

= log[K^αL^1−α]

∴_lim

ρ→0f (K, L) = K^αL^1−α

【別解】

牛刀をもって鶏を割くようではあるが、(1)式にロピタルの公式を利用することもできる。

(1) = lim

ρ→0 d

dρ^[log[αK

ρ_{+ (1 − α)L}ρ_]^] d

dρ^[ρ]

= lim

ρ→0

αK^ρlog K + (1 − α)L^ρlog L αK^ρ+ (1 − α)L^ρ

= log[K^αL^1−α] □

(iii)ρ → −∞のとき

一般性を失わずにmin[K, L] = Kを仮定する。このとき

ρ→−∞lim f (K, L) = K lim

ρ→−∞[α + (1 − α)(^L K⁾

ρ_]¹_ρ

= K (∵ K ≤ Lから(^L

K⁾

ρ→ 1 as ρ → −∞)

∴ _lim

ρ→−∞f (K, L) = min[K, L]■

2. CES型生産関数規模に関して収穫一定であることを示すには、∀t > 0, f (tk, tL) = tf (K, L)を満たす ことを示せばよい^*1。いま任意のt > 0について

f (tK, tL) = [α(tK)^ρ+ (1 − α)(tL)^ρ]^1ρ

= t[αK^ρ+ (1 − α)L^ρ]^ρ1

= tf (K, L)■

3. {

fK(K, L) = αK^ρ−1[αK^ρ+ (1 − α)L^ρ]^1−ρρ

f_L(K, L) = (1 − α)L^ρ−1[αK^ρ+ (1 − α)L^ρ]^{1−ρρ (2)} (2)式より、ζKLの分子は以下の通りとなる。

fK(K, L)/fL(K, L)

K/L ⁼

α 1 − α⁽

K L⁾

ρ−2

またζKL^{の分母についても}(2)式から以下の様に計算できる。

∂[fK(K, L)/fL(K, L)]

∂[K/L] ⁼

∂

∂[K/L] [ α

1 − α⁽ K

L⁾

ρ−1_{] =} ^{α(1 − ρ)}

1 − α ⁽ K

L⁾

ρ−2

∴_ζKL= ¹ 1 − ρ 次にρの経済学的な含意を考える。いま

ζKL= −

∂[K/L] K/L

∂[f_K(K, L)/f_L(K, L)] fK(K, L)/fL(K, L)

(3)

と変形すると、(3)式の分子は資本・労働比率の変化率を表すことがわかる。また分母は、資本の労働 に対する（技術的）限界代替率の変化率を指す。利潤最大化問題おける一階条件から、分母は資本と労 働の価格比に等しい^*2。よってζは、資本と労働の価格比の変化率に対する、資本・労働の投入量比率 の変化率を表す。これを「代替の弾力性」という。CES型関数はその名前の通り、この弾力性が常に

1

1−ρ に一定に保たれる特殊な関数である。故に、ρも価格比率の変化に伴う資本・労働比率のある種の

「相対的な反応度」を表しているといえる。■

*1このような関係を満たす関数を、1 次同次な (homogenous of degree one) 関数という。

*2奥野正寛編『ミクロ経済学』p.111-112 を参照。

4. 生産水準をq ∈ ℜとおくと、費用最小化問題は以下の様に定式化できる。

minK,L^{[rK + wL]}

s.t.f (K, L) = [αK^ρ+ (1 − α)L^ρ]^ρ1 = q

ラグランジュアンL(K, L, r, w, q, λ) ≡ rK + wL + λ{q − f (K, L)}を設定して、LをK, Lについて 偏微分すると、以下の一階条件が導出される。

{r = λfK(zK, zL)

w = λfL(zK, zL) ⁽⁴⁾

∴ ^zK z_L ⁼

{ (1 − α)r αw

}_ρ−1¹

(5)

(5)式を制約式f (K, L) = qに代入すると、以下の条件付き要素需要関数を求めることができる。











zK(r, w, q) = ^(αw)

1 ρ−1

x(r, w) ^q zL(r, w, q) = ^{{(1 − α)r}}

ρ−11

x(r, w) ^q

(6)

ただしx(r, w) ≡ [α{(1 − α)r}^ρ−1ρ + (1 − α)(αw)^ρ−1ρ ]^1ρ さらに(6)式を目的関数rK + wLに代入すると、以下の費用関数を得る。

C(r, w, q) = ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α) ^q

■ 5. (4)式を変形すると

r

fK(zK, zL)^{= λ =} w fL(zK, zL) となる。ここで、λ = _f ^w

L(zK,zL)^{に注目する。するとfLは、労働投入量を1}単位増やしたときの生産 量の増分を表すのであった（労働の限界生産性）。よって _f ¹

L(zK,zL) は、最適な資源投入が達成されて いるもとで、さらに（労働力だけを使って）1単位生産量を増やすときに新たに必要となる労働投入量 を表す。つまりλは、1単位余分に生産を行ったときの「最小化された費用」の増分を指すことにな る^*3。_f ^r

K^(zK,zL^{) = λ}についても同様のことが言える。一階条件からも明らかなように、最適な労働・ 資本投入量においては、1単位の生産量増加を資本投入のみで賄ったときの「最小化費用」の増分と、 労働投入量のみで賄ったときのそれとが等しくなっている。■

*3実は効用最大化問題でのラグランジュ乗数にも、同様の経済学的な含意（「シャドウプライス」）がある。この含意に興味のある人 は、奥野正寛編『ミクロ経済学』p.46-47 や神取道昭著『ミクロ経済学の力』p.44-47 を参照してほしい。

6. 小問4での費用関数を用いると、利潤最大化問題は以下の様に定式化できる。

maxq [pq − C(r, w, q)] = max

q

[

p − ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α) ]

q

供給関数と利潤関数をそれぞれy(p, r, w), Π(p, r, w)と表す。Πがqに関する線形関数であるので、単 純にqの係数の正負で場合分けをすればよい。故に

y(p, r, w) =



















φ if p > ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α) t ∈ ℜ+ if p = ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α) 0 if p < ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α)

Π(p, r, w) =







+∞ if p > ^{{x(r, w)}}

ρ−1

α(1 − α)

0 otherwise

■