物理II（電磁気学） Kaneshita's Class exercise01

No.1 物理 II 演習 月 日 2– 科 番 / 名前

ポイント１：力を考えるとき，「加害者」と「被害者」の違いに注意する．

=⇒ ^{「加害者」=}力を及ぼす人， 「被害者」＝力を受ける人=力を及ぼされる人 ポイント２：図示するとき，ベクトルの始点は「被害者」にとる．

ポイント３：成分分解_{=⇒ [}大きさ A_{] × [}単位方向ベクトル(cos θ, sin θ)] =⇒ ⃗^A= (A cos θ, A sin θ)

1 （静電気力の基本：語句） 次の問いに答えよ．

(1) 次の語句の意味を説明せよ：電荷，電気量，帯電，電気素量，電荷保存則，クーロン力． (2) 負電荷と負電荷の間に働く力は引力か斥力か．

(3) 電子1個の電気量は何Cか．また，電子10個ではどうか． (4) クーロン定数 kの単位を書け．

2 （力の考え方：被害者と加害者） 空間上の点 A の位置に点電荷q1 _{が置かれ，点}Bの位置にq2 _が置か

れているとき，次のそれぞれの場合に対して「被害者」と「加害者」を答えよ．位置A，Bとそこに置 かれた電荷を区別して答えよ．

(1) Bの点電荷（^q2）が A の点電荷（^q1）から受ける力を考える．

(2) Bの点電荷がA の点電荷に及ぼす力を考える．

(3) A の点電荷がBの点電荷から受ける力を考える．

(4) Bの点電荷にA の点電荷が及ぼす力を考える．

3 （クーロン力：成分分解） 真空中の原点(0, 0) に点電荷q0 [C]が置かれ，点(1, 0)にq1_，点(1, 1) にq2

[C]が置かれている．次の各問いに答えよ．ただし，q0, q1, q2 >0 でクーロン定数はk0 _{として計算せよ．}

(1) 電荷 ^q1（被害者）が電荷^q0（加害者）から受ける静電気力の大きさ^F⃗10 はいくらか．また，^F⃗10 を成 分で表せ．

(2) 電荷 q2_{（被）が電荷} q0（加）から受ける静電気力の大きさF^⃗20

^{はいくらか．また，}

F⃗20 _{を成分で表せ}

(3) 電荷 q1 _が電が q2 から受ける静電気力の大きさ F^⃗12

^{はいくらか．また，}

F⃗12 _{を成分で表せ}

4 （クーロン力：合成1） 真空中のA(1, 0)の位置に点電荷 q1 [C]が置かれ，_{B(−1, 0)}の位置にq2 [C]が 置かれているとき，次の各問いに答えよ．ただし，長さの単位はm，クーロン定数は k0 _とする．

(1) Bの点電荷が Aの点電荷に及ぼす力 F^⃗1 を図示せよ．また，ベクトルF^⃗1 _{の成分表示と大きさ}

F⃗1

  ^を求 めよ．

(2) Bの点電荷が Aの点電荷から受ける力^F⃗2 を図示せよ．また，ベクトル ^F⃗2 の成分表示と大きさ^F⃗2を 求めよ．

(3) 原点(0, 0) に点電荷 q3 を置いたときにこの電荷が受ける力F^⃗3 を図示せよ．また，ベクトル F^⃗3 _の成分

表示と大きさF^⃗3

^{を求めよ．}

(4) q1 = q2 _{として，点}(0,^√3)に点電荷q4 を置いたときにこの電荷が受ける力F^⃗4 を図示せよ．また，ベク トル F^⃗4 _{の成分表示と大きさ}

F⃗4

^{を求めよ．}

5 （クーロン力：合成2） 真空中の3点A，B，Cにそれぞれ q [C]の点電荷を置いた．AB = AC = 5 m，

BC = 8 mとして，Aの点電荷に働く静電気力の大きさを考える．クーロン定数はk0_{として，以下の問}

いに答えよ．

(1) A の点電荷に働く静電気力の大きさはいくらか．

(2) Cの電荷を _{−q [C]}に置き換えたとき，A の点電荷に働く静電気力の大きさはいくらか．

————————— 解答 1 ————————— (1) 電荷：物体が持つ電気．

例：「電子は電荷をもっている．」 電気量：電荷の量．

例：「電子の電気量は_{−1.6 × 10}⁻¹⁹ Cです．」 帯電：物体が電荷をもつこと．

例：「ガラス棒が帯電した．」

クーロン力：電荷の間に働く力．静電気力．

電気素量：電子の電気量の大きさ．電荷の基本単位． お金でいうと1円のようなもの．

電荷保存則：帯電体同士の電荷のやり取りにおいて， その前後で電気量の総量が変化しないこと．

(2) 斥力 (3) 1.6 × 10⁻¹⁹C, 1.6 × 10^{−18 C} (4) k = F r²q⁻¹1 q⁻¹2 [N][m²][C⁻²]よって N m² C⁻²

————————— 解答 2 —————————

(1) 加: q1_，被: q2 (2) 加: q2_，被: q1

(3) 加: q2_，被: q1 (4) 加: q1_，被: q2

————————— 解答 3 —————————

(1) クーロンの法則より^F⃗10 ₌ ^k0q1q0

1^{2 = k0q1q0．} q0_{（加）から} q1（被）に向かう単位ベクトルは⃗a= (1, 0)．よって，F^⃗10= k0q1q0⃗a= (k0q1q0,0)． (2)

F⃗20

   =^k0

q2q0

√2^{2 =} 1

2^k0q2q0．

q0_{（加）から} q2（被）に向かう単位ベクトルは

⃗b = (cos 45^◦,sin 45^◦) = (_√

2 2 ^,

√2 2

)

．

∴ ⃗F20= ¹

2^{k0q2q0⃗b =} (_√

2k⁰q2q0

4 ^,

√2k⁰q2q0

4 )

．

(3) 大きさ：F^⃗12

 =^k0q1q2．

q2_{（加）→ q}1（被）の単位ベクトル：⃗c_{= (0, −1)}．

∴ ⃗_F12= k0q1q2⃗c_{= (0, −k}0q1q2)．

————————— 解答 4 —————————

(1) q² から q1 に向かう単位ベクトルを⃗aとする と，^⃗a= (1, 0)．^q1 に働く力は，クーロンの法 則より，^F⃗1= k0

q1q2

2^{2 ⃗aである．よって，答え} はF^⃗1=^{( 1}

4^k0q1q2,0 )

，F^⃗1

   =

1

4^k0|q1q2|．

(2) 前 問 と 同 様 に し て ，q2 _{に 働 く 力 は}

F⃗2 = k0

q2q1

2^{2 (−⃗a) = −} k0q1q2

4 ^{⃗aとかける．} よって，答えは

F⃗2 = (

−^k0q1q2 4 ^,0

)

， 

F⃗2

   =

1

4^k0|q1q2|．

(3) 前問と同様にして，q1_，q2 _{から受ける力}

f⃗31_，f^⃗32 を 求 め る と ，^f⃗31= k⁰q3q1_(−⃗a)，

f⃗32= k0q3q2⃗a．これらの和を考えると ^q3 に 働く力 F^⃗3 _は F^⃗3 = k0q3(q2 _{− q}1)⃗a とかけ る．したがって，F^⃗3 = (k0q3(q2 _{− q}1), 0)， 

F⃗3

 =^k0|q^3(q2− q¹)|^．

(4) q¹ _{→ q}⁴ 方向の単位ベクトルを^⃗b，^q2 _{→ q}⁴ 方 向の単位ベクトルを^⃗cとする．三角比を使う と，

⃗b = (− cos^π3^,sin π

3) = (−¹2^,

√3 2 ⁾

⃗c= (cos^π₃,sin^π₃) = (¹₂,^√₂³)

q4 _が q1_，q2 から受ける力はそれぞれ f⃗41_{= k}0

q4q1

2^{2 ⃗b = (−} 1

8^k0q4q1,

√3

8 ^k0q4q1). f⃗42= k0

q4q2

2^{2 ⃗c= (} 1

8^k0q4q2,

√3

8 ^k0q4q2). q1_{= q}2 として，これらの和を考えると， F⃗4 =

( 0,

√3 4 ^k0q4q1

)

．F^⃗4

   =

√3

4 ^k0|q^4q1|^．

B A

60°

x

y

F1

F₂ ^60°

60°

F₃ F₄

→a

１

→b

60° 60°

→

c

60°

b cos 60° b sin 60°

→b

f41 f21

（注意）実際の力の向きは矢印と逆になることもある．そ の場合は，力の大きさの式に実際の数値を入れると負に なるだけである．数値を入れるまでは，とりあえずこの 向きにとっておけばよい．

————————— 解答 5 —————————

B → A^，C → A ^{方向の単位ベクトルを⃗b，⃗c とする．} (1) A の電荷 が B，C の電荷から受ける力の和

を考えると， F⃗ = k0

qq

5^{2(⃗b + ⃗c)，}   

F⃗ ₌ ^k0q

2

25   ^{⃗b + ⃗c}

  ^.

したがって，⃗b + ⃗c が分かれば F^⃗ の大きさ が求まる．ここで，BC の中点を M とする と^−→CA = 5⃗c，^−→BA = 5⃗b より，

−−→MA = 5 ×¹₂^{(⃗b + ⃗c)．} よって，sin B = ^AM

AB ⁼

5 2

  ^{⃗b + ⃗c}

   5⃗b ^． これより

  ^{⃗b + ⃗c}

 = 2 sin^{B   ⃗b}

   = 2 ×

√5²_{− 4}² 5 ^{× 1 =}

6 5 となるので，^F⃗ ₌ ^6k0q

2

125 ^.

A

B ^x

y

ABC と相似な三角形

→

c

C B

→

b

f

^f

→ →

( )/2 b+c

M _C

5

4 4

→ →

b

c

(2) Aの電荷が B，Cの電荷から受ける力の和は F⃗ = k0

q²

25^{(⃗b − ⃗c)．}

ここで，^⃗b，_|⃗c|，_{⃗b − ⃗c}の3辺からなる三角 形は，三角形 ABCと相似である．辺の比よ り，

⃗b − ⃗c = 8 5   ^⃗b

   =

8 5

となるので，答えは^F⃗ ₌ ^8k0q

2

125 ^.