stat0509 最近の更新履歴 kskoya3

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じげざ 複数 離散確率変数

 同時確率関数 周辺確率関数

 共分散 相関

 独⽴性

じげじ 代表的 離散確率変数・確率分布

 ルヌーイ確率変数

 ⼆項分布

 ポア ン分布

じげし 期待値 計算ルール

ざ

じげざ 複数 離散確率変数 paるら 。さ~

。ざ⾴ 定義じげす

を周辺確率関数 ぶ 個々 確率変数 確率関数

。し⾴ 表じげさ

同時確率関数 周辺確率関数 関係

同時確率関数 周辺確率関数

 確率変数 , を考え

 複数 離散確率変数 関 同時確率関数

,

3

＝ ＝

_⾏和

＝

＝

列和

顧客 男性 店 サービ 満⾜

,

顧客 男性 ⼥性

周辺確率関数 0, 男性

さ, ⼥性

顧客 :

^{X =}

^{Y =}

離散確率変数 共分散 ^{。じ⾴ 定義じげ6}

Cov , 確率変数 X ^Y 関係 強 を表

離散確率変数 相関係数 共分散 単位 影響を排除

。じ⾴ 定義じげ、

確率変数 X ^Y を

標準化 共分散

, ^{Cov ,}

V V

E E 期待値

Cov , E E E E E E

5

無相関 相関係数 ロ＝共分散 ロ

Cov , E E E

①

確認

相関係数 ロ Cov( X, Y ) = 0_，

従 ，① E E E

① Cov , ，従 相関係数 ロ 無相関 確認

 ⼀般 ，E[ X Y ] ≠ E[ X ] E[ Y ]

, ^{Cov ,}

V V

E E E 無相関

独⽴性 確認 ^{。6⾴ 例題 じげざ}

X^{の周辺確率関数}

^×

=

X^と Y ^{の同時確率関数}

ここを確認する

表中 ⼀箇所 等号 成⽴ 独⽴ い

定義 じげ。 離散確率変数 独⽴性

 同時確率関数 周辺確率関数 積 表現

確率変数 互い 独⽴ 分布 い

,

7

共通

^{X Y}

E .

共分散 計算 ざ ⽅法

 E E 期待値

. . . .

⋯ . . . Cov , E – E – E

E

 Cov , E E E 共分散

E . ⋯ . .

E E .

• 条件付 確率 定義じげそ 。、⾴

• 条件付 期待値 定義じげさ0 。、⾴

•

•

じげし 期待値 計算ルール

等号 独⽴ あ い 無相関

導出 そ。〜そそ⾴

ぞ

^{X Y}

期待値 性質 _{独⽴ 分布}

9

,

標準化 確率変数 共分散 離散確率変数 相関係数

, ^,

を標準化 ,

じげじ 代表的 離散確率変数・確率分布 ルヌーイ確率変数 。そ⾴

 ルヌーイ試⾏

• 試⾏ 結果 ⼆種類 い 例︓成功・失敗 表・裏 上昇・下落

• _{各試⾏ 確率分布 同} P(_成功)＝p _{, P}(_{失敗)＝1－}p

• 各試⾏ 独⽴

期待値 分散

X _{ルヌーイ確率変数 成功確率} p E[

X

期待値

分散 ^V[

^X

コインを投 表 , 裏

， コインを 回投 を考え

11

回投 何回表 出 ︖

, … , , 表

, 裏

 結果 ^X₁ ^X₂ う

実現 変わ

^,, , ^, ,

, ,

 回⽬ 回⽬ 独⽴ 考え 同時確率関数

, ^,

^,, ,

第 回⽬ い

う 成功回数 関 確率変数を⼆項確率変数 ぶ

 ⼆項分布 そさ⾴

問題︓

^x

^n-x

x n

x

p

p

x

n

p

p

p

x

p

p

p _{ }

 









 ^{  (  1   )  ( 1    )   ( 1    ) ( 1 )}







独⽴ ルヌーイ試⾏を

ⁿ

ⁿ

^X

^p

 x

^n-x

13

確率を特徴 ラメータ ⺟数

^{n p}

⼆項分布 呼び

B(n, p)

 n

^x

6。⾴ しげさ、

)!

(

!

!

x

n

x

n

x

C

n

n

 _ ^ _ ^  _{ }

X _{~ B(n, p) X}

_{B(n, p)}

問題︓

ⁿ

x

^n-x

(4.20)

!

! !

 分布 形状 図じげし ⼆項分布 確率関数 そし⾴

あ 平均的 ⼒⼠ ⼀場所何勝 ︖

• ⼒⼠ い 平均像

• 0勝，さ勝，，，さす勝 確率 ︖

⼆項がてinomia」き分布 実際 結果 ⽐較

.

Winninる isnʼt らvらrytれinるぞ でorruption in sumo wrらst」inる

とuるるan お ばらvitt がざ00ざき づmらrican どconomic Rらviらw, そざ, さすそじけさ60すげ

15

証明 そそ⾴ う 値 , , … ,

がじげざさき ⋯

~ 場合， 期待値 平均 ，分散 がじげざざき 証明 そそ~さ00⾴

がじげざしき _{証明 さ00⾴}

定理じげさ ⼆項確率変数 期待値 分散 そざ⾴

例題じげし アル イト ⽇数 そじ⾴

 う⼀ 期待値 求 ⽅

⼆項分布 仕組 を利⽤

 成功確率

^p

ⁿ

 独⽴ ルヌーイ確率変数 和



,

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ポア ン分布 そす⾴

• _{事故や災害} 件数 離散的 頻度 ⼩ い

• 稀 起 い事象

起 回数を考え 利⽤ 分布

確率変数 う 値 離散的 ⾮負 整数 0,さ,ざ,… あ 確率関数

あ え 確率変数 ポア ン分布

従 い

定義じげさざ ポア ン分布 そ6⾴

(4.24)

18

ポア ン分布 い

e

→

期待値・分散

• 平均 分散 同 値

• 単位時間あ 事象 平均的 何回起

• 単位⾯積当 ，さ ー あ ，，， 例題じげじ 新規採⽤者 能⼒ がそ、⾴き

例題じげす 企業 倒産 そ。⾴

19

ポア ン分布表 テキ ト し06⾴

!

) 1

(

x

x e

p

x X



あ 科⽬ ，毎年，抜 打ち テ ト ⾏わ ， 実績 ⼀学期あ ざ0回授業 平均さ回 い

わ い 以下 問い 答え い

さげ 学期中，⼀度 試験 い確率 ざげ 学期中，試験 回以上あ 確率

さげ 0げし6。 ざげ

21

ポア ン分布 ⼆項分布 ，回数 関 確率変数 分布 前問 問題⽂を次 う 変え 同 問題

授業回数ざ0回 ，各回テ ト 抜 打ち ⾏わ 確率 0げ0す い

さげ 0げしす。 が0げし6。き

ざげ . . が0げ0。き

括弧 中 ポア ン分布 計算

⼆項分布 B(20, 0.05) 確率関数

ポア ン分布 ⼆項分布 関係

• _{を⼀定 ， を無限⼤}

lim_→ 23