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Mixed Strategy Equilibrium

Advanced Microeconomics II

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Zero‐Sum Game

• Matching Pennies Player 2 Player 1

Heads Tails

Player 1

Heads 1


-1 1

Tails -1


1 -1

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No Nash Equilibrium?

• The distinguishing feature of zero‐sum game is that  each player would like to outguess the othersince  there is No“win‐win” situation.

• Examples are:

P k bl ff t

Porker: bluff or not

Battle: attack (/defend) by land or by sea Tennis: left or right to serve (/receive)

• When each player would always like outguess the  other(s), there is no Nash equilibrium.

 Is there no solution or stable outcome?


Mixed Strategy

• A mixed strategy for a player is a probability  distributionover some (or all) of her strategies.

• The strategy we have studied so far, i.e., taking some  action for sure, is called a pure‐strategy.

• When the outcome of the game is uncertain, we  assume that each player maximizes expected value of her payoff.

Expected utility theory(von Neumann and  Morgenstern, 1944)

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Matching Pennies Again

• Introducing mixed strategies Player 2

Player 1

Heads (p) Tails (1-p) y

Heads (q)

1 -1

-1 1

Tails (1-q)

-1 1

1 -1

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How to Find Equilibrium?

If a player takes both “Heads” and “Tails” with 

positive probability, she must be indifferent

between these two pure strategies, i.e., the 

expected payoff derived by choosing Heads

expected payoff derived by choosing Heads 

must be equal to that by choosing Tails.

‐p+(1‐p)=p‐(1‐p), hence p=0.5.

q‐(1‐q)=‐q+(1‐q), hence q=0.5.


How to Verify Equilibrium?

• Note that if p=0.5, Player 1 does not have a strict  incentive to change her strategy from q=0.5.

• Similarly, Player 2 does not have a strict incentive to  change his strategy from p=0.5, if q=0.5.

 Therefore, p=q=0.5 constitutes a mixed‐strategy

 Therefore, p q 0.5 constitutes a mixed strategy  equilibrium.

Q: Is this equilibrium reasonable/stable?

A: Yes (each player ends up randomizing two strategies  equally if the rival is smart enough).

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Modified Matching Pennies

• Suppose the payoffs in the up‐left cell changes as  the following:

Player 2 Heads (p) Tails (1-p) Player 1

Heads (q)

2 -2

-1 1

Tails (1-q)

-1 1

1 -1

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Indifference Property

Under mixed‐strategy NE, Player 1 must be 


between choosing H and T:

 ‐2p+(1‐p)=p‐(1‐p), hence p=0.4.

Si il l l 2 b

i diff


Similarly, Player 2 must be indifferent between 

choosing H and T:

 2q‐(1‐q)=‐q+(1‐q), hence q=0.4.

You can easily verify that (p,q)=(0.4,0.4) 

indeed becomes a mixed‐strategy NE.


Existence of NE

Theorem (Nash, 1950)

• If a game has finitenumber of players and actions,  then there exists at least one Nash equilibrium,  possibly involving mixed strategies.

 The proof uses the Kakutani’s fixed‐point theorem.

 Best response mappings satisfy the condition of the  fixed‐point theorem, and hence have a fixed point,  which is equivalent to a NE!

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Infinite Games

• The finite game assumption is not necessary but  gives a sufficientcondition for the existence of NE.

• There are many games that do not satisfy the  conditions of the Theorem but nonetheless have one  or more NE (e g Bertrand model Cournot model) or more NE. (e.g., Bertrand model, Cournot model) Q: Are there any games which do not even have a 

mixed‐strategy equilibrium? A: Yes, e.g., Integer game.

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• Indifference property in mixed strategy NE. –If a player chooses more than one pure strategy with 

strictly positive probability, then she must be  indifferentbetween all of these pure strategies.

P t t i i l f i d t t

• Pure strategy is a special case of mixed strategy  assigning a strategy probability one.

• Any finite game has a Nash equilibrium, possibly  in mixed strategies.

• Interesting example: Reporting a Crime

 Check the following slides.


Reporting a Crime

• A crime is observed by a group of n people. Each  person would like the police to be informed but  prefers that someone else make the phone call. 

• Players: The n people.

S i “C ll” “D ’ ll”

• Strategies: “Call” or “Don’t call”

• Payoffs:  0if no one calls.

vif someone else calls but she does not. v‐cif the player calls.

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Pure‐Strategy Equilibrium

• This game has n pure‐strategy NE, in each of which  exactly one person calls.

If that person switches to not calling, her payoff falls  from v‐c to 0; if any other person switches to calling, his  payoff falls from v to v‐c.

f h b f h d ff

• If the members of the group differ in some respect,  then these asymmetricequilibria may be compelling  as steady states.

• For example, the social norm in which the oldest  person in the group makes the phone call is stable.

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Mixed‐Strategy Equilibrium

• There is a symmetricmixed strategy equilibrium in  which each person calls with positive probability p<1.

• In any such equilibrium, each person’s expected  payoff to calling is equal toher expected payoff to  not calling

not calling.

 v‐c=v(1‐Pr{no one else calls})

 c/v=Pr{no one else calls}

• Notice that the probability that no one else calls is  independent of n, but constant!




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