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## Mixed Strategy Equilibrium

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## Zero‐Sum Game

• Matching Pennies Player 2 Player 1

Player 1

-1

-1 1

Tails -1

1

1 -1

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## No Nash Equilibrium?

• The distinguishing feature of zero‐sum game is that  each player would like to outguess the othersince  there is No“win‐win” situation.

• Examples are:

P k bl ff t

Porker: bluff or not

Battle: attack (/defend) by land or by sea Tennis: left or right to serve (/receive)

• When each player would always like outguess the  other(s), there is no Nash equilibrium.

 Is there no solution or stable outcome?

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## Mixed Strategy

• A mixed strategy for a player is a probability  distributionover some (or all) of her strategies.

• The strategy we have studied so far, i.e., taking some  action for sure, is called a pure‐strategy.

• When the outcome of the game is uncertain, we  assume that each player maximizes expected value of her payoff.

Expected utility theory(von Neumann and  Morgenstern, 1944)

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## Matching Pennies Again

• Introducing mixed strategies Player 2

Player 1

1 -1

-1 1

Tails (1-q)

-1 1

1 -1

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## How to Verify Equilibrium?

• Note that if p=0.5, Player 1 does not have a strict  incentive to change her strategy from q=0.5.

• Similarly, Player 2 does not have a strict incentive to  change his strategy from p=0.5, if q=0.5.

 Therefore, p=q=0.5 constitutes a mixed‐strategy

 Therefore, p q 0.5 constitutes a mixed strategy  equilibrium.

Q: Is this equilibrium reasonable/stable?

A: Yes (each player ends up randomizing two strategies  equally if the rival is smart enough).

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## Modified Matching Pennies

• Suppose the payoffs in the up‐left cell changes as  the following:

Player 2 Heads (p) Tails (1-p) Player 1

2 -2

-1 1

Tails (1-q)

-1 1

1 -1

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indifferent

i diff

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## Existence of NE

Theorem (Nash, 1950)

• If a game has finitenumber of players and actions,  then there exists at least one Nash equilibrium,  possibly involving mixed strategies.

 The proof uses the Kakutani’s fixed‐point theorem.

 Best response mappings satisfy the condition of the  fixed‐point theorem, and hence have a fixed point,  which is equivalent to a NE!

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## Infinite Games

• The finite game assumption is not necessary but  gives a sufficientcondition for the existence of NE.

• There are many games that do not satisfy the  conditions of the Theorem but nonetheless have one  or more NE (e g Bertrand model Cournot model) or more NE. (e.g., Bertrand model, Cournot model) Q: Are there any games which do not even have a

mixed‐strategy equilibrium? A: Yes, e.g., Integer game.

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## Remarks

• Indifference property in mixed strategy NE. –If a player chooses more than one pure strategy with

strictly positive probability, then she must be  indifferentbetween all of these pure strategies.

P t t i i l f i d t t

• Pure strategy is a special case of mixed strategy  assigning a strategy probability one.

• Any finite game has a Nash equilibrium, possibly  in mixed strategies.

• Interesting example: Reporting a Crime

 Check the following slides.

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## Reporting a Crime

• A crime is observed by a group of n people. Each  person would like the police to be informed but  prefers that someone else make the phone call.

• Players: The n people.

S i “C ll” “D ’ ll”

• Strategies: “Call” or “Don’t call”

• Payoffs:  0if no one calls.

vif someone else calls but she does not. v‐cif the player calls.

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## Pure‐Strategy Equilibrium

• This game has n pure‐strategy NE, in each of which  exactly one person calls.

If that person switches to not calling, her payoff falls  from v‐c to 0; if any other person switches to calling, his  payoff falls from v to v‐c.

f h b f h d ff

• If the members of the group differ in some respect,  then these asymmetricequilibria may be compelling  as steady states.

• For example, the social norm in which the oldest  person in the group makes the phone call is stable.

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## Mixed‐Strategy Equilibrium

• There is a symmetricmixed strategy equilibrium in  which each person calls with positive probability p<1.

• In any such equilibrium, each person’s expected  payoff to calling is equal toher expected payoff to  not calling

not calling.

 v‐c=v(1‐Pr{no one else calls})

 c/v=Pr{no one else calls}

• Notice that the probability that no one else calls is  independent of n, but constant!

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## 参照

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