理論ゼミ（前期） 2016 P3 2

(1)

理論ゼミ第 ¹³ 章 ^II

藤井涼平

2016 年 6 月 20 日

1 _{色磁気相互作用}

1.1 ポジトロニウムのスピン―スピン相互作用

V_ss

(

_e⁺_e⁻

)

^−2µ⁰

3 ^µ¹^{· µ}²^δ

⁽

^x

⁾

⁽¹⁾

で表される. ここで, x は電子と陽電子の相対座標. µ1, µ2は電子と陽電子の磁気モーメント：

µi

±e

^ℏ

2m_e^σⁱ ⁽²⁾

である¹⁾.

Proof. 電子はポテンシャル

A

₍

r

₎

₋

(

−µ1^{× ∇}

)

₁

r ⁽³⁾

をつくる. 従って,陽電子の磁気モーメントと電子の作る磁場の相互作用項は

V_ss µ2^{· B}

⁽

^r

⁾

µ2^·[∇ × A

⁽

^r

⁾

]

µ2^·

[

∇ ×

⁽

_µ₁× ∇

^{) ]}

¹ r

^[

_µ₂_·

^{

_µ₁_∇²_{− ∇}

⁽

_{∇ · µ}₁

^{) } ]}

¹ r

^[

_µ₁_{· µ}₂_∇²₋

⁽

_µ₂_{· ∇}

^{) (}

_µ₁_{· ∇}

^{) ]}

¹ r ⁽⁴⁾

1)猪木, 川合「量子力学 II」では µi^{|e |}^ℏσi/2meと定義されていることに注意.

となる. s状態での摂動は,

⟨V_ss⟩

∫

|_ψ

(

^r

)

|²

·

^[⟨

_µ₁_{· µ}₂

^⟩

∇²−

^{⟨ (}

_µ₂· ∇

^{) (}

_µ₁· ∇

^{) ⟩]}

¹ r^dr

(5) s状態は球対称だから,

⟨ (

µ2^{· ∇}

) (

µ1^{· ∇}

) ⟩

¹ 3

⟨

µ1· µ2

⟩

∇² (6)

∴

⟨V_ss⟩ ² 3

∫

|_ψ

(

^r

)

|²

^⟨

_µ₁_{· µ}₂

^⟩

∇²¹ r

₋² 3

∫

|_ψ

(

^r

)

|²

^⟨

_µ₁_{· µ}₂

^⟩

·_4πδ

(

^r

)

(7) ここで, ∇²

(

_1/r

)

−_4πδ

(

^r

)

を使った. 自然単位系ではµ0^4π^だから^,

⟨V_ss⟩ −^2µ⁰ 3

∫

|_ψ

(

^r

)

|²

^⟨

_µ₁_{· µ}₂

^⟩

_δ

(

^r

)

(8) よって,

V_ss−^2µ⁰

3 ^µ¹^{· µ}²^δ

⁽

^x

⁾

□

1

(2)

(2)を代入することで, (1)は

V_ss

(

_e⁺_e⁻

)

^e

2

_ℏ

2_µ 0

6m²_e ^σ¹^{· σ}²^δ

⁽

x

₎

ℏ

²_µ₀

6m²_e e² 4πϵ0

^ℏ

^c

4πϵ₀

^ℏ

cδ

(

^x

)

ℏ

²_α 6me²

µ0ϵ0^·^4π

^ℏ

^cδ

⁽

^x

⁾

^2π

ℏ

³ 3c ^α

σ1· σ2

m_e² ^δ

⁽

x

₎

₍₉₎

となる.

1.2 クォーコニウムのスピン―スピン相互作用クォークの色電荷には,色磁気相互作用と呼ばれるスピン―スピン相互作用が働く. クォーコニウムは強い相互作用で束縛されているから,ポジトロニウムに比べて粒子間の距離が短い. 従って,クォーコニウムのスピン―スピン相互作用はポジトロニウムのそれに比べてはるかに強い.

クォーコニウムのスピン―スピン相互作用ポテンシャルは, (9)を4/3倍しα → αs^{とすることで得}

られる. 因子4/3は,クォークが3つの色ををもつことに起因する（13.6式も参照）.

V_ss

(

_{q ¯q}

)

^8π

^ℏ

3

9c ^α^s σq· σ¯q

m_qm_¯q^δ

⁽

^x

⁾

⁽¹⁰⁾

ここで, σq· σ¯q^{の期待値は}

σq· σ¯q

⁴

ℏ

²

s_q_{· s}_¯q

⁴

ℏ

2

1 2

[ (

^s_q⁺^s_¯q

)

²− s²_q− s²_¯q

^]

²

ℏ

2

[

S

(

S + 1

)ℏ

²−s_q

(

s_q⁺1

)ℏ

²−s_¯q

(

s_¯q⁺1

)ℏ

²

^]

₂

[

S

(

_{S + 1}

)

−s_q

(

s_q⁺1

⁾

⁻s_¯q

(

s_¯q⁺1

⁾ ^]

(11)

S 0 or 1, sq^s¯q1/2だから,

σq· σ¯q

{

−₃

(

_{S 0}

)

+₁

₍

_{S 1}

₎

⁽¹²⁾

エネルギー分裂は,

∆_E_ss

∫

dxψ^∗V_ss

(

_{q ¯q}

)

_ψ

∫

dx^8π

^ℏ

3

9c αs

m_qm_¯q^|^ψ

⁽

^x

⁾

^|

2_δ

₍

_x

₎

_{[1 −}

₍

₋₃

₎

_]

^32π

ℏ

³ 9c

αs

m_qm_¯q^|^ψ

⁽

⁰

⁾

^|

2 ₍₁₃₎

となる.

ΔESS (S=0) ΔESS (S=1)

ΔESS

図1 エネルギー分裂

チャーモニウムの1³S1^→1¹S0^への遷移²⁾^は磁気

的遷移であり,クォークのひとつがスピン・フリップすることに対応する. この時に放出される光子のエネルギーは^∆E_ss_120MeVである.

2 ボトモニウムとトッポニウム

図2 チャーモニウムとボトモニウムの準位（抄）

■ボトモニウムさらに重心系エネルギーが高い e⁺e⁻衝突で, 10GeV近傍の共鳴が見つかった.これらはb ¯bの束縛状態（ボトニウム）と解釈される.

2)_n2S+1_L

Jのように表すのだった（P.176 参照）.

2

(3)

チャーモニウムのスペクトルとボトモニウムのスペクトルはよく似ている. このことから,クォーク

―反クォーク間のポテンシャルはフレーバーに依らないことがわかる.

クーロンポテンシャルのみが働く場合（ポジトロニウム）の準位は

E_n−^α

2_mc2

2n² ⁽¹⁴⁾

で与えられる. この場合, n 1とn 2のエネルギー差は換算質量に比例する.

一方,チャーモニウム

(

_{m ∼ 1GeV/c}²

)

とトッポニウム

(

_{m ∼ 4GeV/c}²

)

の1S, 2S状態のエネルギー差はほとんど同じである. これは,エネルギー準位の質量依存性を, +krの項が打ち消しているからとのこと.

■トッポニウムトップクォークは質量が大きいので寿命が大変に短い. 従って,トッポニウムは存在しない（もし存在したとしても,エネルギー幅が広すぎて識別できない）.

3 _{クォーコニウムの崩壊}

3.1 _{崩壊パターン}

クォーコニウムの崩壊パターンは4つある. (a). 光子を放出することで励起準位が変わる（電磁

相互作用）. 1³P1 ^→1³S1⁺γなど.

(b). クォーク―反クォーク対が対消滅して, 実光子,グルーオン,仮想光子になる. 1³S₁ → 2γ, 1³S₁ → 3g →ハドロン, 1³S₁ → 仮想光子→ ハドロンまたはレプトンなど.

(c). 真空からq ¯q対をつくり,それらと結合することで中間子を形成する（強い相互作用）. c¯c+u ¯u → D⁰⁺D^¯⁰など.

(d). クォーコニウムを形成するクォークの片方または両方が崩壊する（弱い相互作用）. c¯c → D⁻_s ⁺e⁺⁺νe^など^.

3.2 _{閾値以下の場合}

(c)は, 軽いq ¯qをクォーコニウムの励起エネルギーから生成する必要があるので,あるエネルギーの閾値を超えた場合のみ起こる.

(d)は十分遅く,無視できる. 従って,閾値以下のクォーコニウムには(a), (b)の可能性しかない.

電磁気的過程(a)は比較的遅い. (b)は初期状態のクォークが終状態に残っていないから, OZI則により崩壊確率が小さい. 従って,閾値以下でのクォーコニウムの寿命は長く,崩壊幅は小さい.

αs^≫αにも関わらず, 1³S1^は^(b)^のうち^70%^の

割合で強い相互作用により崩壊し, 30%の割合で電磁相互作用により崩壊する. この理由について考える.

(b)のうち,強い相互作用による崩壊では,色と荷電共役変換（q → ¯q）に伴うパリティ（C-パリティ）が保存する必要がある.

1³S₁のC-パリティは−1である³⁾. グルーオンの C-パリティは−1だから, C-パリティを保存するためには奇数個のグルーオンに崩壊する必要がある. また,色の保存のため, 1つのグルーオンに崩壊することはできない. 従って, 1³S1 ^は³^{つ以上の奇数個}

のグルーオンに崩壊する.

r

g g _b _b

r

図3 3グルーオン放出時の色の流れ（例）

この過程では因子α³_s がかかるので,崩壊確率がそれほど大きくない.

一方, (b)のうち,電磁相互作用で崩壊する場合は, 光子2つ以上に崩壊すれば十分である⁴⁾. この過程

3) これは, q ¯q の空間波動関数のパリティが⁽−1)^L+1であること（P.180 参照）から説明がつく. S 軌道だから, 空間波動関数のパリティは −1. S 1 だから, スピン波動関数のパリティは 1. よって P −1. また, 強い相互作用だから T 1. よって CPT 1 より C −1.

4)光子 1 つだと運動量保存則を満たさない.

3

(4)

では因子α²がかかる.

以上の理由から, αs ^≫ αにも関わらず, 1³S1 ^は

70%の割合で強い相互作用により崩壊し, 30%の割合で電磁相互作用により崩壊する.

3.3 _{閾値を超えた場合}

閾値を超えると(c)が起こりやすく,崩壊幅が大きい. u, dクォークが軽いので,まずはこれらが真空から対生成され中間子になる.

c¯c → c ¯u + ¯uc (15) さらに高く励起しているクォーコニウムは, sクォークを対生成して中間子をつくる.

c¯c → c¯s + ¯cs (16) この場合,できた中間子は最終的に弱崩壊する.

4 崩壊幅による QCD のテスト

1¹S0^の^C-^{パリティは}¹^だから⁵⁾^,^{偶数個（主に}²

個）のグルーオンに崩壊する.また, 2個の光子にも崩壊する.

1¹S0 ^→ 2γの崩壊幅は, ポジトロニウムの場合

(13.5)に3 つの色を持っていることを考慮にいれ

れば

Γ

₍

₁¹_S₀_→_2γ

₎

^{3 · 4πz}

4c^α²

^ℏ

³

m_c²c ^|^ψ

⁽

⁰

⁾

^|

2

₍

_{1 + ϵ}′

₎

(17) となる.

1¹S0 ^→2g →ハドロンの崩壊幅は Γ

₍

₁¹_S₀_→_{2g →}_ハドロン

₎

^8π 3

αs

^ℏ

³

m²_cc^|^ψ

⁽

⁰

⁾

^|

2

₍

_{1 + ϵ}′′

₎

₍₁₈₎

である.

これらの比を取ると, Γ

₍

_2γ

₎

Γ

₍

_2g

₎

8 9

α²

α²_s

⁽

^{1 + ϵ}

⁾

⁽¹⁹⁾ となる.実験からαs^≃0.25 ± 0.05が得られ,これはチャーモニウムのスペクトルから得られた値と一致する.

5)脚注 3) と同じ方法で確かめられる.

様々な崩壊チャネルにおける比を取ることで,より正確にαs^{を求めることができる}^.

q ¯qの対消滅は,電磁相互作用の場合も強い相互作用も同じように記述できることがわかった. 対消滅が起こるのは短距離だから,これはQCDが短距離に適用できることを意味している.

参考文献

[1] 量子力学II川合光猪木慶治講談社2007

4

理論ゼミ（前期） 2016 P3 2

理論ゼミ 第 13 章 II

藤井涼平

2016 年 6 月 20 日

1 色磁気相互作用

(

)

(

)

ℏ

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

) ]

[

{

(

) } ]

[

(

) (

) ]

∫

(

)

[⟨

⟩

⟨ (

) (

) ⟩]

⟨ (

) (

) ⟩

⟨

⟩

∴

∫

(

)

⟨

⟩

∫

(

)

⟨

⟩

(

)

(

)

(

)

∫

(

)

⟨

⟩

(

)

(

)

□

(

)

ℏ

(

)

ℏ

ℏ

ℏ

(

)

ℏ

理論ゼミ第 ¹³ 章 ^II

1 _{色磁気相互作用}

⁽

⁾

^ℏ

₍

₎

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

^{) ]}

^[

^{

⁽

^{) } ]}

^[

⁽

^{) (}

^{) ]}

^[⟨

^⟩

^{⟨ (}

^{) (}

^{) ⟩]}

^⟨

^⟩

^⟨

^⟩

^⟨

^⟩

⁽

⁾

_ℏ

⁽

₎

^ℏ

^ℏ

^ℏ

⁽

⁾

⁽

₎

^ℏ

⁽

⁾

^]

^]

⁾

⁾ ^]

₍

₎

^ℏ

⁽

⁾

₍

₎

₍

₎

⁽

⁾

3 _{クォーコニウムの崩壊}

g g _b _b

₍

₎

^ℏ

⁽

⁾

₍

₎