発表ファイル 数理物理・物性基礎論セミナー Watanabe 5 TC

Reference 

arXiv:1410.2143v2 

(Special thanks to Hal Tasaki and Tohru Koma) 

Introduction

Very new concept proposed by Wilczek 

PRL 2012 

PRL 2012 

PRL 2013 

P. Coleman, Nature ⁴⁹³, 166 (2013) 

What is “2me crystal”? 

Crystalline order in the temporal direcLon 

Ordinary crystals: crystalline order in spa2al direcLons   

x 

y  z 

space  x  density 

ρ(x) 

Ordinary crystals 

Lme  t  observable 

O(t) 

Time crystals 

Special RelaLvity:  

(Some) symmetry between space and 2me!   

We know crystals exist. 

Then why not Lme crystals?  

Spontaneous Symmetry Breaking (SSB) 

Can the Lme translaLon be spontaneously broken  in a similar manner?  

Our space itself is homogeneous. 

Laws of physics do not depend on posiLon. 

But, the state realized in nature (e.g., crystals)  is not homogeneous. 

 SpaLal translaLon is spontaneously broken! 

Wilczek’s idea 

t  Supercurrent J(x,t) 

t  Supercurrent J(x,t) 

But! Obvious problems… 

•  Time dependence vs. eigenstates (“ground state”)       X(t) = e^i H t X(0) e^− i H t 

     <X(t)> = e^i E t <X(0)> e^− i E t = <X(0)> 

•  State with steady moLon  perpetual mo2on machine! 

1^st kind: produce work without input energy (violate 1^st law of TD) 

2^nd kind: convert thermal energy to work with 100% efficiency (violate 2^nd law of TD)  3^rd kind: completely eliminates fricLon, dissipaLve forces, to maintain moLon. 

Feynman  ratchet  Overbalanced 

wheel 

ObjecLons by Bruno and Nozières 

PRL 2013 

EPL 2013  Wilczek’s superconduncLng soluLon 

with rotaLng kink is not  the lowest energy state 

OscillaLng phenomena  ⁱ n nonequilibrium 

•  Josephson effect (potenLal gradient) 

OscillaLng phenomena  ⁱ n nonequilibrium 

•  Skyrmion crystals (temperature gradient) 

Mochizuki et al, Nature Materials (2014) 

OscillaLng phenomena  ⁱ n nonequilibrium 

•  Belousov–ZhaboLnsky reacLon 

QuesLon to address 

Can the Lme translaLon be spontaneously broken  in the thermal equilibrium? 

In par2cular, in the ground state? 

Our Answer: No, it cannot be.  

(at least within the current framework of   quantum mechanics and thermodynamics.) 

cf. Classical Lme crystal 

•  For Lagrangians, like 

‐  ℒkin ^= ½(∂t^{n)2  − ½(∇n)2 + k}0 n·∇^× n 

‐  ℒkin ^= ½(∂t^{ϕ)2 − ¼(∂}i^2ϕ)2 + k0^2 ½(∂i^ϕ)2 

energy is minimized ^by k = k₀ and ω = 0 (FFLO). 

•  Can we do the same for Lme derivaLves? 

‐  ℒkin ^= ½(∂t^n)2 − ω0 ⁽ⁿx^∂t ⁿy⁻ⁿy^∂t ⁿx^{) − ½(∇n)2}  

‐  ℒkin ^= ¼(∂t^{2ϕ)2 − ω}0^2 ½(∂t^{ϕ)2 − ½(∂}i^ϕ)2  

‐  ℒkin ^= ¼(∂t^{ϕ)4 − ω}0^2 ½(∂t^{ϕ)2 − ½(∂}i^ϕ)2  

‘energy’ is minimized ^by k = 0 and ω = ω₀ (?) 

•  Quan2za2on is nontrivial, leading to different QM. 

Shapere&Wilczek, “Branched Quan2za2on”, PRL (2012) 

Definition of Time Crystals

Definition by

expectation value of order parameter

<O(x,t)>

How do we usually define SSB? 

Take a field ϕ_i (x,t) such that 

 ϕ_i ^‘= Uϕ_iU^‐1 = D_ij ϕ_{j      U = e}^i ε Q, D = e^{i ε T} 

If <ϕ_i ^‘(x,t)> ≠ <ϕ_j(x,t)> or <[Q, ϕ_i(x,t)]> = T <ϕ_i(x,t)> ≠ 0,   we say the symmetry is broken. 

•  <[Sx^, (‐1)iSy^(xi,t)]> = i <(‐1)ⁱS_z(x_i,t)> ≠ 0  (anLferromagnet) 

•  <[Px, ρ(x,t)]> = i ∂_x<ρ(x,t)> ≠ 0       (crystal) 

•  <[H, O(x,t)]> = i ∂t<O(x,t)> = 0  (?)    (Lme crystal) 

But SSB is more subtle.  

Easy to prove <[Q, ϕ_i(x,t)]> = 0 quite generally. 

Symmetry of the canonical ensemble 

•  At a finite temperature, we define       <ϕ_i> = tr(ϕ_i e^−H/T) / tr(e^−H/T) 

•  But… 

     tr(ϕ_i e^−H/T) 

     = tr(Uϕ_ie^−H/TU^‐1 )  _ U = e^i ε Q       = tr(Uϕ_iU^‐1e^−H/T)   [H, Q] = 0 

     = D_ij tr(ϕ_je^−H/T)    _ UϕiU^‐1 = D_ij ϕ_j   meaning that <[Q, ϕ_i(x,t)]> = 0. 

Symmetry of the exact ground state 

•  explain crystals on blackboard 

•  exact spectrum of Heisenberg AiLferromagnet 

Anderson’s tower of states 

C. Lhuillier, arXiv: cond‐mat/0502464 

“Symmetry breaking state”  is not an eigenstate of H^,   except when order parameter 

commutes with Hamiltonian.   

The GS does not show SSB 

  |       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > + … 

|GS > = ∫

d

x |x > =   

Schrodinger cat state 

Physical states 

Each state has a disLnct   expectaLon value of OP 

 they cancel a~er sum. 

Symmetry breaking field 

Explicitly break the symmetry of H by h:   H’ = H – h ∫d^dx ϕ_i(x,t). 

H’ does not commute with Q. 

  Symmetry of canonical ensemble / GS is lost.  lim_h lim_V <[Q, ϕ_i(x,t)]> can be nonzero. 

•  H’ = H – h Σi ^(‐1)i Sz^(xi⁾         (anLferromagnet) 

•  H’ = H – h ∫d^dx cos(G x)ρ(x,t)    (crystal) 

•  H’ = H – h ∫d^dx cos(Ω t)ρ(x,t)     (Lme crystal)   

  |       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > + … 

SB field picks up a physical state! 

|GS > = ∫

d

x |x > =   

Difficulty for Lme crystal 

Recap 

•  H’ = H – h Σi ^(‐1)i Sz^(xi⁾         (anLferromagnet) 

•  H’ = H – h ∫d^dx cos(G x)ρ(x,t)    (crystal) 

•  H’ = H – h ∫d^dx cos(Ω t)ρ(x,t)     (Lme crystal?)   

Time‐dependent external field invalidates stat‐mech. 

•  ‘energy’ is ill‐defined. 

•  What is ‘ensemble’ under the field? 

•  Note: Floquet formalism gives the spectrum but does  not help. 

cf. Argument by Bruno and Nozières  

SomeLmes, Lme‐dependence of the external field can be  eliminated by switching to the rotaLng frame. 

   H’ = H – Ω L 

They discussed stat‐mech under  applied field using this frame.   

•  Even if their argument is true,  it is not fully general. 

•  Not sure if their argument makes  sense.. 

Definition by

long-range order <O(x,t)O(x’,t’)>

Long‐Range Order (LRO) 

•  AsymptoLc behavior of <O(x,t)O(x’,t)>:     lim_{|x’‐x|∞}<O(x,t)O(x’,t)> = σ² > 0 

•  LRO measures how well two separated points are  correlated. 

•  Symmetry breaking field is not needed. 

We can use the symmetric&unique ground state  without the expectaLon value of OP <O(x,t)> = 0. 

•  Theorem: LRO  SSB (the inverse hasn’t been proven)  See Koma‐Tasaki 1993, 1994 

The GS does not show SSB 

  |       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > + … 

|GS > = ∫

d

x |x > =   

Schrodinger cat state 

Physical states 

Each state has a disLnct   expectaLon value of OP 

 they cancel a~er sum. 

The GS may have the long‐range order! 

  |       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > 

+|       > + … 

|GS > = ∫

d

x |x > =   

Schrodinger cat state 

Physical states 

All states have the same  long range order! 

 they don’t cancel! 

LRO for Lme crystals 

As x – x’ increases: 

•  <Sz^(xi^) Sz^(xj^)>  (– 1)^{i – j σ2}       (anLferromagnet) 

•  <ρ(x) ρ(x’) >  ΣG ^σG²cos G (x – x’)   (crystal)  We define TC by analogy: 

•  <O(x,t) O(x’,t’) > _ f(x – x’, t – t’)   (Lme crystal)  When f(x, t) is a nontrivial funcLon of t,  

we call it a Lme crystal. 

Remember that we use symmetric state: 

•  the unique GS at T = 0: |GS > 

•  the canonical ensemble at T>0: <ϕi> = tr(ϕ_i e^−H/T)/tr(e^−H/T)   

Integrated version of LRO 

•  AnLferromagnet 

<S_z(x_i) S_z(x_j)> _{ (– 1)}^i – j σ² 

Φ = Σ_i(– 1)ⁱ S_z(x_i)       lim_V∞< Φ² >/V²  = σ² ≠ 0 

•  Crystal            

<ρ(x) ρ(x’) > _ ΣG σ_G²cos G (x – x’)  

Φ_G = ∫₀ ^a d^dx  ρ(x) e^i G x

•  Time crystal         

<O(x,t) O(x’,t’) >  f(x – x’, t – t’)  

Φ_G(t)=∫₀ ^a d^dx O(x,t) e^i G x

Absence of time-dependent LRO

at T = 0

Outline 

•  Statement  ^fG(t ) defined by LRO 

–  limV_∞^{< e i H t Φ}G ^{e– i H t Φ}–G^>/V2 = fG^(t) 

–  ΦG ^= ∫0 ^{a ddx O(x) ei Gx}  

is 2me independent. 

•  AssumpLon  locality of the Hamiltonian 

(can be relaxed to a power‐low decaying interacLon) 

•  Approach double commutator introduced in  Horsch‐von der Linden (1988) 

Sketch of the proof 

•  For simplicity, we focus on G = 0. 

•  Consider two HermiLan operators A and B: 

•  We want to show: 

•  Step 1/3 

|a+b| ≤ |a|+|b| _  X(1) − X(0)  _ 

= ∫₀ ¹ ds (d^X(s)/ds) 

bound the integrand  Many thanks to 

Koma‐Tasaki   

arXiv: 1410:2143 

!! 

Sketch of the proof 

•  step 2/3 

•  step 3/3   

Schwarz ineq. 

|a∙b| ≤ |^a||^b| _ 

H|0 > = E₀|0 > _ 

< 0|[A,[H, A]]|0 >  

= < 0|(A(H A – A H) – (H A – A H)A)|0 >   

= 2 < 0|A (H – E₀) A|0 >  

Many thanks to  Koma‐Tasaki 

arXiv: 1410:2143 

[a(x),b(y)]   δ(x ‐ y) 

k[ ˆ^A, [ ˆ^{H, ˆA}]]k = O(V ³⁻²) = O(V )

Absence of time-dependent LRO

at T ^> 0

Outline 

•  Statement  ^fG(t) defined by LRO 

–  limV_∞^{< e i H t Φ}G ^{e– i H t Φ}–G^>/V2 = fG^(t) 

–  ΦG ^= ∫0 ^{a ddx O(x) ei Gx}  

is 2me independent. 

•  AssumpLon  locality of the Hamiltonian 

(can be relaxed to a power‐low decaying interacLon) 

•  Approach Lieb‐Robinson bound (1972) 

Sketch of the proof 

Step 1/2: bound for g_AB(t) 

Sketch of the proof 

Step 2/2: relaLon to f_AB(t) 

 f(t) is Lme‐indep. 

Summary 

•  Many difficulLes in characterizing Time Crystal   based on the expectaLon value of order parameter.   

•  We instead define TC by the asymptoLc behavior of  the correlaLon funcLon. 

•  We showed generally that the LRO cannot depend  on Lme in the equilibrium or in the ground state. 

•  ‘Time crystal’ seems impossible.