資料置場 コマの物理から素粒子のスピン

剛体の力学

回転運動

コマの運動：　「安定な回転軸」

剛体中に『安定な回転軸』があるとはどういうことだろうか？

x

y

z _{ }

剛体に慣性主軸がある場合（必ずあるわけですが）、 その剛体の角速度ベクトル ω が安定であるとは 外力によるモーメントがない場合に

d ^ 

dt ⁼⁰

剛体に固定された系（慣性主軸）から見て、

角速度ベクトルが時間的に変化しないということ。

『安定な回転軸』のもつ条件を考える

コマの歳差運動は、重力によるモーメントが働く

・　　自由落下するコマ

剛体の回転：　『剛体に対して静止している回転軸』

例えば直方体の回転を考える

固定点を持たない　＝　重心周りの運動

対称になる軸は、それぞれの面に垂直な軸: x, y, z

→　慣性乗積　= 0

→　慣性モーメント I_xx, I_yy, I_zz とする

外力が働かない場合を考える　→　外力によるモーメント = 0 オイラーの運動方程式は

I

^{d }

dt ^{  I}

^−I

^{ }

^

⁼⁰

I

^{d }

dt ^{  I}

^{− I}

^{ }

^

⁼⁰

I

^{d }

dt ^{  I}

^{− I}

^{ }

^

⁼⁰

x

y

z

角速度ベクトルが剛体に対して静止している d _x

d t ⁼⁰ d _y

d t ⁼⁰ d _z

d t ⁼⁰

 

剛体に対して静止している回転軸：　つづき

I_xx ^{d x}

dt ^

^

^

dt ^

^

^

dt ^

^

^

d _x d t ⁼⁰ d _y

d t ⁼⁰ d _z

d t ⁼⁰

オイラーの運動方程式 角速度ベクトルが静止

直方体では ^I_xx^≠I _yy^{≠ I}_zz

 I_xx−I _yy≠0

 I_yy−I_zz≠0

 I_zz− I_xx≠0

_x_y=0

_y_z=0

_z_x=0

すべてが 0 だと回転していない事を示す。 左の条件を満たすためには

３つの成分の内、２つの成分が 0 であれば良い 例 ωx^{≠0, ω}y^{=0, ω}z⁼⁰

２つの慣性主軸のうち、x 軸まわりで回転している。

直方体の場合の『剛体に対して静止している回転軸』

x

y

z _{ }

x

y

z

 

角速度ベクトルが慣性主軸からずれている

時間と共に角速度ベクトルの 向きが変化

角速度ベクトルが慣性主軸のどれかと平行

角速度ベクトルは変化しない

直方体は回転軸周りで安定して回転

回転軸の『安定性』

d  _

dt ⁼⁰

外力のモーメントがない時に、角速度ベクトルが変化しない事のみを議論

『安定な回転軸』 『安定性』とはなんだろうか？ 外部から何らかの瞬間的な作用があり、

剛体に瞬間的に外力のモーメントが働いたとき、 回転軸の方向が変化するかしないか？

変化しない場合 →　　　安定な回転軸 変化する場合 →　　　不安定な回転軸

直方体の例ではある瞬間に非常に小さな y, z 軸まわりの角速度が生じた場合の運動を考える

_y≪1 _z≪1 _y_z~0

I_xx ^{d x}

dt ^

^

^

d _x dt ^~0

『回転の安定性』：　つづき

直方体の例ではある瞬間に非常に小さな y, z 軸まわりの角速度が生じた場合の運動を考える

_y≪1 _z≪1 _y_z~0

I_xx ^{d x}

dt ^

^

^

d _x dt ^~0

I _yy ^{d y}

dt ^

^

^

時間微分

I_yy ^d

2_y

dt^{2 }

^

^

d _z dt ^~0 I_zz ^{d z}

dt ^

^

^

代入

=

^

^

^

2

I_yyI_zz

d



dt

^{ }

^~0



= ^I

 ^I

^−I

 ^

d 

dt ^~ _

I

_ I

−I

_

I

_ I

−I

_ ^{× Asin   t}

0



~ Asin  _  t

直方体の『安定な回転軸』



= ^I

 ^I

^−I

 ^

d 

dt ^~ _

I

_ I

−I

_

I

_ I

−I

_ ^{× Asin   t}

x 軸まわりの慣性モーメント I_x が一番小さい場合 x 軸まわりの慣性モーメント I_x が一番大きい場合



~ Asin  _  t

x

y

 

z

= ^{ I}

^−I

^{ I}

^−I

^{ }

2

I

I

^0

回転軸をずらすような外力が作用したとしても、回転の向きは x 軸を中心に振動するのみ

→　回転主軸 (x軸) は　^{『安定な回転軸』}

コマの場合：　『安定な回転軸』

z

x

y

I

=I

= I  I

慣性主軸の内 z 軸が『安定な回転軸』となる