Si cominciò a pensare di costruire delle
geometrie che non ritenessero valido il V°
postulato di Euclide
Karl Frederich Gauss (1777-1855) matematico, astronomo, fisico tedesco. Non pubblicò mai i suoi studi poiché temeva quelli che definì “strilli dei beoti”.
Nicolaj Ivanovich Lobacevskj (1793-1856) matematico russo.
János Bolyai (1802-1860) matematico ungherese, il padre era amico di Gauss.
Bernard Riemann (1826-1866) matematico tedesco, fu allievo di Gauss.
Difficoltà ad accettare le nuove
teorie
1781 I.Kant pubblica Critica della ragion pura:
“in forza della loro natura il tempo e lo spazio non possono venire concepiti arbitrariamente in quanto il loro modo di essere intuiti è connaturale con la mente umana”.
Con le geometrie non euclidee si scopre che può esistere una geometria coerente, indipendentemente dal fatto che gli assiomi esprimano proprietà evidenti dello spazio fisico dell’intuizione.
Matematica come studio di relazioni
formali, teorie ipotetiche-deduttive
Assiomi: regole, relazioni formali che definiscono esse stesse gli enti dei quali si parla.
Enti primitivi: esistono solo quando gli assiomi vengono formulati, non prima di essi.
Verità: perfetta consequenzialità dei ragionamenti che portano da premesse liberamente assunte ai risultati successivi.
Sistema assiomatico moderno (Hilbert 1862- 1943): Insieme di proposizioni prive di significato intrinseco e tenute insieme da concetti deduttivi.
Sistema di assiomi ha l’obbligo di
garantire caratteristiche ben precise
Non contraddittorietà (coerenza): tutte le
affermazioni dedotte da essi, anche le più
remote, devono essere prive di
contraddizioni.
Indipendenza: che nessuno di essi possa
dedursi, come un teorema, dagli altri.
Completezza: da essi si devono poter
dedurre tutte le proposizioni della teoria.
Modello di una teoria
Interpretazione degli enti e degli assiomi di questa teoria come enti e proposizioni di un’altra.
Teoria X TeoriaY
Enti primitivi Oggetti
Assiomi Proposizioni dimostrabili
La non contraddittorietà della teoria Y mi garantisce la non contraddittorietà della geometria X: non contraddittorietà relativa
Non contraddittorietà assoluta
1900 Hilbert: se si trova una teoria
autoconsistente, allora basterebbe costruire
modelli su di essa per avere la non
contraddittorietà assoluta.
1931 Gödel: “Non esiste nessuna teoria
autoconsistente”.
Le tre geometrie sono
egualmente “vere”
H.Poincaré: “non esiste una geometria vera, ma solo una geometria comoda”
1907 Pablo Picasso
“Les
damoiselles d’Avignones” Inizio del
cubismo.
“I loro corpi e lo spazio che le circonda però non sono più rispettosi di una realtà euclidea, tanto che sono stravolte tutte le regole della prospettiva e del senso comune. Strane torsioni del corpo e dei volti, infatti, caratterizzano queste bellezze d’ispirazione iberica, e africana (le due figure di destra).
Ma cosa ne è stato della loro umanità? Come possibile chiamarle demoiselles se ci è impedito di comprendere il davanti e il dietro?
Forse basterebbe imparare a percepire in modo diverso la realtà, ad andare oltre a ciò che normalmente si vede. La rappresentazione, infatti, non è più visiva, ma mentale, come se vi girassimo intorno e tentassimo di ricostruire le varie viste sovrapponendole l’una all’altra. Ciò che unisce le cinque figure, infatti, è ormai quella libera scomposizione della realtà e ancor più libera ricomposizione dei volumi.”
LAUDISI Non gli dia retta! -È sicura anche lei di toccarmi come mi vede? Non può dubitare di lei. - Ma per carità, non dica a suo marito, né a mia sorella, né a mia nipote, né alla signora qua, come mi vede, perché tutt'e quattro altrimenti le diranno che lei s'inganna. Mentre lei non s'inganna affatto! Perché io sono realmente come mi vede lei! - Ma ciò non toglie che io sia anche realmente come mi vede suo marito, mia sorella, mia nipote e la signora qua, che anche loro non si ingannano affatto!
1918 Pirandello: “Così è (se vi pare)”
LAUDISI Vi vedo così affannati a cercare di sapere chi sono gli altri e le cose come sono, quasi che gli altri e le cose per se stessi fossero così o così..
SIGNORA SIRELLI Ma secondo lei allora non si potrà mai sapere la verità?
SIGNORA CINI Se non dobbiamo più credere neppure a ciò che si vede e si tocca!
LAUDISI Ma sì, ci creda, signora! Perciò le dico: rispetti ciò che vedono e toccano gli altri, anche se sia il contrario!
