経済学基礎 2016年前期@東大工学部 Fumihiko Suga

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経済学基礎

-第５回企業行動の理論-

菅史彦

内閣府経済社会総合研究所

菅史彦 (ESRI) 経済学基礎 1 / 41

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ある財の価格と数量が市場においてどのように決定されるのかを考えるために、１つの財の市場を考える。

消費者・生産者は価格受容者（プライステイカー）右下がりの市場需要曲線

右上がりの市場供給曲線

需要曲線と供給曲線の交点（＝均衡）で価格と生産・消費量が決まる。

さらに余剰分析などを通じて、政策が与える影響を分析することができる。

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前回までの復習

復習２：消費者理論

競争市場のモデルでは、需要曲線は所与として扱われていた。

→ 財の価格や所得が与えられた時、どのようにして消費を決定するのかという問題は捨象されていた。

制度・政策をデザインすることを考えると、制約条件のもとでの消費者の意思決定の問題をモデルに組み込む必要がある。所得・価格が与えられたもとでの消費に関する意思決定の問題を制約条件付き最適化問題としてきちんと定式化する。

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競争市場のモデルでは、供給曲線も所与として扱われていた。

→財の価格や賃金が与えられた時、どのようにして生産量を決定するのかという問題は捨象されていた。

制度・政策をデザインすることを考えると、制約条件のもとでの生産者の意思決定の問題をモデルに組み込む必要がある。与えられた価格のもとで、利潤を最大化するために、企業が生産への投入物と生産量を決定するプロセスをモデル化する。まずは生産要素が一財のケースで考え、二財のケースに拡張する。

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生産関数

生産関数f(.)は、資源（L）の投入と生産物 y の産出の関係を表す。

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ここでは生産関数は増加関数で強凹 (Strictly Concave) 関数とする。

これは、限界生産性が逓減するということ。例えば、

労働以外の生産要素（機械）があり、短期的には機械の数を増やせない。

労働者を増やすと労働者に機械が行き渡らない。追加で雇った一人あたりの生産能力が減ってゆくという状況を想定している。

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利潤最大化

消費者の問題を効用最大化問題として定式化したのと同じように、企業の問題を利潤最大化問題として定式化する。消費者の場合と同様に、企業は価格受容者（プライステイカー）であると仮定する。

財の価格を p、投入される生産要素（労働）の価格を w とする。

利潤は、

π ≡ pf(L) − wL と書ける。

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生産者の問題は、以下のように定式化される： maxL ≡ pf (L ) − wL

限界生産性が逓減してゆくのであれば、最適解 L^∗が存在し、 pf^′(L^∗) = w

が成立する。

これは、もう一人雇うことによって得られる追加的な収入 pf^′(L)＝限界収入 (Marginal Revenue)が、もう一人雇うことの追加的なコスト w＝限界費用 (Marginal Cost)に等しくなるところまで L を増やすということ。

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生産関数と費用関数

生産関数から費用関数を導出する：

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生産関数と費用関数

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生産関数と費用関数

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生産関数と費用関数

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平均費用と限界費用

製品一単位あたりの生産コスト C(y)/y が平均費用：

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製品一単位あたりの生産コスト C(y)/y が平均費用：

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平均費用と限界費用

もう一単位生産するのにかかる追加的なコスト C^′(y)が限界費用^:

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もう一単位生産するのにかかる追加的なコスト C^′(y)が限界費用^:

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平均費用と限界費用

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平均費用と限界費用

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平均費用と限界費用

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平均費用と限界費用

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費用関数を用いると、利潤は π = py − C(y) で与えられる。すなわち、利潤最大化の条件は、p = C^′(y)。

この条件は、価格 p と、そのもとで最適な生産量 y の関係を記述するので、縦軸のラベルを p にすれば、限界費用関数は個別供給曲線と見なすことができそう。

ちなみに π = 0 とおくと、p = C(y)/y となるので、限界費用曲線と平均費用曲線が交わるところで利潤が Oとなる。その点を損益分岐点 (Break Even Point）と呼ぶ。

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供給曲線の導出

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損益分岐点より下は供給曲線に含まれるのか？

固定費用 F は、生産量を 0 としても回収不能なコスト（＝サンクコスト）と仮定。

生産しなければ 0 だが、１単位でも生産するとかかるコスト F˜を新たに導入する。

すなわち、C(y) = wL(y) + ˜F1[y > 0] + F とする。

前半 wL(y) + ˜F1[y > 0] を可変費用 (Variable Cost) と呼び、 VCで表す。

VCを y を割ったものを平均可変費用 AVC と呼ぶ。

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供給曲線の導出

利潤は π = py − VC − F で与えられる。

Fは生産をやめても回収不能なので、py − VC > 0 である限り、利潤がマイナスでも生産する。

すなわち、

p > AVC である限り、生産は行われる。

限界費用曲線（≈ 供給曲線）は平均可変費用の底を通るので、そこが操業停止点 (Shutdown Point)。

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供給曲線の導出

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長期では、労働以外の要素も調整できるかもしれない。

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長期と短期の総費用

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長期と短期の総費用

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長期と短期の総費用

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長期と短期の平均費用

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長期と短期の平均費用

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長期と短期の平均・限界費用

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長期と短期の平均・限界費用

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長期と短期の平均・限界費用

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労働 L に加え、新たに資本 K を生産要素として考える。生産関数は f(L, K) で与えられる。

生産関数は基本的には凹関数と仮定する。

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生産要素が２つの生産可能性集合

図で見ると…

出典：神取道宏『ミクロ経済学の力』

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生産要素の投入量 (L, K) を α > 1 倍したとき、生産量 y が k 倍になるとする。このとき、

k < α倍なら収穫逓減 k = α倍なら収穫一定 k > α倍なら収穫逓増

一般的には収穫逓減の生産関数を考える。

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等量線の導入

生産可能性集合から等量線を導出する。

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等量線は原点に向かって凸になっている場合が多そう。

(55)

限界代替率

等量線の傾きは、労働を一単位増やすことでいくら資本を節約できるかを表す。

y= f (L, K )を全微分して、

dy = fLdL + fKdK

等量線上では生産量が一定なので、dy = 0 とおくと、 dK

dL ^{= −} fL

fK

左辺は等量線の傾きで、fL/fKを（技術的）限界代替率 (Marginal Rate of Substitution)_と呼ぶ。

原点に向かって凸な等量線は、限界代替率逓減の法則を表す。

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図で見ると…

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限界代替率

図で見ると…

(58)

図で見ると…

(59)

限界代替率

図で見ると…

(60)

等量線の凸性は生産関数の凹性と対応している。

(61)

限界代替率逓減の法則

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限界代替率逓減の法則

(64)

生産要素間の代替関係を詳しく見るため、代替の弾力性 σを以下のように定義する:

σ= ^d

K L^/

K L

d^f_f^L

K^/

fL

fK

すなわち σ は、等量線の傾き (MRS) が１％変化した時、生産に投入された投入物の比率 (K/L) が何％変化したかを表す。代替の弾力性は、

σ = ^d

K L^/

K L

d_f^f^L

K^/

fL

fK

= d log(K /L) d log(MRS) で計算できる。

(65)

代替の弾力性

図で見ると…

(66)

以下のような生産関数をコブ・ダグラス型生産関数と呼ぶ： y = f (L, K ) = AL^αK^β

コブ・ダグラス型生産関数は α + β 同次関数。 MRS_は、

MRS = ^{A αL}

α−1_Kβ

A βL^αK^β−1 ⁼ α β

K L log(K /L) = log(MRS) − log(α/β) なので、σ = 1

(67)

例題２：CES 型生産関数

以下のような生産関数を CES 型生産関数と呼ぶ： y = f (L, K ) = a [γL^−ρ_{+ (1 − γ)K}^−ρ]^−ν/ρ CES関数は ν 同次関数。

MRSは、

MRS = ^f^L fK

= ^γ 1 − γ

( L K

)−ρ−1

log⁽^K_L⁾ = _1+ρ¹ log_{(MRS) −} _1+ρ¹ log⁽ ^γ

1−γ^{) なので σ =} 1 1+ρ

(68)

CES関数の ρ を 0 に収束させたのがコブ・ダグラス。 CES関数の対数を取ると、

logy _{= log a −} ^ν

ρ^log^[γL

−ρ_{+ (1 − γ)K}−ρ_]

右辺について ρ → 0 を考える。ロピタルの定理を使えば、 loga+ νγ log(L) + ν(1 − γ) log(K ) = aL^α^K^β が得られる。ただし α ≡ νγ、β ≡ ν(1 − γ)。

(69)

等費用線

同じ生産量を生み出す L と K の組み合わせをプロットしたのが等量線。

同じ費用を生じさせる L と K の組み合わせをプロットしたのが等費用線。

生産に必要なのが L と K だけなら、費用 C は、 C = wL + rK

で与えられる。

ある C についてこれを満たす L と K の組み合わせを描いたものが等費用線。

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図で見ると…

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利潤最大化

ある費用水準 C のもとで利潤最大化する：

(72)

ある費用水準 C のもとで利潤最大化する：

(73)

費用最小化

あるいは、ある生産量 y のもとで費用最小化する：

(74)

あるいは、ある生産量 y のもとで費用最小化する：

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利潤最大化

ある費用水準 C のもとで利潤最大化するにしても、ある生産量 y のもとで費用最小化するにしても、等量線と等費用線が接する L と K の組み合わせで生産が行われる。

すなわち、生産者が最適化しているならば、 fL

fK

= ^w r が成立している。

これは

fL

w ⁼ fK

r

とも書ける。すなわち、労働者に支払われた最後の１円と、機械に支払われたレンタル料の最後の１円が生み出す生産量が等しいということ。

(76)

これは、生産者の問題を普通に解いても得られる。生産者の問題は以下で与えられる：

max

L ,K ^pf(L, K ) − wL − rK 一階の条件は、

pfL − w = 0 pfK− r = 0

両式を p について解いて組み合わせれば、以下を得る： fL

fK

= ^w r

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利潤最大化の条件が意味するもの

要素価格の比率（w/r）は、限界生産性の比率（fL/fK）に等しいということ。

資本（機械）がたくさんあって、その割に労働者が少ないような国（先進国）では、fKが小さく、fLは大きくなるので、 w/rは大きくなる。

逆に、人はたくさんいるが、その割に資本（機械）が少ないような国（途上国）では、fK が大きく、fL は小さくなるので、 w/rは小さくなる。

これは現実に傾向として観察される。

(78)

図で見ると…