練習問題（解答）

(1)

練習問題₁ (2012 年 4 月 19 日出題)

問題１．順序尺度あるいは順序尺度データの例をあげなさい。

（解答）順序尺度の例

• アンケート調査での 5 段階による回答「そう思わない、あまりそう思わない、どちらとも言えない、どちらかというとそう思う、そう思う」

• 債券の格付「Aaa, Aa, A, Baa, Ba, B, Caa, Ca, C」(Moody’s による格付け)

問題２．ある大学では学生の総合成績を評価するのにGPA(Grade Point Average) を用いている。この大学2 年生の A 君の GPA は 3.5，B 君の GPA は 2 であった。A 君は B 君に向かって

「ぼくの成績は君の成績のちょうど1．5 倍だね．もう少しがんばったら。」と言った。A 君の発言について測定の尺度の観点から批判しなさい。

(解答) GPA は順序尺度データの平均である。順序尺度で測定された値の比には意味がないので、A 君の発言は妥当ではない。

(2)

練習問題₂ (2013 年 4 月 26 日出題)

問題１．30 代の会社員を 40 名選んで年間所得（万円）を調査したところ、以下のデータを得た。

310, 340, 410, 420, 430, 440, 470, 480,

510, 510, 520, 530, 540, 545, 560, 560, 580, 590, 610, 630, 640, 660, 670, 660, 680, 710, 730, 740, 745, 760, 780,

855, 860, 870, 870, 980,

1020, 1070,_1210, ₁₃₆₀

（１）ヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを0, 100, 200, 300, . . . とすること。

図 _{1: ヒストグラム}

(3)

（２）ヒストグラムを描きなさい．ただし階級の区切りを0, 50, 100, 150, 200, 250, . . . とすること。

Histogram of sal$salary

sal$salary

Frequency

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0246810

図 _{2: ヒストグラム}

（３）このデータのメディアンを求めなさい。（１）で描いたヒストグラムの横軸にメディアンの位置を矢印で示しなさい。

630 + 640

2 ^{= 635} から，メディアンは_{635 万円である．}

（４）二つのヒストグラムの違いを書きなさい。

このデータに対しては、階級幅100 のヒストグラムは山の形状がほぼなめらかで、分布の様子がわかりやすい。一方、階級幅が50 のヒストグラムは柱の高さの変化がはげしく、データの分布の形状がわかりにくい。

一般に、階級幅が小さすぎると、ヒストグラムから分布の形状がわかりにくくなる。

(4)

練習問題₃ (2013 年 5 月 10 日出題) 問題１．以下の式を

P

記号を用いない式で書き表わしなさい．ただし_{a は数である．}

(1)

5

X

i=1

xi = x¹+ x²+ x³+ x⁴ + x⁵

(2)

n

X

i=1

xi = x¹+ x²+ · · · + xⁿ

(3)

n

X

i=1

x²_i = x²1+ x²2+ · · · + x²n

(4)

n

X

i=1

(xi _{− a) = (x}¹_{− a) + (x}² − a) + · · · + (xⁿ− a)

= x¹+ x²+ x³+ x⁴+ · · · + xⁿ− na 問題２．以下の式を

P

記号を用いて書き表わしなさい． (1) x¹+ x² + · · · + xⁿ⁼

n

X

i=1

xi

(2) x²+ x³ + x⁴+ x⁵ =

5

X

i=2

xi

問題３．以下の式をが成り立つことを証明しなさい

n

X

i=1

(xi_{− ¯x) = 0}

証明

n

X

i=1

(xi_{− ¯x) =} n

X

i=1

xi+

n

X

i=1

(−¯x)

=

n

X

i=1

xi₋ n

X

i=1

¯ x

=

n

X

i=1

xi_{− n¯x}

=

n

X

i=1

xi₋ n

X

i=1

xi = 0

(5)

練習問題 4 (2013 年 5 月 17 日出題)

問題１．データ(高校生のこづかい、単位千円)

4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 15, 18, 20, 50

このデータについて以下の値を求めなさい．

(1) 第 1 四分位数=6, ^第2 四分位数=9.5，第 3 四分位数=12 (2) 範囲=50 − 4 = 46

(3) 四分位範囲=12 − 6 = 6

問題２．（分散、標準偏差）以下は，あるクラスの英語の点数である． 2, 4, 6, 8, 10

(1) このデータの平均 ¯x を求めなさい．

(2) このデータの分散 S_x²^{と標準偏差}Sxを求めなさい．計算式も書く．解答₍₁₎

¯ x = 6 解答₍₂₎

(x¹_{− ¯x)}²+ (x² _{− ¯x)}²+ (x³_{− ¯x)}²+ (x⁴_{− ¯x)}²+ (x⁵_{− ¯x)}²

=(2 − 6)² + (4 − 6)²+ (6 − 6)²+ (8 − 6)²+ (10 − 6)²

=(−4)²+ (−2)²^{+ 0}²^{+ 2}²^{+ 4}²

=16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 したがって

S_x² = ⁴⁰ 5 ^{= 8} 標準偏差は

Sx =^√8 =^√2 × 2 × 2 = 2^√2 ; 2 × 1.4142 ; 2.83

(6)

練習問題5 (6 月 7 日出題)(解答)

問題１．n 個の個体について，二つの変数 x と y についてデータ (x¹, y¹), (x², y²), . . . , (xn, yn)

で与えられているとする．x と y の共分散および相関係数の定義を書きなさい． Sxy = ¹

n

X

i=1

(xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y), r =}

Sxy

SxSy

問題２．以下のデータは，ある中学のクラスの5 人の（1 週間の）数学の勉強時間（時間）と数学の点数である．

勉強時間_(x_i₎ 数学の点数_(y_i₎ _(x_i_{− ¯x) (y}_i_{− ¯y) (x}_i_{− ¯x)(y}_i_{− ¯y)}

11 71 -2 -2 4

12 73 -1 0 0

13 72 0 -1 0

14 74 1 1 1

15 75 2 2 4

和 ₉

（１）表を完成させて，勉強時間と数学の点の共分散を求めなさい。（式も書く）

¯

x = 13, ¯y = 73 である．これらを用いて表を完成させる．したがって共分散は Sxy = ⁹

5 ^{= 1.8} である．

（２）勉強時間と数学の点の相関係数を求めなさい。（式も書く）以下の公式を用いて相関係数を求める．

r =

n

X

i=1

(xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

v u u t

n

X

i=1

(xi_{− ¯x)}² n

X

i=1

(yi_{− ¯y)}²

n

X

i=1

(xi_{− ¯x)}

2 = (−2)²+ (−1)²^{+ (0)}²^{+ (1)}²^{+ (2)}² ^{= 10}

n

X

i=1

(yi_{− ¯y)}

2 = (−2)²^{+ (0)}²+ (−1)²^{+ (1)}²^{+ (2)}² ^{= 10}

であるから，相関係数は r = _√ ⁹

10 × 10 ⁼ 9

10 ^{= 0.9} となる．

(7)

統計学入門練習問題 6 (6 月 28 日実施，正答付き)

下の表は，郊外の五つの駅の周辺人口と各駅の1 日平均乗車数のデータ (架空) である. xi ^周辺人口(万人) yi ^駅乗車数(万人)

5 5

6 8

7 7

8 6

9 9

(1) 散布図にデータを描きなさい

(2) 以下の表を完成させて、回帰式を求めなさい． xi yi (xi_{− ¯x) (y}i_{− ¯y) (x}i_{− ¯x)}

2 (xi_{− ¯x)(y}i_{− ¯y)}

5 5 -2 -2 4 4

6 8 -1 1 1 -1

7 7 0 0 0 0

8 6 1 -1 1 -1

9 9 2 2 4 4

和 ₀ ₀ ₁₀ ₆

¯

x =7, y = 7¯

b =6/10 = 0.6, a = 7 − 0.6 × 7 = 2.8 である．回帰式は

ˆ

y = 2.8 + 0.6x

(3) 回帰直線を散布図上に描きなさい。

解答：散布図を見て下さい。回帰直線が点_(¯_{x, ¯}y) = (7, 7) を通ることに注意すること。(回帰直線は常に_(¯_{x, ¯}_{y) を通ります．)}

(8)

統計学入門練習問題 7(7 月 19 日)(正答) 問題１

(1) nCr = ^n! r!(n − r)!

(2) ⁶C³ = ^6! 3!3! ⁼

6 × 5 × 4 3 × 2 ^{= 20}

(3) ⁶C¹ = ^6! 1!5! ^{= 6}

(4) 6 個の科目から 3 個の科目を選ぶ場合の数．答え_:

6_C3 ₌

6! 3!3! ^{= 20} であるから_{20 通り．} 問題２

1 から 4 までの数が書かれたカードがそれぞれ 1 枚ずつある．これらのカードの中から 2 枚のカードを無作為に引く試行を考える．

(1) この試行の標本空間を書きなさい．

Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }

ただし，たとえば(1, 2) は 1 のカードと 2 のカードが引かれる結果を意味する． (2) 引かれた 2 枚のカードに 1 が書かれたカードが含まれる確率を求めなさい．

P (1 が書かれたカードが含まれる) = P ({(1, 2), (1, 3), (1, 4)}) = ³₆ ⁼ ¹₂

問題３

(1) コインを 4 回投げるとき，4 回とも裏が出る確率を求めなさい．

答え：この試行の結果を，たとえば表, 表, 裏, 裏の順になる結果を HHTT と表すとする． P ({TTTT}) = ₁₆¹

(2) コインを 4 回投げるとき，少なくとも 1 回表が出る確率を求めなさい．答え：

P (少なくとも 1 回表が出る) = 1 − P ({TTTT}) = ¹⁵₁₆

(9)

統計学入門練習問題 8 _{(9 月 13 日)} 問題１

ある会社が販売するコンピュータには0.1 の割合で不良品が含まれている．不良品は使用開始 1 年以内に故障する確率が 0.5 であり，不良品でないコンピュータではこの確率は 0.01 である．この会社から買ったコンピュータが使用開始一年以内に故障する確率を求めよ．

答え：事象A, B を以下のように定義する．

A =買ったコンピュータが一年以内に故障する B =買ったコンピュータが不良品である

このときA = {A ∩ B} ∪ {A ∩ B^c} であるから P (A) =P (A ∩ B) + P (A ∩ B^c⁾

=P (B)P (A|B) + P (B^c)P (A|B^c⁾

=0.1 × 0.5 + 0.9 × 0.01 = 0.05 + 0.009 = 0.059 である．

問題２：

(1) さいころを 4 回投げるときに，3 の目が 1 回だけでる確率を求めよ．答え：この事象の確率は

4_C1

1 6

5 6

³

=4 × ⁵

3

6⁴

= ⁵

3

9 × 6² ⁼ 75 324 である．

(2) さいころを 4 回投げるときに，3 の目が 2 回だけでる確率を求めよ．答え：この事象の確率は

4_C2

1 6

²

5 6

²

= ^4! 2!2! ^×

5² 6⁴

=6 × ⁵

2

6⁴ ⁼ 25 216 である．

(3) さいころを 4 回投げるときに，3 の目がでる回数を X で表す．X の確率分布は何か？正確に答えなさい．また，X の期待値を求めよ．

答え： X の確率分布は二項分布 B(4, 1/6) である．

X が二項分布 B(n, p) にしたがうとき X の期待値は np であるから、この場合，期待値は⁴6 = ²3

である．

(10)

統計学入門練習問題 9

問題１(連続型の一様分布) X が区間 [0, 1] 上の一様分布にしたがうとき，P (0 ≦ X ≦ 0.5) の値を表す部分に斜線を引きなさい．

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.00.20.40.60.81.01.2

x

問題２下の図は平均0，分散 1 の正規分布 N (0, 1)（標準正規分布）の確率密度関数である．

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0.00.10.20.30.4

x

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

0.00.10.20.30.4

x

（１）X が正規分布 N (0, 1) にしたがうとする．左の図上で，P (−1 ≦ X ≦ 1) の値を表す部分に斜線を引きなさい．

（２）X が正規分布 N (0, 1) にしたがうとする．右の図上で，P (2 ≦ X) の値を表す部分に斜線を引きなさい．

(11)

問題３標準正規分布N (0, 1) の確率密度関数のグラフを描きなさい．解答：

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

x

...

図 _{3: 標準正規分布}

問題４正規分布N (4, 1) の確率密度関数のグラフを描きなさい．解答：

0 2 4 6 8

0.00.10.20.30.4

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(12)

統計学入門練習問題 11(11 月 29 日出題) 問題 1

あるコンビニでは8 月に，ポカリスエット (500ml) とおーいお茶 (500ml) が多く売れる。8 月の一日に売れるポカリスエットの本数を確率変数X, おーいお茶の本数を確率変数 Y で表すとしよう。X, Y の期待値は E(X) = 90，E(Y ) = 80 であり，分散はそれぞれ V (X) = 25，V (Y ) = 9 であるとする。また，X と Y の共分散は Cov(X, Y ) = 10 である。両方の合計本数の期待値と分散を求めなさい。

解答_:

E(X + Y ) =E(X) + E(Y ) = 90 + 80 = 170

V (X + Y ) =V (X) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) = 25 + 9 + 2 × 10 = 54

問題 2

あるスーパーにおける1 日の食料品の売上を X とする．雑貨の売上を Y とする (単位は万円)． X と Y は独立であり，X は正規分布 N (300, 100) にしたがい，Y は正規分布 N (100, 44) にしたがうと仮定する．合計金額X + Y の確率分布を求めなさい．

解答: X + Y の期待値は 300 + 100 = 400(万円)，分散は 100 + 44 = 144 である。したがって講義ノート定理7.2 から X + Y の確率分布は正規分布 N (400, 144) である．

問題 3

ある大学の陸上部では，400m リレー走の練習をしている．A 君，B 君，C 君，D 君の順に第 1， 2，3，4 走者である．400m リレー走での A 君，B 君，C 君，D 君の 100m のタイム (秒) は独立でそれぞれ正規分布N (13, 0.36), N (12, 0.25), N (12, 0.25), N (11, 0.35) に従うものとする．このチームの400m リレー走のタイムの確率分布を求めよ．

解答_:

A 君，B 君，C 君，D 君の 400m リレーの中でのタイムをそれぞれ X¹, X², X³, X⁴^{で表そう．リ} レーのタイム_X1_{+ X}2_{+ X}3_{+ X}4の期待値は13 + 12 + 12 + 11 = 48(秒)，分散は 0.36 + 0.25 + 0.25 + 0.35 = 1.21 である。したがって講義ノート定理 7.2 から X¹+ X²+ X³+ X⁴^{の確率分布} は正規分布N (48, 1.21) である．

(13)

統計学入門練習問題 12(12 月 6 日出題) 問題１_{(母比率の信頼区間)}

標本の大きさn が大きいときの，母比率 p に対する信頼係数 95% の信頼区間の公式を書きなさい．

解答：

"

p − 1.96ˆ

r_{p(1 − ˆp)}ˆ

n ^{, ˆ}^{p + 1.96}

r_{p(1 − ˆp)}ˆ n

#

問題２(母比率の推定値と信頼区間)

ある選挙区で，100 人の有権者を無作為に抽出して調べたところ，A 党の支持者が 40 人であった．

(1) 標本における A 党の支持率 ˆp を求めなさい．

(2) この選挙区における A 党の支持率 p に対する信頼係数 95% の信頼区間を求めよ．(^√24 ; 4.9 を使うこと．₎

解答：解答：(1) 標本における比率は ˆp = 0.4 である．(2) r_{p(1 − ˆp)}ˆ

n ⁼

r0.4(1 − 0.4) 100 ⁼

r 0.24 100 ⁼

r 24

10000 = 4.9/100 = 0.049 であるから，

1.96 ×

r_{p(1 − ˆp)}ˆ

n = 1.96 × 0.049 = 0.096 したがって，p に対する信頼係数 95% の信頼区間は

[0.4 − 0.096, 0.4 + 0.096] = [0.304, 0.496] となる．

問題３_{(母比率の信頼区間)}

ある工場で，製品の中から無作為に400 個を抽出して調べたところ，40 個の不良品があった．この工場で作られる製品の不良率p に対する信頼係数 95% の信頼区間を求めよ．

解答：解答：標本における比率はp = 0.1 である．_ˆ r_{p(1 − ˆp)}ˆ

n ⁼

r0.1(1 − 0.1) 400 ⁼

r 0.09 400 ⁼

0.3

20 ^{= 0.015} であるから，

1.96 ×

r_{p(1 − ˆp)}ˆ

n = 1.96 × 0.015 = 0.0294 したがって，p に対する信頼係数 95% の信頼区間は

[0.1 − 0.029, 0.1 + 0.029] = [0.071, 0.129] となる．