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E in Me test02 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me test02 ans

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Academic year: 2017

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力学演習 小テストNo.2 (July 14, 2011) 空気抵抗を伴う落下運動 1 問題1. 質量mの質点を点Oから初速度0で静かに落下させる。このとき質点には速度に比例する空気抵 抗f = −kmv,(k ≥0)が働くとする。点Oが十分高い点だとして以下の問いに答えよ。

1-1. 鉛直下方をy軸の正の方向とし,点O y座標を0として運動の概略図を描け。初期条件お よび落下中に作用する力が分かるようにする。重力 加速度はgとせよ。

mg

mg

t=0

Žž

t

y

y=0

-kmv

v=0

v(t)

1-2. kの次元を求めよ。 物理量Aの次元を[A]と書く。

[kmv] = [f ] [k]M LT−1= M LT−2

[k] = T−1= (時間の逆数). (1)

1-3. 運動方程式を立てよ。

左辺をyまたはvで書いた方程式を列記すると md

2y

dt2 = mg − kmv, mdv

dt = mg − kmv. (2)

ベクトル表記を用いると

md

2y

dt2 = mg − kmv, mdv

dt = mg − kmv となる。

1-4. y方向の速度v(t)を求めよ。 運動方程式(2)より

dv

dt = −k(v − g k )

v(t) 0

dv v −kg = −

t 0

k dt [log(v −g

k )]v(t)

0 =[−kt] t 0

log

v(t) −kg

gk

= −kt. (3)

後で分かるようにlogの引数は負にならないので

v(t) = g k

g ke

−kt= g

k(1 − e

−kt) (4)

1-5. 十分時間が経った後(t ≫ k1)での速度 vを求めよ。

kt ≫1すなわちe−kt1なので,上で求めた 速度(4)より

v: = lim

kt→∞v(t) = limkt→∞

g k(1 − e

−kt)

g

k (5)

と求まる。

1-6. kt ≪1としてv(t)k1次まで展開 し,k= 0のとき自由落下の結果と一致することを 確かめよ。

(4)式の指数に 1

k がかかっているので,v(t)k1次まで展開するには,その指数をk2次まで 展開する必要がある。

v(t) ≃ g k

g

k(1 − kt + 1 2k

2t2+ O(k3))

= g k

g k+ gt −

k 2gt

2+ O(k2)

= gt −k 2gt

2+ O(k2) (6)

となる。従ってk= 0のとき,自由落下の結果と一 致する。

参照

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