E in Me test02 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in Me test02 ans

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(1)

力学演習 小テストNo.2 (July 14, 2011) 空気抵抗を伴う落下運動 1 問題1. 質量mの質点を点Oから初速度0で静かに落下させる。このとき質点には速度に比例する空気抵 抗f =−kmv,(k≥0)が働くとする。点Oが十分高い点だとして以下の問いに答えよ。

1-1. 鉛直下方をy軸の正の方向とし,点Oの y座標を0として運動の概略図を描け。初期条件お よび落下中に作用する力が分かるようにする。重力 加速度はgとせよ。

mg

mg

t

=0

Žž

t

y

y=

0

-kmv

v

=0

v

(

t

)

1-2. kの次元を求めよ。 物理量Aの次元を[A]と書く。

[kmv] = [f]

[k]M LT−1

=M LT−2

∴[k] =T−1= (時間の逆数). (1)

1-3. 運動方程式を立てよ。

左辺をyまたはvで書いた方程式を列記すると

md 2y

dt2 =mg−kmv,

mdv

dt =mg−kmv. (2)

ベクトル表記を用いると

md 2y

dt2 =mg−kmv,

mdv

dt =mg−kmv

となる。

1-4. y方向の速度v(t)を求めよ。 運動方程式(2)より

dv dt =−k

(

v−g

k

)

∫ v(t)

0

dv v−kg =−

∫ t

0 k dt

[

log(v−g

k

)]v(t)

0 =

[

−kt]t

0

log

v(t)−kg −gk

=−kt. (3)

後で分かるようにlogの引数は負にならないので

∴v(t) = g

k− g ke

−kt= g k

(

1−e−kt)

(4)

1-5. 十分時間が経った後(t≫ k

−1)

での速度 v∞を求めよ。

kt≫1すなわちe

−kt

≪ 1なので,上で求めた

速度(4)より

v∞: = lim

kt→∞v(t) = limkt→∞

g k

(

1−e−kt)

≃ g

k (5)

と求まる。

1-6. kt≪1としてv(t)をkの1次まで展開 し,k= 0のとき自由落下の結果と一致することを 確かめよ。

(4)式の指数に 1

k がかかっているので,v(t)をk の1次まで展開するには,その指数をkの2次まで 展開する必要がある。

v(t)≃ g

k− g k

(

1−kt+1 2k

2t2+O(k3))

= g k−

g k+gt−

k 2gt

2+O(k2)

=gt−k

2gt

2+O(k2) (6)

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