『新しい計量経済学』鹿野研究室 slide16

(1)

計量経済学_#16

線形制約の仮説検定 ₍₂₎

鹿野繁樹

大阪府立大学

2017 年 12 月更新

鹿野繁樹 _{(大阪府立大学)} 計量経済学_#16 2017 年 12 月更新 1 / 29

(2)

Outline

1 カイ2 乗検定と F 検定

2 応用：回帰係数の均一性検定

テキスト：鹿野繁樹 [2015]、第 8.3 章・第 8.4 章。

前回の復習

1 _{回帰係数への線形制約}

2 _{線形制約の残差}_{2 乗和への影響}

(3)

Section 1 カイ ₂ 乗検定と _F 検定

(4)

カイ ₂ 乗統計量による検定

線形制約を検定するアイディア（講義ノート_#15）

線形制約のもとでのOLS 残差 2 乗和を Q^R = ˆv_i²^{、制約のな} いOLS 残差 2 乗和を Q = ˆu²_i ^{と置くと、}

Q^R > Q. (1) 制約は、モデルのデータへの当てはまりを悪化させる。

∴ 差_QR₋Q が十分大きければ、制約がデータに適合しないとみなし、棄却すればよい。

残された問題：差_QR₋Q を適当な検定統計量に変換。

(5)

差_QR−Q を次のように変換すると、^カイ2 乗統計量^を得る。 χ² =^Q^R⁻^Q

Q

m, m = n − (k + 1). (2)

（χ はギリシア文字の「カイ」。）

制約による残差2 乗和の増加率 (QR−Q)/Q に、t 検定の自由度_{m を乗じた統計量。}

χ²^{は、サンプル数}n が十分大きいとき、自由度 G の^カイ2 乗分布に従う。

χ² ∼Chi(G). (3) G は制約の数、回帰係数の数 (k + 1) より小さい。（通常あまり大きな数にならない。）

通常n は十分大きいので、カイ 2 乗統計量を使っても問題ない。_⇒n が少ない場合は F 統計量（後述）を使う。

(6)

0.000.050.100.15

χ²

f

0 ^χ²^(5)=11.07

α=0.05

図 _{1 :} 自由度_{G = 5}のカイ₂乗分布と_5%臨界値

(7)

図1：自由度 G = 5 のカイ 2 乗分布左右対称の歪んだ分布。

χ² > 0 の領域だけをカバー。（QR−Q > 0、Q > 0 なので χ² は負の値をとらない。）

自由度G = 5 のとき、右端 5%臨界値は χ²(5) = 11.07。

(8)

線形制約のカイ2 乗検定の手順（t 検定と同様）。

Remark 1

線形制約_H₀のカイ_{2 乗検定の手順}

1 制約なしのモデル、制約付きのモデルをそれぞれ_{OLS 推定し} Q と Q^R^{を求め、差}Q^R−Q をカイ 2 乗値に変換。

χ²_∗ =^Q^R⁻^Q Q

m. (4)

2 _カイ2 乗分布表から自由度 G（= 制約の数）の 5%臨界値、 χ²0_.05(G) を求め、χ²_∗ > χ²0_.05(G) ならば H⁰^を棄却。

分布表から求める臨界値が右片側_{5%である点に注意。} 標本から計算したカイ_{2 乗値 χ}

2

∗^が（^Q^R⁻^{Q が）十分大きいか}

否かが問題。_{⇒ 右片側だけで}5%になるように臨界値を置く。

(9)

Example 1

コブ・ダグラス型生産関数の規模に関する収穫一定の仮定（講義ノート#15）で、二つの残差 2 乗和からカイ 2 乗値を求めると

χ²0 = 0.82 − 0.66

0.66 ^×(89 − 3) = 20.85. (5) 自由度G = 1 の 5%臨界値は、分布表より χ²(1) = 3.841。

∴_χ²₀ = 20.85 > 3.841 より、H⁰は棄却される。収穫一定の仮定は、データで支持されない。

(10)

サンプル数が少ないケース： _F 検定

カイ2 乗検定は、サンプル数 n が十分ことが前提。⇒ n が少ないならば、カイ_{2 乗ではなく}_{F 統計量}を使う。

F = ^(Q^R⁻^Q) Q

m

G^. ⁽⁶⁾

F は、n の大小にかかわらず、自由度が G と m のF 分布^に従う。

F ∼ F(G, m). (7) F 統計量は自由度を二つ持つのため、使いづらい。

各自由度の組み合わせに対する臨界値の表は膨大_{⇒ 松原望} et al. [1991] を参照。

(11)

カイ2 乗統計量と F 統計量の定義 (3) 式、(6) 式より F = ¹

G^χ

2 ⇔ χ² = GF. (8)

また両定義式から

χ² = Q の増加率 × 自由度 (9) F = 制約当たりの Q の増加率 × 自由度 (10) いずれの検定統計量も、線形制約による残差_{2 乗和の悪化に} 着目している点（尤度比原理）は同じ。

(12)

Section 2 応用：回帰係数の均一性検定

(13)

サブ・サンプル：標本の分割と統合

一つの標本を、何らかの基準で複数グループに区分できるとき、それらをサブ・サンプル（sub-sample）と呼ぶ。

逆に、複数のサブ・サンプルを一つの標本にまとめ用いることを、「標本をプールする」と言う。

例：企業向けのアンケートの回答に製造業・非製造業が混合。

⇒ 二つのサブ・サンプルが存在。

(14)

Example 2

表1：マンション価格の分析で使った標本を、ワンルームとそれ以外のサブ・サンプルに分け_{OLS 推定。}

両サブ・サンプルの係数推定値を比較。面積を除き顕著な差。標本をプールした推定値は、前述二つの推定結果の中間的な値。

(15)

ワンルーム以外ワンルーム全サンプル

係数 _{t 値} 係数 _{t 値} 係数 _{t 値}

定数項 _1933.77 _12.17 _798.12 _1.67 _1496.51 _9.88 最寄駅時間 _-38.05 _-4.08 _5.36 _0.24 _-32.68 _-3.20 築年数 _-63.02 _-15.16 _-43.92 _-4.53 _-58.45 _-12.61 面積 _60.16 _22.48 _63.39 _3.57 _64.18 _33.58

修正済みR^¯² _0.85 _0.82 _0.88

サンプル数n 157 37 194

残差_{2 乗和/10 万} ₉₁₈ ₃₈ ₁₀₂₀

表_{1 :} サブ・サンプルに分けたマンション価格の分析結果

(16)

係数推定値は、属性による差異があることが多い。_{⇒ サンプル数} が十分多いならば、サブ・サンプルに分けた分析がよい。

例：労働者の賃金_Y_iを子ども数_X_iに回帰すると、男性サンプルでは係数が正に、女性サンプルでは負。

∴男女をプール_⇒両者の係数が平準化・相殺され、係数が統計的に有意に推定されない。

労働経済学では、標本を男女に分割して分析を進めるのが常識。

(17)

サブ・サンプル _OLS の利点と欠点

サブ・サンプルOLS とプールした OLS の、理論的な対応関係は？ダミー変数_D_i = 0, 1 で、グループ 0 を Di = 0（サンプル数 n⁰^）^{、グループ}1 を Di = 1（サンプル数 n¹^{）と表記すれば、}

Di = 0 : Yi = α + β¹X¹i+ β²X²i+ · · · + βkXki+ u⁰i, i = 1, 2, . . . , n⁰, (11) Di = 1 : Yi = α^′ + β1^′X¹i+ β2^′X²i+ · · · + β_k^′Xki+ u¹i,

i = 1, 2, . . . , n¹. (12) Di = 0, 1 でモデルがスイッチするイメージ。

βj = β_j^′ ^に注意。Di = 0 グループの Yi^とDi = 1 グループの Yi

は、それぞれ異なる回帰モデルに従って変動している、と考える！

(18)

しかし、もし係数が両サブサンプルで均一ならば、分析を_{2 回に} 分けるのはムダ。⇒ 線形制約で言えば、^{係数均一性の仮定}

H⁰ : α = α^′, β¹ = β1^′, . . . , βk= β_k^′. (13)

上式が真ならば標本のプールが許され、推定すべきモデルは Yi = α + β¹X¹i+ β²X²i+ · · · + βkXki+ vi, i = 1, 2, . . . , n

(14) の一本のみ。

∴(14) 式は、(11) 式および (12) 式の係数に線形制約 (13) を課すことによって得られる、制約下のモデル。

(14) 式は制約付きのモデルなので、誤差項は vi^と表記。

(19)

Remark 2

標本をプール（統合）した回帰モデルは、サブ・サンプルによる回帰モデルの特殊ケース。

モデル_(11)，(12)

係数の制約なし

係数の均一性

−−−−−−−→ ^モデル(14)

制約付き

(15)

図2 A：サブ・サンプル毎に異なる傾きを持った散布図に、それぞれ異なる直線を当てはめた_{OLS 回帰。}

＋印のグループに比べ○ 印のグループは急な傾き。

二つの直線を当てはめれば、この特徴（差異）をよく反映。図2 B：まとめて一本の直線を当てはめる。

一つの係数を無理やり使いまわす。

どちらにもフィットしない中途半端な直線。

(20)

4 6 8 10

5101520

A

X_i Yi

4 6 8 10

5101520

B

X_i Yi

図_{2 :} サブ・サンプル毎の回帰（_A）_vs. プールした回帰（_B）

(21)

残差_{2 乗和の比較}

(11) 式、(12) 式を別個に OLS 推定した残差 2 乗和を Q⁰^、Q¹ と置き、その和を以下とする。

Q⁰ =

n0

i=1

ˆ

u²0_i, Q¹ =

n1

i=1

ˆ

u²1_i ⇒ Q = Q⁰ + Q¹. (16)

標本をプールした(14) 式の OLS 残差 2 乗和を、以下とする。 Q^R =

n

i=1

ˆ

v_i². (17)

図_2から、QR _{> Q}0は明らか！

(22)

公式 _{1 (} 標本プールによる当てはまりの悪化 ₎

標本をプールしてOLS 推定を行うと、サブ・サンプルに分けた場合と比べ、残差2 乗和が大きくなる。

Q^R =

n

i=1

ˆ

vi > Q =

n0

i=1

ˆ u⁰i+

n1

i=1

ˆ

u¹i. (18)

証明：図_{2を見れば明らか。}

(23)

サブ・サンプル分析の欠点：係数の数は、プールすれば_{(k + 1)。}

⇒ サブ・サンプル毎だと2(k + 1)。

推定すべきパラメータの増加⇒ 自由度の減少、推定の効率性が落ちる。

∴ グループ間の係数の異質性がなければ（線形制約が正しければ）、標本をプールしたほうがよい。

両グループの係数の違いが無視できる範囲内か否か、仮説検定。

(24)

回帰係数の均一性の検定

回帰係数の均一性(13) の検定は、カイ 2 乗統計量を使えば容易。 (18) の制約付き・制約なしの OLS 残差 2 乗和をカイ 2 乗統計量

χ² =^Q^R⁻^Q Q

m, m = n − 2(k + 1) (19)

に変換。

χ²^{は、自由度が}G = (k + 1) のカイ 2 乗分布に従う。

χ² ∼Chi(k). (20) 注意：(13) 式は、計 G = (k + 1) 個の制約。

(25)

Remark 3

係数の均一性：OLS 推定およびカイ 2 乗検定の手順

1 _カイ_{2 乗値 χ}²

∗^の計算。

1 サブ・サンプルに分けて_OLS推定を行い、制約なしの残差₂ 乗和_{Q = Q}₀+_Q₁を得る。

2 標本をプールして_OLS推定を行い、制約付きの_Q_Rを得る。

3 _QR− Q^を、カイ2^{乗値に変換。}

2 _カイ2 乗分布表から 5%臨界値 χ²0_.05(k) を求め、χ²_∗ > χ²0_.05(k) ならば_H0を棄却。

(26)

Example 3

表(1) より、制約なしの残差 2 乗和は Q = 918 + 38 = 956、制約付きの残差_{2 乗和は Q}R = 1020。よってカイ 2 乗値は

χ²_∗ = ^{1020 − 956}

956 ^×(194 − 2 × 4) = 12.45. (21) 一方自由度_m₁ = (K + 1) = 4 の 5%臨界値は χ²(4) = 9.488。 χ²_∗ = 1245 > 9.488 なので、「ワンルーム以外・ワンルームの回帰係数が等しい」とする帰無仮説は棄却される。

(27)

時系列データ（講義ノート_{#01）では、}構造変化_{=「ある時点 n}^∗ の前後で回帰係数が変化したか否か」が議論となる。

観測の前半i = 1, 2, . . . , n^∗^をDi = 0 グループ、後半

i = n^∗+ 1, n^∗+ 2, . . . , n を Di = 1 グループと置けば、係数均一性のカイ2 乗検定を構造変化の検定に使える！

詳しくは拓 [1995] を参照。

(28)

今回の復習問題

次の設問に答えよ。各自用意した紙に解答し、退出時に提出せよ。講義名、日付、学籍番号、氏名を明記すること。

1 _制約数がG = 2 の線形制約 H⁰^の下でQ^R = 120、制約なしで Q = 100 を得た。係数の数は k + 1 = 10、サンプル数は n = 50 である。H⁰^をカイ2 乗検定せよ。（テキスト第 8 章復習問題_{8.4 の類題。）}

2 _復習問題8.4 の訂正、第 1 刷：^（誤）^{「説明変数は}k = 8」⇒

（正）「説明変数は_{k = 7」。}

(29)

References

鹿野繁樹. 新しい計量経済学. 日本評論社, 2015.

松原望, 縄田和満, and 中井検裕. 統計学入門. 東京大学出版会, 1991.

山. 拓. 計量経済学. 新世社, 1995.

『新しい計量経済学』 鹿野研究室 slide16

線形制約の仮説検定 (2)

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前回の復習

Section 1

カイ 2 乗検定と F 検定

カイ 2 乗統計量による検定