Katayama toyolab

ラグビーにおけるサイン選択の最適化

基幹理工学部 数学科  5 年

片山大輔

2014.2.4

1. ^はじめに

今日のラグビーにおける最もメジャーな戦術はキックを使って陣地をとることである。現に、世界の トップレベルのリーグである_Super15であったり、南半球の競合が戦う_{Tri Nations}、ラグビー発祥 の地であるイングランドを中心とした_{Six Nations}は_SOに限らず様々なポジションに優れたキッ カーを置きそのような戦術を多く用いている。しかし、やはりラグビーの試合において一番観客を魅了 するのはチーム一丸となって楕円球をつなぎ、相手の分厚いディフェンスの壁を破った時ではないであ ろうか。私はトライの確率をマルコフチェーンを用いて考え、キック中心の戦術を選ぶことが最適とな るのか、また所謂ノーキックラグビーのほうがトライの確率が上がるのかを述べていこうと思う。 2. マルコフチェーンを用いたラグビー

まず、ラグビーの試合をする₂チーム、_Aと_Bを考える。さらに、ラグビーのグランドを₁₁等分し、 さらにその中に_Aチームがボールを保持しているときのマルコフチェーンと_Bチームがボールを保持 しているときのマルコフチェーンの₂本を考える。

０ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

A team

B team

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

22m 10m Center 10m 22m

Try

Line

Try

Line

Dead

Line

Dead

Line

図₁ ラグビーグランドとマルコフチェーン

注₎

• A^チームがTry^{となるのは状態}21^のとき、B^チームがTry^{となるのは状態}0^{のときである。}

• 自分の陣地のトライゾーンにマイボールで持ち込んだときは、相手ボールのトライゾーンの１つ前 の状態に移る。

さらに、戦術としてAttack, High Punt, No Touch Kick, Long Kick(Touch Kick)^の4^{つを考える。} さらに、それぞれの戦術におけるボールを保持できるか_{(My ball)}、相手ボール(Your ball)^になって しまうかをも考える。さらに、_Attackの戦術においては、ゲインできるか₍攻めている方向に一つ進 む₎、停滞するか₍その場から動かない₎、後ろに戻されるかの、それぞれの確率を決める。

サイン名 進める地域数 _Aのサイン選択確率 _Bのサイン選択確率 _Aボール保持率 _Bボール保持率

Attack 1 λAd µAd pAd kAd

High Punt 2 λHd µHd pHd kHd

No Touch Kick 3 λN d µN d pN d kN d

Long Kick 4 λLd µLd pLd kLd

表₁ 状態_dにおけるサイン選択の記号

上の表に加えて、_Attackはゲイン₍攻撃している方向に₁進む₎、停滞₍その地域にとどまる₎、後退₍攻撃 している方向に−₁₎の三種類の動きがある。これらをそれぞれ、_gd、_sd、_bdとする。_{(gd+ sd+ bd= 1)} A^{チームボールの状態}dに移ってくるパターンは

d-4 d-3 d-2 d-1 d d+1 d+2 d+3 d+4

d-4 d-3 d-2 d-1 d d+1 d+2 d+3 d+4

・・・

・・・

・・・

・・・

A team

B team

図₂ 状態_dへの移り変わり

図₁と図₂用いて時間_nに状態_d(Aチームボール₎に移る確率は、表₁の確率を用いて、以下のよう

にかける。₍文献_[2]参照₎

 P (A, d, n) = P (A, d − 8, n − 1)λLd−8pLd−8

+ P (A, d − 6, n − 1)λN d−6pN d−6

+ P (A, d − 4, n − 1)λHd−4pHd−4

+ P (A, d − 2, n − 1)λAd − 2gAd−2pAgd−2

+ P (B, d − 3, n − 1)µAd−3bBd−3(1 − kAbd−3) + P (A, d, n − 1)λAdsAdpAsd

+ P (B, d − 1, n − 1)µAd−1sBd−1(1 − kAsd−1) + P (A, d + 2, n − 1)λAd+2bAd+2pAbd+2

+ P (B, d + 1, n − 1)µAd+1gBd+1(1 − kAgd+1) + P (B, d + 3, n − 1)µHd+3(1 − kHd+3) + P (B, d + 5, n − 1)µN d+5(1 − kN d+5) + P (B, d + 7, n − 1)µLd+7(1 − kLd+7)

攻 撃 パ タ ー ン は_A、_Bチ ー ム 合 わ せ る と 上 記 の よ う に な る 。で は 以 下 で 推 移 確 率 行 列 を 求 め よ う と 思う。

X(n)^を時刻nでのマルコフチェーンとする。 状態_iにいる確率を

Pi(n) = P [X(n) = i]

n時刻にどの状態にいるかをベクトルによって

πn =





 P1(n)

... P21(n)





 ⁽¹⁾

この時、図₁を見ていただきたい。トライの状態_0,21を除く、状態_iから状態_jに移る確率を

Pij= P [X(n) = j|X(n − 1) = i] (2)

とすると、推移確率行列を以下のように書ける。

Q =







P1_,1 · · · P1_,20

... ^{. .. ..}. P20_,1 · · · P20_,20





 ⁽³⁾

さらに全ての状態からトライの状態に移る₂₀行₂列の推移確率行列_Tを

T =







0 21

1 P1_,0 P1_,21

... ^... ^... 20 P20_,1 P20_,21





 ⁽⁴⁾

この時、_n時刻にトライとなる確率を_Zとすると、

Z = πnT = π0QⁿT (5)

よって、_Aチームと_Bチームのトライの確率は

Z =

∞

∑

n=0

πnQT =

∞

∑

n=0

π0QⁿT = π0(

∞

∑

n=0

Qⁿ)T = π0(I − Q)⁻¹T (6)

ここで_Iは単位行列である。

∞

∑

n=0

aⁿ= (1 − a)⁻¹ (7)

より、_(I-Q)が逆行列を持つとき、

∞

∑

n=0

Qⁿ= (1 − Q)⁻¹ (8)

となる。このようにして_Aチームと_Bチームのトライの確率が求められる。₍文献_[1]参照₎ 3. ^{小さいモデル}

前項で扱ったモデルは非常に大きな行列となることから、計算がかなり困難である。よってこの項で は前項で行ったモデルを縮小したモデルで考えてみる。まずは_Kickのない₆状態で考えてみて、次項 で_Kickを考慮したモデルを考えてみる。この項では推移確率行列を用いて、具体的な数字をあてはめ、 計算していく。

Q =







P1,1 · · · P1,4

... . .. ^... P4,1 · · · P4,4





 ⁽⁹⁾

T =







P1_,0 P1_,5

... ^... P4,0 P4,5





 ⁽¹⁰⁾

ここで具体的な数字を当てはめて考えてみる。まず_Aチームと_Bチームそれぞれのゲイン、停滞、後 退とそれぞれにおけるボールのキープ率を以下のように定める。

この数字設定のイメージは、_Aチームがバックス主体のチームでゲイン力はあるがボールを奪われやす く、_Bチームはフォワードが強く、大きく前には進めないがボール継続力があるチームである。この設 定による_Q、_Tは、

Q =









0 1 0 0

3/25 7/25 3/25 2/25 1/20 3/50 27/50 3/100

0 0 1 0









(11)

A^{チーム 確率 ボールキープ率}

Gain 2/5 7/10

Stay 2/5 7/10

Back 1/5 2/5

表_{2 A Team}

B^{チーム 確率 ボールキープ率}

Gain 3/10 9/10

Stay 3/5 9/10

Back 1/10 1/2

表_{3 A Team}

T =









0 0

7/25 3/25 1/20 27/100

0 0









(12)

となり、

I − Q =









1 −1 0 0

−3/25 18/25 −3/25 −2/25

−1/20 −3/50 23/50 −3/100

0 0 −1 1









(13)

(I − Q)⁻¹=









372/295 215/118 50/59 101/590 77/295 215/118 50/59 101/590 54/295 55/118 150/59 67/590 54/295 55/118 150/59 657/590









(14)

とする。

実際試合開始の際の_{Kick Off}を決める手段はコイントスなので、_Aチームボールで始まるか、_Bチー ムボールで始まるかは同一の確率であるので、初期状態である_π0を

π0= (0, 1/2, 1/2, 0) (15)

とする。

このことから_Tryの確率_Zは、

Z =

∞

∑

n=0

πnQT =

∞

∑

n=0

π0QⁿT = π0(

∞

∑

n=0

Qⁿ)T = π0(I − Q)⁻¹T = (239/590, 351/590) (16)

上の結果より、_Bチーム、つまり、一撃で大きくゲインできるチームよりも確実にボールを継続でき るチームの方がトライ確率が高くなる事が分かる。これは_Kickを考慮していないモデルではあるが、 ボールのキープ率が高いチームのほうが_Try確率が高いということは、_Kickはボールキープ率がかな り低いので必要ないのではないか、とも考えることができる。次項で詳しく調べてみよう。

4. キックを考慮した小さいモデル

前項ではキックを含まないモデルを考えた。この項では₁₀状態あるマルコフチェーンを考え、本題で あるキックの重要性を考える。_Bチームのチーム力は前項同様に固定して考え、_Aチームのキック選

択の確率を変数_xとして考え、_Mathmaticaによって計算する。ちなみにここで考えるキックとは地域 を一つ飛ばして進む事ができるものである。前項同様に以下に_Attack時の確率を述べる。また今回は サイン選択の確率_(Attackを選択するのか、_Kickを選択するのか₎を加える。

注₎

• (Attack^{選択の確率})+(Kick^{選択の確率})=1

• 0 ≤ x ≤ 1

• Kick選択におけるボールキープ率は₀である。

A^{チーム サイン選択確率}

状態₃の_{Attack x}

状態₅の_{Attack x}

状態₇の_{Attack 1}

表_{4 A}チームの_Attackサイン選択の確率

A^{チーム 確率 ボールキープ率}

Gain 2/5 9/10

Stay 1/2 4/5

Back 1/10 1/2

表_{5 A}チームの_Attack選択時の_Gain、_Stay、_Back の確率

B^{チーム サイン選択確率}

状態₂の_{Attack 1}

状態₄の_{Attack 1/2}

状態₆の_{Attack 2/5}

表_{6 B}チームの_Attackサイン選択の確率

B^{チーム 確率 ボールキープ率}

Gain 2/5 9/10

Stay 1/2 9/10

Back 1/10 1/2

表_{7 B}チ ー ム の_Attack時 の Gain^、Stay^、Back^の確率

この時、_Q、_Tは下記のようになる。

Q =

























0 1 0 0 0 0 0 0

1/25 2/5 1/10 1/20 1/20 0 0 0

1/50 1/50 9/50 9/250 18/125 0 0 1 − x 9/25 x/25 2x/50 x/10 x/20 x/20 0

0 1/40 1/40 1/40 9/40 1/50 9/50 1/2 0 0 1 − x 9x/25 x/25 2x/5 x/10 x/20

0 0 0 1/20 1/20 1/20 9/20 1/25

0 0 0 0 0 0 1 0

























(17)

T =

























0 0

9/25 0 1/50 0

0 0

0 0

0 x/20 0 9/25

0 0

























(18)

となり、

この値をMathematicaにいれて計算させ、図で示す。 横軸が_x、縦軸が_Try確率_Zとすると、

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

[A^チーム]

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

[B^チーム] 図₃ Mathematica^によるTry^{確率のグラフ}

図₃の二つのグラフを合わせると、

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

図_{4 Kick}の割合と両チームの_Try確率

図₄より興味深い結果が見て取れる。

• ^{サイン選択における}Kickの割合を増やせば増やすほど、トライの確率は上がる。

• ^同様にKickの割合が大きくなるほど、相手のトライの確率も下がる。

• xを増やせば増やすほど勾配が大きくなる。つまり中途半端に増やすよりも、徹底的な_Kick選択 がトライ確率を大きく上げる。

5. ^結論

この論文の結果では、現代のラグビーのセオリー通り、_Kickのサインを増やせば増やすほどトライの 確率が上がることが分かった。つまり、ラグビーというのは、大きくいってしまえば陣取りゲームの一 種なのではないか。私の研究では、最終的に₁₀状態のマルコフチェーンで考えたが、本来のラグビー の試合では_Kickのバリエーションはもっと多様になる。状態数を増やし、_Kick、さらには_Attackの バリエーションも増やすことができれば、もっとラグビーの本質が見えてくるのではないか。

6. *^謝辞

本研究を遂行するにあたり、指導教官の豊泉教授には手厚いお力添えと丁寧かつ熱心な指導を賜りまし た。ここに感謝の意を表します。また、豊泉研究室のメンバーの皆様には日頃から多くのことを助けて 頂きました。また、確率ゼミやスポーツゼミでの議論を通して多くの知識や示唆を頂きました。協力し ていただいた皆様に感謝の気持ちとお礼を申し上げたく、謝辞にかえさせて頂きます。

参考文献

[1] ^穴太克則,マルコフ連鎖に基づく打者評価モデル

[2] 廣津信義、吉井秀邦、青葉幸洋、吉村雅文_,時間内で得点を競う球技の試合における確率計算の方法