−−
１ [大阪大・文] 自然数PQと＜D＜を満たす実数Dを等式
D Q P
+ +
=
ORJ
が成り立つようにとる。以下の問いに答えよ。
自然数PQを求めよ。
−−
２ [京都大・理] 以上の自然数Qに対しQと
+
−−
３ [一橋大]
次の条件D Eをともに満たす直角三角形を考える。ただし斜辺の長さを Sそ
の他の辺の長さをTUとする。
D STUは自然数でそのうちの少なくともつは素数である。
E S+T+U=
TUのどちらかは偶数であることを示せ。
−−
４ [東京大・理] 次の条件を満たす組[ \ ]を考える。
条件$：[\]は正の整数で [ +\ +] =[\]および[≦\≦]を満たす。 以下の問いに答えよ。
条件$を満たす組[ \ ]で\≦となるものをすべて求めよ。
組D E Fが条件$を満たすとする。このとき組E F ]が条件$を満た
すような]が存在することを示せ。
−−
５ [大阪大・理] [\を変数とする。
Qを自然数とする。次の等式が成り立つように定数DEを定めよ。
+ + + + = + + + + + + + + Q \ \ \ E Q \ \ \ D Q \ Q \ \
\ " Q " "
すべての自然数Qについて次の等式が成り立つことを証明せよ。
−−
６ ［千葉大］
Qを奇数とする。
−
−−
７ ［東京大・文］
−−
８ ［京都大・文］
Qを以上の整数とするとき次のつの命題はそれぞれ正しいか。正しいときは 証明し正しくないときはその理由を述べよ。
−−
９ ［京都大］
Sを以上の素数とする。個の整数DEFGが次の条件
= + + +E F G
−−
10 ［一橋大］
数列
{
DQ}
{
EQ}
{
FQ}
を=
D DQ+ =DQ
=
E EQ+ =EQ +DQ
=
F FQ+ = FQ +DQ +EQ
と順に定める。放物線\=DQ[ +EQ[+FQを+Qとする。 +Qは[軸と点で交わることを示せ。
+Qと[軸の交点を3 Q 4Qとする。
¦
= Q N N N 4−−
11 ［東北大］
Qを以上の自然数とし整式[Qを[ −[−で割った余りを
Q Q[ E
D + とする。 D Eを求めよ。
DQ+ EQ+をDQとEQを用いて表せ。
−−
12 ［東京大・理］
QとNを正の整数とし 3[を次数がQ以上の整式とする。整式 [N3[
+ の
−−
13 ［神戸大・理］
−−
14 ［千葉大］
以下の問いに答えよ。
[を有理数とする。[が整数ならば[は整数であることを示せ。 DEを整数とする。D E
− がの倍数ならばDとEはともに偶数であること
を示せ。
U は整数V は有理数とする。
( )
U − V が整数ならばV は整数であることを示
−−
15 ［広島大・理］
平面上のベクトルDEはその大きさがともに でありなす角が°である。
このとき次の問いに答えよ。 内積D+E⋅D+Eを求めよ。
NOを整数とするとき ND+OE は偶数であることを示せ。
でNまたはOが奇数のとき ND+OE はの倍数ではないことを示せ。 PQが整数であり P=Q=ではないならば PD+QE は整数ではないことを
−−
16 ［東京大・文］
Sを自然数とする。次の関係式で定められる数列
{
DQ}
{ }
EQ を考える。 SD = E = S+ Q Q Q D SE
D + = + EQ+ = SDQ +S+EQ Q= "
Q= "に対し次のつの数がともにSで割り切れることを示せ。 QS
S Q Q
DQ − − − EQ −QQ−S−QS−
S を 以上の奇数とする。このとき DSはSで割り切れるが Sでは割り切れ
−−
17 ［九州大・文］
放物線
− =[ \
& とD＞を満たす実数Dを考える。このとき次の問いに答え
よ。
& 上の点 D −
D における接線と [ 軸との交点の [ 座標をDとするとき
D をDを用いて表せ。
で求めたDに対して& 上の点D D−おける接線と [ 軸との交点の [
座標をDとする。この操作を繰り返してできる数列をD D… DQ…とする。
このときすべてのQに対して DQ＞を示せ。
EQ =DQ−とおくときすべてのQに対してEQ+＜EQを示せ。
D =のときEQ＜−となる Q の値を つ求めよ。ただし必要があれば
−−
18 ［名古屋大・理］
次の問いに答えよ。
−−
19 ［京都大・文］
−−
20 ［一橋大］
以上の整数PQは
+ = + Q
−−
21 ［名古屋大・理］
[\を正の整数とする。
[ +\ =を満たす組[ \をすべて求めよ。
S を 以上の素数とする。[+\= Sを満たす組[ \のうち [+\を最小
−−
22 ［千葉大］
Qを自然数とするとき次の問いに答えよ。 Nを≦N≦Qを満たす自然数とするとき
( )
&N N−N Q
N Q
N
Q ≦ ≦
が成り立つことを示せ。ただしQ&Nは二項係数である。
不等式
¦
( )
= Q
N N Q NQ
＜が成り立つことを示せ。
−−
23 ［東京大・文］
自然数 P≧に対しP−個の二項係数 P&P&… P&P−を考えこれらす
べての最大公約数をGPとする。すなわちGPはこれらすべてを割り切る最大の自然数
である。
Pが素数ならば GP =Pであることを示せ。 すべての自然数Nに対し NP−Nが
P
−−
24 ［金沢大・文］
次の問いに答えよ。
[＞ のとき不等式
(
)
≧
[
[+ を示せ。また等号が成り立つのはどのよ
うなときか。
数列
{
DQ}
を D=(
)
Q Q QD D
D + = + Q= "によって定める。
L Q≧のとき DQ＞DQ+＞を示せ。
LL Q≧のとき
(
)
− + − − Q Q Q Q D D D
D ＜ を示せ。
LLLQ≧のとき +−
( )
−Q Q
Q D
D ≦
−−
25 ［神戸大・理］
Wを実数として数列D D…を
=
D D =W DQ+ =WDQ −DQ− Q≧
で定める。このとき以下の問いに答えよ。
W≧ならば＜D＜D＜D＜…となることを示せ。 W≦−ならば＜ D ＜ D ＜ D ＜…となることを示せ。 −＜W＜ならばW=FRVθ となるθを用いて
θ θ
VLQ VLQQ
DQ = Q≧
−−
26 [神戸大・理]
Sを以上の素数DEを自然数とする。以下の問いに答えよ。ただし自然数P Qに対しPQがSの倍数ならばPまたはQはSの倍数であることを用いてよい。 D+EとDEがともにSの倍数であるときDとEはともにSの倍数であることを
示せ。
D+EとD+EがともにSの倍数であるときDとEはともに Sの倍数であるこ とを示せ。
D E
−−
27 [広島大・理]
で割ると余りがである自然数全体の集合を$とする。すなわち
{
N _Nは以上の整数}
$= +
とする。次の問いに答えよ。
[および\が$に属するならばその積[\も$に属することを証明せよ。 以上の偶数Pに対してPは$に属することを証明せよ。
PQを 以上の整数とする。P+Qが偶数ならばPQは $ に属し P+Qが奇 数ならばPQは$に属さないことを証明せよ。
−−
28 [長崎大・医]
次方程式の解について次の問いに答えよ。ただし下のことは既知としてよい。 自然数NOPが次の条件
イ NとOは以外の公約数をもたない ロ NはOPの約数である を満たすならばNはPの約数である。
−−
29 [千葉大]
放物線\=[と直線\=D[+Eによって囲まれる領域を
{
[ \ [ \ D[ E}
'= _ ≦ ≦ +
とし'の面積がであるとする。座標平面上で[座標\座標がともに整数である 点を格子点と呼ぶ。
D=のとき'に含まれる格子点の個数を求めよ。
−−
30 [一橋大]
以上の整数D Dが与えられたとき数列
{
DQ}
を QQ Q D D D + = ++ により定める。
−−
31 [京都大・文]
以上の整数を 進法で表すとき次の問いに答えよ。ただし は桁の数と考 えることにする。またQは正の整数とする。
各桁の数が または である Q 桁の整数を考える。それらすべての整数の総和 を7Qとする。7QをQを用いて表せ。
−−
32 [名古屋大・理]
DEはD≧E＞を満たす整数とし
[と\の次方程式
[ D[ E \E\ D がそれぞれ整数解をもつとする。
D E とするとき条件を満たす整数Dをすべて求めよ。
−−
33 [神戸大・理]
L とする。以下の問いに答えよ。
実数α βについて等式
FRVαLVLQ FRVα βLVLQ FRVβ αβLVLQαβ が成り立つことを示せ。
自然数Qに対して
FRV VLQ Q N N N
] Qπ L Qπ
とおくとき等式
FRV VLQ
] Qπ L Qπ ] が成り立つことを示せ。
以上の自然数Qについて等式
FRV Q N N Qπ
VLQ Q N N Qπ
−−
34 [岡山大・文]
数列
\
DQ^
が次のように帰納的に定められている。
D
Q
Q
Q
D Q D
D Q ¤¦ £¦¦
¦¥
が奇数のとき
が偶数のとき Q " Dを求めよ。
−−
35 [京都大・理]
Qは以上の整数であり ＜ ＜DM M " Q であるとき不等式
Q
Q D DQ
D D D D
" ＞ "
−−
36 [東京大・理]
実数[の小数部分を
≦\＜かつ[ \ が整数となる実数\のこととしこれを記 号 [ で表す。実数 D に対して無限数列\ ^
DQ の各項DQ Q "を次のよ うに順次定める。L D D
LL Q Q Q Q Q
D D D
D D £¦ v ¦¦ ¤¦ ¦ ¦¥
のとき,
のとき,
D のとき数列
\ ^
DQ を求めよ。任意の自然数Qに対してDQ Dとなるような以上の実数Dをすべて求めよ。
D が有理数であるとする。D を整数 S と自然数 T を用いてD TSと表すときT 以上のすべての自然数Qに対してDQ であることを示せ。
−−
37 [東京工大]
実数 D に対してD を超えない最大の整数を
< >
D で表す。 以下の正の整数 Q−−
38 [一橋大]
つの角がnの三角形がある。この三角形の辺の長さ[\]は[＜\＜]を満
たす整数である。
[ \ ] を満たす[\]の組をすべて求めよ。 [ \ ] を満たす[\]の組をすべて求めよ。
DEを以上の整数とする。[ \ ] D Eを満たす[\]の組の個数をDと
−−
39 [千葉大・医]
すべての項が整数である数列を整数列という。STUVを実数とし正の整数Qに
対し
Q
D S TQ UQ Q
E S TQ UQ VQ
とおく。このとき以下の命題を示せ。
数列
\ ^
DQ が整数列ならばUは整数である。数列
\ ^
EQ が整数列であるための必要十分条件はSとT U VとUとVがいず−−
40 [京都大・理]
が無理数であることを証明せよ。
3 [ は有理数を係数とする [ の多項式で，3 を満たしているとする。
−−
41 [東京大・理]
Qを以上の整数とする。自然数（以上の整数）のQ乗になる数をQ乗数と呼ぶ
ことにする。以下の問いに答えよ。
連続する個の自然数の積はQ乗数でないことを示せ。
−−
42 [熊本大・医]
Q≧ とする。Q個の と 個のからなる数列DN N " Q を考
える。以下の問いに答えよ。
このような数列
\ ^
DN は何通りあるか求めよ。数列
\ ^
DN の初項から第 N 項までの積をEN D D "DN N " Q とおく。Q
E E " E がとり得る値の最大値および最小値を求めよ。
EE " EQの最大値および最小値を与える数列
\ ^
DN はそれぞれ何通りある−−
43 [岡山大・理]
[ [ [
I とする。このとき
[ [
I I IQ [ I IQ [ Q ""
によって定まる多項式 IQ [ について以下の問いに答えよ。
方程式 I [ を解け。
≦W＜を満たす定数 Wに対し方程式 I [ Wの解をα W β W とする。Fが ≦F＜ かつ IQ F を満たすとき α F β F は IQ [ の解であること
を示せ。
≦[≦ の範囲での方程式 IQ [ の異なる解の個数を6Qとする。このとき
Q
−44−
−45−
45 [千葉大] 整数 p, q(p≧ ≧ に対してq 0 ) 2 項係数を C !
!( )!
p q p
q p q
と定める。なお, 0!1
とする。
(1) n, kが0以上の整数のとき, 1 1
11 1
C
C C
n k k
n k k n k k
q を計算し, nによら
ない値になることを示せ。 (2) mが3以上の整数のとき, 和
3 3 4 3 5 3 3
1 1 1 1
C C C mC
−46−
46 [京都大・文] nとkを自然数とし, 整式xnを整式(xk)(x k 1)で割った余りをaxbとする。
(1) aとbは整数であることを示せ。
−47−
−48−
48 [筑波大・理] 3つの数列
\ ^
an ,\ ^
bn ,\ ^
cn が1
n n n
a b c , bn1 cn an, cn1 anbn (n1, 2, 3, ") およびa1a, b1b, c1cを満たすとする。ただし, a, b, cは定数とする。 (1) pnanbncn (n1, 2, 3, ")で与えられる数列
\ ^
pn の初項から第 n 項までの和Snを求めよ。
(2) 数列
\ ^
an ,\ ^
bn ,\ ^
cn の一般項を求めよ。−49−
49 [京都大・理] N を2 以上の自然数とし, an (n1, 2, ")を次の性質(i), (ii)を満たす数列とする。
(i) a12N3
(ii) 1, 2,n "に対して,
anが偶数のとき 1 2
n
n a
a , anが奇数のとき 1 1 2 n
n a
a
このとき, どのような自然数Mに対しても
1 M n n a
−50−
50 [名古屋大・理] k, m, n は整数とし, 1n≧ とする。mCkを二項係数として, Sk( )n , ( )Tm n を以下
のように定める。
( ) 1k 2k 3k k
k
S n " n , (1)Sk 1(k≧0 )
1 1 2 2 3 3 1 1
( ) C ( ) C ( ) C ( ) C ( )
m m m m m m m
T n S n S n S n " S n
1
1
C ( )
m
m k k k
S n
(m≧2 )(1) (1)Tm とTm( 2 )を求めよ。
(2) 一般のnに対してTm( )n を求めよ。
－51－
51 [神戸大]
m, n(m<n)を自然数 ,
2 2
a=n -m , b=2mn, c=n2+m2 く。3辺 長
さ a, b, c あ 角形 接 半径をr , そ 角形 面積をS 。こ , 以 問い 答え 。
(1) a2+b2=c2を示 。 (2) rをm, nを用い 表 。
(3) r 素数 , Sをrを用い 表 。
－52－
52 [九州大]
次 問い 答え 。
(1) 任意 自然数a 対 ,
2
a を3 割 余 0 1 あ こ を証明 。
(2) 自然数a, b, c
2 2 3 2
a +b = c を満 仮定 , a, b, c べ 3 割 切
け いこ を証明 。
－53－
53 [一橋大]
8
－54－
54 [京都大・理]
自然数a, b 3 割 切 い ,
3 3
a +b 81 割 切 。こ う
a, b 組( ,a b) う ,
2 2
a +b 値を最小 , そ
2 2
a +b 値
－55－
55 [金沢大・理]
自然数 1 書 い 玉 ,
……
う 1列 並べ い 。次 問い 答え 。
(1) 数100 書 玉 最初 現 何番目 。
(2) 自然数n 対 ,
2
2n 番目 玉 書 い 数 何 。
(3) 1 番目
2
2n 番目ま 玉を べ 袋 入 。こ 袋 2 玉を取 出
－56－
56 [東京大・理]
rを0以 整数 , 数列{an}を次 う 定 。
1
a =r, a2= +r 1, an+2=an+1(an+1) (n=1, 2, 3, )
ま , 素数pを1 , anをp 割 余 をbn 。 , 0をp 割
余 0 。
(1) 自然数n 対 , bn+2 bn+1(bn+1 )をp 割 余 一致 こ を示 。 (2) 2r= , p=17 場合 , 10以 べ 自然数n 対 , bnを求 。 (3) あ 2 相異 自然数n, m 対 ,
1 1 0
n m
b+ =b + > , bn+2=bm+2
成 立 。こ , bn=bm 成 立 こ を示 。
(4) a2, a3, a4, … p 割 切 数 現 い 。こ , a1 p 割
