No.5 物理 II 演習 月 日 2– 科 番 / 名前
1 次の四角（A，B，· · ·）を正しく埋めよ．ただし，語句に関しては正しい漢字で答え，単位が必要なとこ ろは単位も含めて解答せよ．
(1) 電圧V [V] をかけたコンデンサーに電荷Q[C] が蓄えられている．電圧を3V [V] にすると蓄えられる 電荷は A になる．
(2) 比誘電率が2 の誘電体を挿入した平行板コンデンサーの電気容量が C [pF] であった．この誘電体を比 誘電率が10 の誘電体で置き換えると電気容量は B になる．
(3) 電気容量C1 [F]のコンデンサーと電気容量 C2 [F]のコンデンサーを並列に接続したときの合成電気容 量は， C である．また，これに電圧 V [V] をかけたときC1 のコンデンサーに蓄えられる電気量 は D である．
(4) 電気容量C1 [F]のコンデンサーと電気容量 C2 [F]のコンデンサーを直列に接続したときの合成電気容 量は， E である．また，これに電圧V [V] をかけたとき C1 のコンデンサーに蓄えられる電気量 は F である．
(5) 電気容量C [F] のコンデンサーを電池に接続して電圧V [V] をかけると G の電荷が充電され，コ ンデンサーに H の静電エネルギーが蓄えられる．その後，電池を外し，電気容量2C [F] をもつ空 のコンデンサーとコンデンサー同士を接続すると，それぞれのコンデンサーに蓄えられている電気量が 変化してある値に落ち着いた．このとき静電エネルギーは I だけ減少する．（ヒント：接続の前後で 全体の電気量が保存されることと接続後は２つのコンデンサーにかかる電圧が等しくなることに注意．） 2 十分に広い金属板A，Bを平行に並べた平行板コンデンサーを考える．このコンデンサーの極板間隔が
d[m] で電気容量が C [F]とし，極板 A，Bに電荷 Q [C]，−Q [C]がそれぞれ蓄えられているとする． このとき，次の問いに答えよ．ただし，極板は十分広いものと考え，端の効果は無視して良い．単位に 使っていいのはJ，V，C，N だけとする．
(1) このコンデンサーに蓄えられた静電エネルギーU はいくらか． (2) 極板 Bを基準としたときの極板 Aの電位 VAB はいくらか． (3) 極板 A を基準としたときの極板Bの電位 VBA はいくらか．
(4) 極板B から 極板A まで，微小な電荷 q [C] をゆっくり移動させるとき，外力がする仕事WB→A はい くらか．
(5) 極板A から 極板 Bまで，微小な電荷 q [C] をゆっくり移動させるとき，外力がする仕事WA→B はい くらか．
(6) 両極板の間で，極板 A から d
3 だけ離れた位置における電場 E はいくらか．ただし，Aから Bに向か う方向を正とする．
3 コンデンサーの直列，並列接続，および静電エネルギーについて次の問いに答えよ．
(1) C1 とC2 の並列接続の場合に，合成容量 C がC = C1+ C2 になることを証明せよ．ヒント：それぞれ にかかる電圧 V1，V2 が等しくなることを使う．
(2) C1 とC2 の直列接続の場合に，合成容量 C が 1 C =
1 C1
+ 1 C2
の関係になることを証明せよ．ヒント： それぞれにかかる蓄えられる電荷 Q1，Q2 が等しくなることを使う．
(3) 電気容量C のコンデンサーにQ の電荷が蓄えられているとき，電圧はV(Q) = Q
C である（V をQの 関数として V(Q)と書いた）．このとき，コンデンサーに蓄えられたエネルギーを U(Q)と書く．この 量は，電荷をdQだけ変化させると U(Q) → U (Q + dQ)と変化する．（dQはひとつの量．d × Qではな い．）電荷をdQ だけ変化させるのに必要な仕事dW から，コンデンサーの静電エネルギーU の微分係 数が dU
dQ = Q
C となることを導け． (4) 前問の結果 dU
dQ = Q
C から，U = 1 2QV =
1 2CV
2 = 1 2
Q2
C を導け．（電荷が蓄えられていない状態はU = 0 と考えよ．）
————————— 解答 1 ————————— Q = CV，U = 12CV2，電気容量の性質，合成電気容量 の求め方を覚えておけば良い．
(1) Q = CV より，電圧が3倍になったら電気量も3倍 になる．
A 3Q [C]
(2) B 5C [pF]
(3) C C1+ C2 [F] D C1V [C] (4) E C1C2
C1+ C2
[F] F C1C2V C1+ C2
[C] (5) G CV [C] H 1
2CV
2 [J]
接続前の電気量はQ= CV，接続後は，電圧をV′と すると電気量がCV′+2CV′．接続後も電荷の総量は 変化しないので，CV′+2CV′ = CV となる．よって V′ = 13V．接続後のエネルギーは 12QV
′ = 16CV2． したがって，減少したエネルギーは
I 1
3CV
2 [J]
(∵ ∆U = 16CV2−12CV2 = −13CV2）
————————— 解答 2 ————————— (1) 公式より(または U = 12QV とQ= CV より)
U = 1 2
Q2 C [J] (2) VAB = Q
C [V] (または[J/C]) (3) VBA= −Q
C [V] (または[J/C])
(4) 外力のする仕事は極板間の位置エネルギーの差に等 しいので，
WB→A = qVAB = qQ
C [J] (または[C V]) (5) 外力のする仕事は極板間の位置エネルギーの差に等
しいので，
WA→B= qVBA= −qQ
C [J] (または[C V]) (6) 電場は極板間で一様であるから，極板の間ならどの
場所でも電場は同じ大きさである．よって，電荷q をA から Bまで運ぶ時に外力がする仕事は W =力·距離= (−qE) × d = −qEd
と書ける．（マイナスが付く理由は，引力に逆らって 仕事をするので運ぶ向きと外力の向きが逆になるか ら．）これと前問で求めた仕事より，
E = Q
Cd [N/C]
(別解１) 電場は極板間で一様であるから，極板間の電 圧は V = Ed． ここで Q= CV より，E = CdQ [N/C]．
(別解２)ガウスの法則より N = 4πkQ であるから,こ れをコンデンサーの面積で割って電場の向きを考慮する とE = 4πkQS . ここで C= 4πk1 Sd より E= CdQ [N/C]
—————————解答 3 ————————— (1) 公式より Q1 = C1V1，Q2 = C2V2．並列なので
V1 = V2 = V全 とする．電気量の総和は Q全 = Q1+ Q2= C1V1+ C2V2 = (C1+ C2)V全．よって， 合成電気容量は C = Q全
V全 = C1+ C2 となる． (2) 公式より Q1 = C1V1，Q2 = C2V2．直列なの
で Q1 = Q2 = Q とする．全体にかかる電圧 は V全= V1+ V2= Q1
C1
+Q2 C2
= Q全( 1 C1
+ 1 C2
)
． よって，合成電気容量は 1
C = V全 Q全 =
1 C1
+ 1 C2
と なる．
(3) 電荷を dQ だけ変化させるということは，極板か ら極板へ dQ の電荷を運ぶことである．そのため には，電荷を運ぶ仕事を dW = dQ × V (Q) だ けしなければならない．この仕事の分だけエネル ギーが変化するので，エネルギーの変化分はdU = dW = V (Q)dQとなる．これを dQ で割った形で 書けば，コンデンサーの静電エネルギー U の微分 係数が dU
dQ = V (Q) = Q
C となる． (4) dU
dQ = V (Q) = Q
C より，U(Q) は微分すると Q の 一次関数になるものであるから，U はQ2 に比例す る．そこで U = AQ2+ B （A，B は定数）と置 くことができ，後は A，B を決定すればよい．実 際に微分してみると dU
dQ = 2AQとなるので，これ が Q
C になるためには A= 1
2C．また，Q = 0 の ときをエネルギーの基準として U(0) = 0 とする と，U(0) = B = 0となる．A，B を代入して， U = 1
2 Q2
C ．これに Q = CV の関係を使えば，す べて示される．
（別解）dU dQ =
Q
C の両辺をQで積分する．積分範囲をQ= 0 から Qまでとすると，（Q= 0 でU = 0，電荷が Q のとき，静電エネルギーはU．）
∫ Q 0
dU dQdQ=
∫ Q 0
Q CdQ 左辺=
∫ U 0
dU = U 右辺= 1
C
∫ Q 0
QdQ= 1 C ×
[ Q2 2
]Q 0
= Q
2
2C よって，U = 1
2 Q2
C ．
