SLIDES OF TALKS Akira Masuoka Hiroshima2013

Hopf Algebraic Techniques Applied to

Super Algebraic Groups

増岡 彰（筑波大）

広島 ₂₀₁₃

0. ^{動 機}

P. Deligne (2002)

標数 ₀ の代数閉体上リジッド_, アーベル対称テンソル圏で緩やか な条件を満たすものは_, スーパー代数群上の有限次元スーパー加 群圏として実現できる_.

スーパー代数群は_,関手的見地による代数群の定義を直ちに一般 化して定義される_,スーパー可換ホップ代数と同等な対象_.

Deligneの定理にもかかわらず当時_,スーパー代数群₍とくに一般

の体上のもの₎ について_,あまりよく知られていないようだった_. そこで_,かつてのG. Hochschild,竹内光弘による代数群の研究に 倣い_,ホップ代数の方法を用いて_,基礎体の標数に依らないスー パー代数群の基礎を研究した(A. Zubkov,^柴田大樹, C. Pastro ^と の共同研究を含む_).

1. ^空間 _{(over k)} ^とは

幾何的見地 環つき空間_{(X , OX)} のこと_.

関手的見地 関手 ₍可換 _k-代数_{) → (}集合₎のこと_.

比較定理どちらの見地でもスキームの概念が定義でき_,それらは 互いに同値になる_.

(^スーパー) 代数群を考えるには関手的見地がよさそう_.

アフィン群 _, 代数群とは？

基礎体_k 上のアフィン群（スキーム）とは表現可能な関手 G : (^可換 _k-^代数_{) → (}^群).

これは一意に決まる可換ホップ代数により表現される_. よって (^アフィン_k-^群_{) ≃ (}^可換 _k-^{ホップ代数})^op,

G _{7→ O(G ),} Sp(A) ^7→ A.

ここに_, Sp(A) : R 7→ Algk^{(A, R)畳込み積で群.}

代数群とは有限生成な_A で表現されるアフィン群_{G = Sp(A).} よって

(^代数 _k-^群_{) ≃ (}^有限生成 _k-^{ホップ代数})^op

G ^{の表現とは群関手の射} G _{→ GL(V )} ^のこと. ^ここに, GL(V ) : R 7→ AutR(V ⊗ R).

このような射は右余加群構造_V → V ⊗ O(G )^{と１対１に対応:} 左_G-加群 ₌ 右_{O(G )-}余加群

G ^{の閉部分群}. ^{アフィン群の射} H_{→ G} ^{が閉埋入とは}, O(G ) → O(H)^{が全射であること定義.}

G ^の商_{. G → Q} ^が(^{層の意味で})^{全射であるのは}, O(Q) → O(G ) が単射であるのと同値_. これは次の事実に基づく_.

可換ホップ代数は部分ホップ代数上忠実平坦₍易しい証明有り₎

ホップ代数を用いた代数群の研究 ₍₁₉₇₀ 年代 ₎

G. Hochschild char k = 0 ^の場合. ^{リー代数を用いた}. 竹内光弘 characteristic-free. ^{ハイパー代数を用いた}.

ハイパー代数とは余可換既約ホップ代数の別名_.

代数群_{G = Sp(A)} のハイパー代数_{hy(G )}が次で定義される_. hy(G ) = ^∪

n>0

(A/(A⁺)ⁿ)^∗ in A^∗ (A⁺= Ker ε).

char k = 0^{であればこれは U(Lie(G ))に等しい.}

常用ホップ代数テクニック

1.^{ホップ代数}H ^{の双対ホップ代数} H^{◦ を意識せよ}(^後述). 2.付随するより単純なホップ代数を考えよ_.

例_.次数つきホップ代数 _{gr H}

例_.スーパーホップ代数 _H のボゾン化_{H ⋊ Z2}

3.デサント理論に端を発するホップ・ガロア理論₍ホップ加群

= (G , O(X ))-^{加群 etc)を使おう.}

4.群の接合積を一般化したホップ接合積を使おう₍後述_).

ホップ代数テクニック _— ホップ双対

ホップ代数_H に対し H^◦ :=^∪

I

(H/I )^∗ I ^{は余有限次元イデアル}_{⊂ H}

は双対空間_H^∗ の中の最大のホップ代数になり_{, H} の有限次元表 現全体の表現環に一致_.

局所有限左_H-加群₌右_H^◦_-余加群 が成り立つ_.

前出 hy(G ) = O(G )^{◦ の1を含む既約成分}

2. ^スーパー _{(= Z}

- ^次数 ) ^{ワールドへ}

以下_{char k̸= 2} と仮定する_.

スーパー・ベクトル空間とは_{, Z2 = {0, 1}}で次数づけられたベク トル空間

V = V_{0⊕ V1}.

その全体はテンソル圏₍スーパー_k-ベクトル空間₎ をなす_. テン ソル積は

V _{⊗ W =} ^⊕

i+j=0

(V_{i⊗ Wj) ⊕} ^⊕

i+j=1

(V_{i⊗ Wj}),

単位対象は_{k (= k0).} このテンソル圏は c_{V ,W}(v ⊗ w) = (−1)^{|v | |w |w}⊗ v =

{−w ⊗ v if |v| = |w| = 1 w _{⊗ v} otherwise.

で与えられるスーパー対称性_{cV ,W : V ⊗ W}

−→ W ⊗ V≃ ^により

対称テンソル圏をなす_.

(k-^{ベクトル空間}, ⊗, k, twist)^{における通常の代数,リー代数,} ホップ代数_{, . . .} は

(^スーパー_k-^{ベクトル空間}_{, ⊗, k, c}V ,W) ^{におけるスーパー代数}, スーパー・リー代数_,スーパー・ホップ代数_{, . . .} に一般化される (^{純偶数対象}A= A0 ^と見て).

例 ベクトル空間 _V 上の外積代数

∧(V ) = ^⊕

n 偶数

∧ⁿ(V ) ⊕ ^⊕

n 奇数

∧^{n(V )}

はスーパー可換_{(xy = (−1)}^{|x| |y |}_{yx), (}スーパー₎余可換な₍スー パー₎ホップ代数_. ただし各_{v ∈ V} を奇原始元(∆(v ) = 1 ⊗ v +v ⊗ 1)^と見る. dim V < ∞であればこれは自己双対_.

3. スーパー・アフィン群とは？

k上のスーパー・アフィン群とは表現可能な関手 G : (^{スーパー可換} _k-^代数_{) → (}^群).

これは一意に決まるスーパー可換ホップ代数により表現される_. よって

(^{スーパー・アフィン}_k-^群_{) ≃ (}^{スーパー可換} _k-^{ホップ代数})^op, G _{7→ O(G ),} SSp(A) ^7→ A.

ここに_, SSp(A) : R 7→ SuperAlgk^{(A, R).}

スーパー代数群とは有限生成な_Aで表現されるスーパー・アフィ ン群_{G = SSp(A).} よって

(^{スーパー代数} _k-^群_{) ≃ (}^{有限生成スーパー可換} _k-^{ホップ代数})^op

各スーパー・アフィン₍または代数₎群 _{G = SSp(A)}に通常のア フィン₍または代数₎ 群

G _{:= G |(可換k-代数)}: (^可換 _k-^代数_{) → (}^群), が付随する₍定義域の制限_). これは

A:= A/(A₁) で表現される_. 実際_{, R ∈ (}可換_k-代数₎ に対し

G(R) = SuperAlg_k(A, R)

= Alg_k(A/(A₁), R) = Sp(A)(R).

∴_{G = Sp(A).}

例 _{V = V0⊕ V1}, m = dim V₀, n = dim V₁.

GL^sup_V = GL(m|n) : R 7→ SuperAutR(V ⊗ R) O(GL^sup_V ) = k[xij^{, y}kℓ^{, det(X )−1, det(Y )−1}] ⊗ ∧(pi ℓ^{, q}kj⁾

(X P

Q Y

)

=^{( xij pi ℓ} q_kj y_kℓ

)

, 1 ≤ i, j ≤ m, 1 ≤ k, ℓ ≤ n.

∆^{(X P}

Q Y

)

=^{(X P}

Q Y

)

⊗^(X_{Q Y}^P )

, ε^{(X P}

Q Y

)

=^{( I O} O I

) ,

S(X ) = (X − PY^{−1Q)−1, S}(Y ) = (Y − QX^−1P)−1, S_{(P) = −X}⁻¹PS(Y ), S_{(Q) = −Y}⁻¹QS(X ).

この_GL

sup

V ^{に付随する代数群はGLV}0× GL^V1^.

characteristic-freeなスーパー・アフィン群の基礎研究_. 結果の 出典_:

[M1] A. M., Fundamental correspondences in super affine groups and super formal groups, J. Pure Appl. Algebra 202 (2005). [M2] A. M., Harish-Chandra pairs for algebraic affine supergroup schemes over an arbitrary field, Transform. Groups 17 (2012). [MS] A. M., Taiki Shibata, Algebraic supergroups over a PID, submitted.

[MPS] A. M., Craig Pastro, Taiki Shibata, Integrals for algebraic supergroups, in preparation.

[MZ] A. M., Alexandr Zubkov, Quotient sheaves of algebraic supergroups are superschemes, J. Algebra 348 (2011).

4. ^{鍵となる結果} — ^{テンソル積分解定理}

G = SSp(A) ^{スーパー・アフィン群}

A:= A/(A_{1) = O(G |(可換k-代数)}) 付随する可換ホップ代数 W^A:= A₁/A⁺₀A₁= T_ε^∗(G )₁ G ^{の余接空間}(at 1)^{の奇数成分}

A^を商 A ։ A ^{に沿って左}A-^{余加群代数とみる}.

定理 _{[M1] ∃}余単位元を保つ左_A-余加群スーパー代数同形

A_{−→ A ⊗ ∧(W}^{≃ A}). およそ次の２つを言っている_.

(i) A ։ A ^が左 A-余加群代数射として分裂する_. (ii)^coAA= A^{G が}_∧(W^A) ^に同形.

このうち_(i)はホップ接合積の分裂 _(2-コサイクル消滅₎ により証 明される_.

ホップ代数テクニック _— ホップ接合積

群_Γ, 非可換環_R,弱作用 ↼: R × Γ → R, 2-^{コサイクル}σ : Γ × Γ

→ R^{× に対し,接合積と呼ばれるΓ-次数環}Γ ⋉σ R= ^⊕

γ∈Γ

γR ^が

(γx)(δy ) = (γδ) · σ(γ, δ)(x ↼ δ)y

によって構成される_. これは正規底をもつ強次数環(S(γ)S(δ) = S(γδ)) ^{として特徴づけられる}.

群_Γをホップ代数 _H に替えて_,ホップ接合積_{S = H ⋉σR} が構成 される_. これは正規底をもつホップ・ガロア拡大_S/R として特徴 づけられる₍土井_–竹内 _1986).

例 _A を有限次元または_pointed なホップ代数とすると_,勝手な 商ホップ代数_{A ։ H} に対し_{, A = H ⋉σ R.} すなわち _Aは_H 上 のホップ接合積になる_.

例_O(GL

sup

V ^{) = k[xij, ykℓ, det(X )−1, det(Y )−1}] ⊗ ∧(p^{i ℓ, qkj)} (X P

Q Y

)

=^{( xij pi ℓ} q_kj y_kℓ

)

, 1 ≤ i, j ≤ m, 1 ≤ k, ℓ ≤ n.

∆^{(X P}

Q Y

)

=^{(X P}

Q Y

)

⊗^(X_{Q Y}^P )

, ε^{(X P}

Q Y

)

=^{( I O} O I

)

に関して上のようなテンソル積分解を得るには_, (p_{i ℓ}^′ ) := X⁻¹P, (q^′_kj) := QY⁻¹ ととり直して

O(GL^supV ^{) = k[xij, ykℓ, det(X )}

−1_{, det(Y )}−1

] ⊗ ∧(p^′i ℓ^{, q′}kj^).

注意 テンソル積分解を与える同型はスーパー可換ホップ代数の射 f _{: A → B} と両立するように選べる_.

A A_{⊗ ∧(W}^A)

B B_{⊗ ∧(W}^B)

≃ //

≃ //

f



f⊗∧(W^f)



とくに_f が包含 _{A⊂ B} の場合_,

f _{: A → B,} W^f : W^A _{→ W}^B はともに単射_. 従って

A_{⊂ B} ^{は忠実平坦}, _∧(W^A_{) ⊂ ∧(W}^B) ^は自由.

∴_{A⊂ B} も忠実平坦_.

5. 付随する代数群への帰着可能な性質

テンソル積分解定理からの帰結として_—

G ^{スーパー代数群}, G _{= G |(可換k-代数)} ^{付随する代数群} I (J. Brundan ^{の問いへの答え} [MZ]) 勝手なスーパー閉部分群 H ^{に対し商層}G ˜/H はネータ的スーパー・スキームであって

G ˜/H ^{がアフィン} _{⇐⇒ G ˜/H} ^{がアフィン}. とくに_{H▹ G} であれば_,これらの同値条件が成り立つ_. II ([M2]) G ^が単連結/^ベキ単 _{⇐⇒ G} ^が単連結/^ベキ単.

G ^同値に G ^{が単連結の場合}_{, O(G )} ^はhy(G )^{だけから構成可能}. char k > 2^ならばO(G ) = hy(G )^◦.

6. ^{スーパー代数群と} Harish-Chandra ^対

テンソル積分解定理が示すように_,スーパー代数群_G についての 情報が付随する代数群_G とスーパー・リー代数 _{Lie(G )}（の奇数 部分）から得られる_.

では_,この２つと適当な補足データから _G は完全に復元できるだ ろうか？これに肯定的に答えるのが_,表題の２つの間の圏同値_— スーパー・リー群に関する_Koszul の結果の純代数版_.

定義 (Koszul) Harish-Chandra ^対とは,^代数群 F ^{とスーパー・} リー代数_Lの対 _{(F , L)} で_,

◮ _{L0 = Lie(F )}

◮ _L1 は_F-加群でその構造が随伴 _L0-作用を引き起こす

◮ _{ブラケット積 [ , ] : L}

1× L1 → L0 ^はF-同変

を満たすものをいう_.

定理A [M2, MS] G 7→ (G , Lie(G ))がスーパー代数群の圏から Harish-Chandra対の圏への同値を与える_.

擬逆_G ^7→ _{(F , L)} の構成_: U(L) = ^{U(L0) ⋉ T (L1)}

I^{L , IL=}([u, v] − (uv + vu) | u, v ∈ L1⁾

を双対化_. テンソル余代数 _Tc(L^∗

1^{) ; T (L1)∗ の}O(F )^{による余半} 直積たるスーパー可換ホップ代数_{O(F ) ⋉ Tc(L}^∗

1^{) の完備化}

(O(F ) ⋉ T^c(L∗1^{))∧ =}

∞

∏

n=0

O(F ) ⊗ T^n(L∗1⁾

において_{, IL} を零化する元全体 O(G ) = IL^⊥

が求める_G に対応する₍離散₎ スーパー可換ホップ代数_.

O(G ) ^{の hy(G )}

^{における特徴づけ}

G ^{連結スーパー代数群}

G _{= G |(可換k-代数)}^{付随する連結代数群}, hy(G )^{そのハイパー代数} 埋め込み O(G ) ֒→ hy(G )^◦, O(G ) ֒→ hy(G )^◦

商 O(G ) ։ O(G ), hy(G )^{◦։hy(G )◦}

命題 _[MS] 余単位元を保つスーパー代数の可換図式が存在_. hy(G )^◦ hy(G )^◦_{⊗ ∧(W )}

O(G ) O(G ) ⊗ ∧(W )

hy(G )^◦-^{余加群同形}

O(G )-^{余加群同形}

≃ //

≃ //

OO OO

これより_{O(G )}は_{, hy(G )}^◦_-余加群_{hy(G )}^◦ の中で最大の

O(G )-部分余加群として特徴づけられる_.

上で_G を連結分裂簡約代数群とする_. その極大トーラス _T を選 ぶと_,いま得た特徴づけから次が従う_.

定理B [MS] (cf. Brundan-Kleshchev^他) ^{次の２つの圏は同形}.

◮ スーパー _G-加群の圏_.

◮ _{局所有限スーパー hy(G )-加群であって,制限によるその}

hy(T )-^{加群構造が}(^{一意に決まる}) T -^{加群構造からくるもの} 全体がなす圏_.

注意 _{[MS] (1)} 定理_Aは_{, O(G )}がテンソル積分解をもつという 仮定を加えることにより_,勝手な可換環 _k上成立_. その結果を用 いて_,Fioresiと_Gavariniによる_Z上のスーパー_Chevalley群を (^{ややより一般の状況で}) ^{再構成できる}.

(2)同じ仮定を加えることにより_,定理_Bは勝手な整域 _k 上成立_.

7. 線形簡約スーパー代数群

定義 スーパー代数群_G が線形簡約とは_,すべてのスーパー _G-加 群が完全可約であるときにいう_.

線形簡約スーパー代数群はかなり限られている_. 定理 (R. Weissauer 2009) k = k, char k = 0. 線形簡約スーパー代数群は次で尽くされる_.

簡約代数群 _⋉

∏

r

Spo(1, 2r )^nr.

ここにSpo(1, 2r ) は直交斜交スーパー代数群_. 定理 [M2] char k > 2.

線形簡約スーパー代数群_G は必然的に純偶数_,すなわち通常の代 数群であり_,したがって永田の定理から_O(G⁰_{) ⊗ k}は群環となる_.

8. (Haar) ^積分

スーパー代数群_G の積分とは_,ゼロ射でない左または右_{O(G )-}余 加群射ϕ : O(G ) → k ^のこと.

◮ _{このようなϕ} が存在すればスカラー倍を除き一意_.

◮ _{ϕ(1) = 1}を満たす積分を全積分と呼ぶ_. G ^{が線形簡約}_{⇔ G} ^{が全積分をもつ}.

◮ すぐ前に見たようにこの同値条件が満たされるのはまれ_. Cf. B. Sullivan: char k = 0^{の場合,代数群G が積分をもてば} 必ず全積分をもち_,したがって_G は線形簡約である_.

事実 スーパー代数群 _G に対して次は同値_: (1) G ^{が積分をもつ}.

(2) ^{入射的スーパー} G-^{加群が射影的}.

(3) ^{有限次元スーパー} G-加群の入射包絡が有限次元_.

定理 _[MPS] スーパー代数群_G に対して次は同値_: (i) G ^{が積分をもつ}.

(ii) ^{付随する代数群}G _{= G |(可換k-代数)} ^{が積分をもつ}. Sullivan^によれば, char k = 0^{の場合,これらは次と同値:} (iii) G ^が簡約.

またchar k > 2 ^{の場合,次と同値:} (iv) _(O(G⁰_{) ⊗ k)/}^√0 ^が群環.