E in QMExam2016 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2016 ans

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初等量子力学演習 (Wednesday August 3, 2016) 期末試験 解答例 & 解説 1 問題1. 次の問題を解け。 (30点)

1-1. ある粒子に作用するポテンシャルが増加したとき, その粒子の波数k は増えるか減るか? また波長λ は伸 びるか縮むか? 1 次元の運動として,定性的に説明せ よ。(変化量まで求める必要はない。)

粒子の全エネルギーは保存するので,ポテンシャルが 増加すると運動エネルギーが減少する。粒子の質量は 変化しないとすれば,運動量 p が小さくなる。運動量 と波数k の関係p= ℏkから,kは小さくなる。またド・ ブロイの関係式pλ = h,あるいは波数と波長λの関係 λ =

k から,λは伸びる。

1-2. ポテンシャル V(x) のもとを運動する質量 m 粒子の状態関数を ψ(x, t) とする。ψ(x, t) が満たす Schr¨odinger方程式を書け。

iℏ∂ψ(x, t)

∂t =

(−

2

2m

2

∂x2 + V (x)

)ψ(x, t) (1)

1-3. φ(x, t), χ(x, t)を任意の関数とする。⟨φ, χ⟩を積分 で表わせ。また,⟨φ, χ⟩⟨χ, φ⟩の関係を書け。

⟨φ, χ⟩ =

−∞

φ(x, t)χ(x, t)dx (2) また

⟨χ, φ⟩ =

−∞

χ(x, t)φ(x, t)dx なので

⟨χ, φ⟩ = ⟨φ, χ⟩. (3)

問題 2. 波動関数 ψ(x) = N eα2(x−b)2+ikx で表される 粒子について調べる。 (30点) 2-1. 規格化条件よりN を決定し,規格化された波動関 数を定めよ。

規格化の定義とガウス積分の公式より

−∞

ψ(x)ψ(x)dx = |N|2

−∞

eα(x−b)2dx

= |N|2

−∞

eαy2dy =√ π α|N|

2 = 1.

x− b = yと変数変換した。N を正の実数に選べば

N =(α π

)14 従って規格化された波動関数は

ψ(x) =(α π

)14

eα2(x−b)2+ikx. (4) 2-2. 確率密度ρ(x)を求め図示せよ。

確率密度の定義より

 ρ(x) = ψ(x)ψ(x) =√ α π e

α(x−b)2

. (5)

x = bを中心とし,頂点の値ρ(b) =√ α

π のガウス関数。 2-3.粒子を観測したとき,x > bの範囲に見つかる確率 はどれだけか?

図より確率密度ρ(x) はx = bを境に線対称なので,

x ≶ bに見つかる確率も半分ずつ。つまり粒子を観測し

たとき,x > bの範囲に見つかる確率は 1

2 となる。 2-4. 位置の期待値⟨x⟩を計算せよ。

期待値の定義とガウス積分の公式より

⟨x⟩ =

−∞

ψ(x)xψ(x) =√ α π

−∞

x eα(x−b)2dx

=√ α π

−∞

(y + b) eαy2dy

= b. (6)

最後は,奇関数を−∞からまで積分すれば0になる ことを使った。

2-5. 運動量の期待値⟨ˆpを計算せよ。 同様に

⟨p⟩ =

−∞

ψ(x) i

∂ψ(x)

∂x

=√ α π

−∞

ℏ i

(−α(x − b) + ik) eα(x−b)2dx

=√ α π

−∞

k eα(x−b)2dx= ℏk. (7) 問題3. x軸上を運動する質量mの粒子に (40点)

V(x) =

{0 (0 ≤ x ≤ L),

∞ (上の範囲外) のようなポテンシャルが作用している。 以下,0 ≤ x ≤ Lの範囲で考える。

3-1.エネルギーEに対応する波動関数をu(x)とし,定 常状態のSchr¨odinger方程式を書け。

定常状態に対する一般のSchr¨odinger方程式は (−

2

2m d2

dx2 + V (x)

)u(x) = Eu(x).

いま 0 ≤ x ≤ Lの範囲では V(x) = 0で一定の自由粒 子なので,Schr¨odinger方程式は

2

2m

d2u(x)

dx2 = Eu(x). (8)

3-2. 境界条件u(0) = u(L) = 0を採用し,系のエネル ギー準位Enおよび線形独立な規格化された波動関数を 求めよ。量子数nの値を明示すること。E > 0として よい。

(2)

初等量子力学演習 (Wednesday August 3, 2016) 期末試験 解答例 & 解説 2 (8)の一般解は

u(x) = A sin kx + B cos kx. ただし

k =

√2mE

. (9)

境界条件より

u(0) = B = 0, u(L) = A sin kL = 0. したがって,何らかの整数nを用いて

kn = π

Ln (10)

と書ける。これより

un(x) = A sin

L x. (11)

ここで正弦関数の偶奇性から

un(x) = −un(x)

なので,un(x)はun(x)と独立ではない。またn= 0 は,恒等的に u(x) = 0の自明解しか与えないため,n は正整数となる。よって(9)より

En =

2k2 n

2m = π22 2mL2 n

2, n= 1, 2, 3, . . . (12) となり,離散化されたエネルギーレベルが得られる。

ちなみにE ≤ 0では与えられた境界条件を満たす非 自明な解が存在しないため,E >0とした。

(11)を規格化すると

L 0

un(x)un(x)dx =|A|2

L 0

sin2 L x dx

=L 2|A|

2 = 1.

∴ A =√ 2 L

ここでA を正の実数に選んだ。よって規格化された波 動関数は

un(x) =√ 2 Lsin

L x (n = 1, 2, 3, . . . ) (13) と決まる。

3-3. 存在確率の流束j(x)を計算せよ。この結果から何 が言えるか?

定義より

j(x) = 2mi

(

un(x)dun dx

dun dx un(x)

) .

いま un(x) は本質的に実数なので,これは恒等的に0 になる。すなわち存在確率の流束は0である。

j(x) = 0. (14)

j(x)が0なので,粒子の正味の運動量も0だとわかる。 これは,波動関数(13)を

un(x) = 1 2i

√ 2 L(e

iknx

− eiknx) (15)

と書き換えると分かりやすい。(15)は,p= ℏk の波と

p = −ℏkの波との同じ割合での重ね合わせなので,正

味の運動量が打ち消されている。

古典的な例えをすると,0 ≤ x ≤ L内でx の正方向 に進む粒子は,x = Lの剛体壁で弾性衝突してそのまま 負方向に進み,また x = 0の剛体壁で弾性衝突して正 方向に進む,という運動をくり返すことになる。

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