E in QMExam2016 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in QMExam2016 ans

全文

(1)

初等量子力学演習

(Wednesday August 3, 2016)

期末試験

解答例

&

解説

1

問題

1.

次の問題を解け。

(

30

)

1

-1.

ある粒子に作用するポテンシャルが増加したとき,

その粒子の波数

k

は増えるか減るか

?

また波長

λ

は伸

びるか縮むか

? 1

次元の運動として,定性的に説明せ

よ。

(

変化量まで求める必要はない。

)

粒子の全エネルギーは保存するので,ポテンシャルが

増加すると運動エネルギーが減少する。粒子の質量は

変化しないとすれば,運動量

p

が小さくなる。運動量

と波数

k

の関係

p

=

k

から,k

は小さくなる。またド・

ブロイの関係式

=

h,あるいは波数と波長

λ

の関係

λ

=

2

π

k

から,λ

は伸びる。

1

-2.

ポテンシャル

V

(

x

)

のもとを運動する質量

m

粒子の状態関数を

ψ

(

x, t

)

とする。ψ

(

x, t

)

が満たす

Schr¨

odinger

方程式を書け。

i

∂ψ

(

x, t

)

∂t

=

(

2

2

m

2

∂x

2

+

V

(

x

)

)

ψ

(

x, t

)

(1)

1

-3.

φ

(

x, t

)

, χ

(

x, t

)

を任意の関数とする。

φ, χ

を積分

で表わせ。また,

φ, χ

χ, φ

の関係を書け。

φ, χ

=

−∞

φ

(

x, t

)

χ

(

x, t

)

dx

(2)

また

χ, φ

=

−∞

χ

(

x, t

)

φ

(

x, t

)

dx

なので

χ, φ

=

φ, χ

.

(3)

問題

2.

波動関数

ψ

(

x

) =

N e

−α

2(x−b) 2+ikx

で表される

粒子について調べる。

(

30

)

2

-1.

規格化条件より

N

を決定し,規格化された波動関

数を定めよ。

規格化の定義とガウス積分の公式より

−∞

ψ

(

x

)

ψ

(

x

)

dx

=

|

N

|

2

−∞

e

−α(x−b)2

dx

=

|

N

|

2

−∞

e

−αy2

dy

=

π

α

|

N

|

2

= 1

.

x

b

=

y

と変数変換した。N

を正の実数に選べば

N

=

(

α

π

)

14

従って規格化された波動関数は

ψ

(

x

) =

(

α

π

)

14

e

−α

2(x−b) 2+ikx

.

(4)

2

-2.

確率密度

ρ

(

x

)

を求め図示せよ。

確率密度の定義より

 ρ

(

x

) =

ψ

(

x

)

ψ

(

x

) =

α

π

e

−α(x−b)2

.

(5)

x

=

b

を中心とし,頂点の値

ρ

(

b

) =

α

π

のガウス関数。

2

-3.

粒子を観測したとき,x > b

の範囲に見つかる確率

はどれだけか

?

図より確率密度

ρ

(

x

)

x

=

b

を境に線対称なので,

x

b

に見つかる確率も半分ずつ。つまり粒子を観測し

たとき,x > b

の範囲に見つかる確率は

1

2

となる。

2

-4.

位置の期待値

x

を計算せよ。

期待値の定義とガウス積分の公式より

x

=

−∞

ψ

(

x

)

(

x

) =

α

π

−∞

x e

−α(x−b)2

dx

=

α

π

−∞

(

y

+

b

)

e

−αy2

dy

=

b.

(6)

最後は,奇関数を

−∞

から

まで積分すれば

0

になる

ことを使った。

2

-5.

運動量の期待値

p

ˆ

を計算せよ。

同様に

p

=

−∞

ψ

(

x

)

i

∂ψ

(

x

)

∂x

=

α

π

−∞

i

(

α

(

x

b

) +

ik

)

e

−α(x−b)2

dx

=

α

π

−∞

k e

−α(x−b)2

dx

=

k.

(7)

問題

3.

x

軸上を運動する質量

m

の粒子に

(

40

)

V

(

x

) =

{

0

(0

x

L

)

,

(

上の範囲外

)

のようなポテンシャルが作用している。

以下,

0

x

L

の範囲で考える。

3

-1.

エネルギー

E

に対応する波動関数を

u

(

x

)

とし,定

常状態の

Schr¨

odinger

方程式を書け。

定常状態に対する一般の

Schr¨

odinger

方程式は

(

2

2

m

d

2

dx

2

+

V

(

x

)

)

u

(

x

) =

Eu

(

x

)

.

いま

0

x

L

の範囲では

V

(

x

) = 0

で一定の自由粒

子なので,

Schr¨

odinger

方程式は

2

2

m

d

2

u

(

x

)

dx

2

=

Eu

(

x

)

.

(8)

3

-2.

境界条件

u

(0) =

u

(

L

) = 0

を採用し,系のエネル

ギー準位

E

n

および線形独立な規格化された波動関数を

(2)

初等量子力学演習

(Wednesday August 3, 2016)

期末試験

解答例

&

解説

2

(8)

の一般解は

u

(

x

) =

A

sin

kx

+

B

cos

kx.

ただし

k

=

2

mE

.

(9)

境界条件より

u

(0) =

B

= 0

,

u

(

L

) =

A

sin

kL

= 0

.

したがって,何らかの整数

n

を用いて

k

n

=

π

L

n

(10)

と書ける。これより

u

n

(

x

) =

A

sin

L

x.

(11)

ここで正弦関数の偶奇性から

u

−n

(

x

) =

u

n

(

x

)

なので,u

−n

(

x

)

u

n

(

x

)

と独立ではない。また

n

= 0

は,恒等的に

u

(

x

) = 0

の自明解しか与えないため,n

は正整数となる。よって

(9)

より

E

n

=

2

k

2

n

2

m

=

π

2

2

2

mL

2

n

2

,

n

= 1

,

2

,

3

, . . .

(12)

となり,離散化されたエネルギーレベルが得られる。

ちなみに

E

0

では与えられた境界条件を満たす非

自明な解が存在しないため,E >

0

とした。

(11)

を規格化すると

L

0

u

n

(

x

)

u

n

(

x

)

dx

=

|

A

|

2

L

0

sin

2

L

x dx

=

L

2

|

A

|

2

= 1

.

A

=

2

L

ここで

A

を正の実数に選んだ。よって規格化された波

動関数は

u

n

(

x

) =

2

L

sin

L

x

(

n

= 1

,

2

,

3

, . . .

)

(13)

と決まる。

3

-3.

存在確率の流束

j

(

x

)

を計算せよ。この結果から何

が言えるか

?

定義より

j

(

x

) =

2

mi

(

u

n

(

x

)

du

n

dx

du

n

dx

u

n

(

x

)

)

.

いま

u

n

(

x

)

は本質的に実数なので,これは恒等的に

0

になる。すなわち存在確率の流束は

0

である。

j

(

x

) = 0

.

(14)

j

(

x

)

0

なので,粒子の正味の運動量も

0

だとわかる。

これは,波動関数

(13)

u

n

(

x

) =

1

2

i

2

L

(

e

iknx

e

−iknx

)

(15)

と書き換えると分かりやすい。

(15)

は,p

=

k

の波と

p

=

k

の波との同じ割合での重ね合わせなので,正

味の運動量が打ち消されている。

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参照

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