file 南山大学経済学部西森のページ homework17

(1)

第 1 回変数と関数（宿題）

1. 次の関係を式で表せ

(1) A地点からB地点までx kmの距離を，s km/hのスピードで進むと，到着までにh時間かかる。 (2) ある工場の車の生産台数はY である。そのうち C を一般の消費者に，I を企業に，Gを公共団

体に販売した。そして残りのIM は海外に輸出した。

(3) ある企業がq 個の生産をしたときにトータルでC の費用が必要であった。よって，この財を生産するのに必要な平均費用はAC である。

(4) 税込み300円のビールをx杯，同じく税込み200円の焼き鳥をy 本注文した結果，I 円の支払いをした。

(5) 消費税率がα%のとき，課税前価格がR 円の買い物をするとレジでP 円支払うことになる。 2. 次の関係は一般的に (A)「正の相関を持つ」，(B)「負の相関を持つ」，(C)「どちらとも言い切れない」

のどれだろうか。解答欄に(A)∼(C)の記号を記入せよ。 (6) 企業の生産量と生産費用

(7) 利子率と企業の設備投資（設備投資がわからない人は調べよう） (8) 為替レート（1ドル＝e円）と輸入量

(9) 経済全体の貯蓄率と経済全体の貯蓄額 (10) 法人税率と法人税収

解答は↓から（締切：4月8日22時）

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(2)

第 2 回一次関数

1. 次の直線を表す式を求めよ。 (1)

✻

✲ O 4

y

x

✁^✁

✁^✁✁ 3 11

(2)

✻

✲ O 60

p

q

❍❍❍❍❍ 60

100

(3)

✻

✲ O 50 100

C

Y

★^★

★★ 60

100

2. 次の問いに答えよ。

(4) 財布の中には60ドル入っていたが，1杯3ドルのビールを飲むたびにその中身が減っていった。ビールをx杯飲んだときの財布の中身をy ドルとして，両者の関係を数式で表せ。

(5) ある企業が価格(p) と販売量の関係を調べたら，次の表のようになった。この財の需要関数を求めよ。

p（円） 120 150 180 210 … x（個） 320 300 280 260 …

おまけ問題：(4)(5)の数式を図で表せ（宿題としての提出不要，ただし必ずノートに解答してくること）。

3. X 財とY 財が存在する経済を考える。X 財の価格が25，Y 財の価格が50であり，ある個人の所得

が50,000であるとしよう。各財の消費量をx，y として以下の問いに答えよ。

(6) この個人の予算制約式を求めよ。

(7) Y 財の価格は変わらないが，X 財の価格が20になったときの予算制約式を求めよ。

(8) X 財の価格は25のままで，Y 財の価格が40になったときの予算制約式を求めよ。

(9) X 財の価格は25，Y 財の価格は50のままで，所得が40,000になったときの予算制約式を求めよ。おまけ問題：(6)∼(9)の予算制約式をを図で表せ（宿題としての提出不要，ただし必ずノートに解答してくること）。

解答は↓から（締切：4月12日22時）

(3)

第 3 回連立方程式，指数関数

1. 次の連立方程式を解け。 (1)







y = 2x + 3 y = −x + 6

(2)





 p = ¹

3^{x − 1} p = 7 − x

(3)







0.05Y = 60 − r 0.2Y − 4r − 80 = 0

2. 需要関数が_{p = 200 −}¹

2^x^{，供給関数が}^{p = x + 20}と表されている市場がある（p：価格，x：量）。 (4) p = 100のときの需要量と供給量をそれぞれ求めよ。

(5) p = 100のとき，この市場は超過供給か超過需要のどちらの状態にあるか。また，その値はいく

つか。

(6) この市場における均衡価格と均衡取引量を求めよ。 3. 次の式を計算し，答えを指数を使わずに表せ。

(7) 3²_{× 3}³_{× 3}⁻⁴ (8) 5¹⁶ _{÷ 5}⁻¹² _÷^√³25 (9) 8¹⁰_{÷ 2}⁴_{× 4}⁻⁸ (10) a^−x_{× a}²³^x+1_÷

√3

a^−x a² (11) 243²⁵ +^√⁵1024 (12)

[_{ (9¹⁴⁾

3^}

1 12^]

8

4. 現在，銀行に15万円の預金がある。税引き後の利子率を2.2%として複利で預金が増えていくとすると，20年後にはいくらになっているか。コンピュータや計算機などを使って計算し，千円の単位の値を四捨五入した上で解答欄(13)に入力せよ。

解答は↓から（締め切り：4月15日22時）

(4)

第 4 回対数

1. 次の値を求めよ。なお，log_AB と解答するときは log_A(B)と入力すること。また，解答欄には最も簡単な形にしたものを記入すること。

(1) log216 (2) log2

1 8

(3) log46 + log42 − log43 (4) 3 log_e6 + ¹

2^log^e^{4 − 2 log}^e¹² (5) (log350 − log32) ÷ log35 (6) log264 − log327 + log5

1 5

2. 次の方程式を解け。ただし，虚数解は無視すること。 (7) log3x = 2

(8) log2_{x = −3}

(9) log¹₈x = ¹ 3 (10) log_x36 = 2

(11) log2(x − 3) + log2(x + 1) = log25 ただし，x > 3とする。 (12) log2(x + 2) − log2(x − 2) = 2 − log23 ただし，x > 2とする。

3. 利子率が3%のとき100万円の預金が120万円になるまでに最短で何年かかるか？ log101.03 = 0.013，log105 = 0.700，log106 = 0.778 として，解答欄(13)に解答せよ。 4. おまけ問題（難問です。できなくても構いません）

「ムーアの法則」というものがある。これはインテルのゴードン・ムーアが提示した経験則で，「CPU の性能は18ヶ月で倍増する」というものである。この法則が正しいとすると，現在のCPUの性能が 20倍になるのは何年後か。また，100倍になるのは何年後か。log102 = 0.3010として解答欄(14)(15) にそれぞれ解答せよ。

(5)

第 5 回等比数列

1. 初項50，公比0.6 の等比数列について次の問いに答えよ。なお，A^B と解答するときは A^(B)と入力すること。

(1) 第3項の値はいくつか。

(2) この数列の第1項から第n項までの和をnの式で表せ。 (3) この数列が無限に続くとき，無限等比数列の和を求めよ。

2. ある工場で新しい機械を導入した結果，1年目の生産量は2000であった。しかし，この機械は毎年 10%ずつ生産性が落ち（つまり，2年目の生産量は1年目の90%，3年目の生産量は2年目の90%，… となる），20年間の使用後に使えなくなるという。さて，この機械を20年間使用することで合計何個の生産ができるだろうか。0.9¹⁸ = 0.150，0.9¹⁹= 0.135，0.9²⁰= 0.122，0.9²¹ = 0.110（のいずれか）を利用して解答欄(4)に解答せよ。。

3. ある地域のプロ野球チームが優勝したため，その地域では150億円分の消費が増加した（1次効果）。この消費は財やサービスを提供した人たちの所得となり，その所得が新たな消費を生みだし，その消費はまた誰かの所得となる。このような循環が続くと最終的にいくら分の消費が増加するか。なお簡単化のため，この地域の人たちは所得の7割を消費に回すものとし，また消費増加の効果が他地域に流出することはないものとする（全ての消費増は地域内で発生する）。以上を前提として，チームの優勝がこの地域にもたらした消費の増額分を解答欄(5)に記入せよ。

4. Aさんに子どもが生まれたので，子どものために積立預金を始めることにした。毎年の年始に銀行に 10万円を預け，これを20年間繰り返す。利子率を2%とし，税金は考えないものとして以下の問いに答えよ。

(6) 最初の年の年末に，預金残高はいくらになっているか。 (7) 次の年の年末に，預金残高はいくらになっているか。

(8) 20年後の年末に，預金残高はいくらになっているか。ただし，1.02¹⁹ = 1.45，1.02²⁰ = 1.49, 1.02²¹= 1.52，1.02²²= 1.55とする。

5. Cさんが，保有している土地を売りに出そうと考えている。現在，その土地からは毎年120万円の地代を得ており，利子率は2.4%である。これらの値は将来にわたっても変わらないと予想されているとき，この土地をいくら以上で売れば合理的と言えるだろうか。解答欄(9)に解答せよ。

6. おまけ問題（難問です。できなくても構いません）

ある人がある年の初めに2500万円のローンを組んだ。年間の利子率は2%で，毎年の年末にx万円ずつ返済することとした。このローンを35年で完済するためには毎年の返済額xの値をいくらにする必要があるか。解答欄(10)に記入せよ。なお，1.02³⁵= 2.00である。

(6)

第 6 回微分 (1)

1. 次の関数について，与えられた値に対応する微分係数を求めよ。なお，解答欄には数値のみを入力すればよい（“f^′(x) =” は不要）。

(1) f (x) = −x²^{+ 3}^{(x = 4)}

(2) f (x) = 2x³_{− x}²_{− 3x + 1} (x = 2) (3) f (x) = 3x⁴+ 5x³_{− 5} _{(x = −1)} (4) f (x) = xⁿ⁺¹_{− 2x}ⁿ (x = 2) (5) f (x) = 2x⁵³ (x = 27) (6) I(r) = 20r − r²^{(r = 10)} (7) x(p) = 100 − 2p^{(p = 5)} (8) f (x) = −x¹² ^{(x = 2)} (9) x(p) = 8√p⁴ ³ (p = 16) (10) x(p) = ³

2p ^{(p = 3)} 2. 均衡国民所得がY = ¹

1 − c

(c0+ I + G + NX⁾と表されているとき，政府支出(G) を1単位増加させると国民所得はいくら増加するか。解答欄 (11)に解答せよ。

3. ある企業の費用関数がC(x) = x²+ 2x + 30と表されている。いま，この企業がx = 5 の生産をしているとして，ここから生産量を増やすと平均費用は「増加する」か，「減少する」のいずれだろうか。解答欄(12)に解答せよ。

4. 次の関数が極大または極小となるときのxの値を求めよ。 (13) y = 2x²_{+ 6x − 3}

(14) y = x³_{− 2x}²_{+ x − 5} (15) y = x −_x¹

(16) y = x²³ _{− 2x}

https://sites.google.com/site/nishimorinzu/home/math 連絡事項

・5月8日に確認のための中間テストを行います。

・この中間テストは皆さんの現状における実力を確認するためのものです。・よって，成績評価には一切関係がありません。

・欠席しても特に問題はありません。・時間は50分。持ち込み不可。

(7)

第 7 回微分 (2)

1. 次の関数について，与えられた xの値における微分係数を求めよ。 (1) y = (4x + 3)⁷ _{(x = −1)}

(2) y =^√x + 1 (x = 3) (3) y =^√3x + 1 (x = 5) (4) y =(x³+ 3x²_{− 4x + 4}⁾

1

4 (x = 2) (5) y = (2x²_{− x − 3)(x}²_{− 3x + 1)} _{(x = −1)} (6) y = (x + 3)⁴³(x + 5)³² (x = 5)

(7) y = (2x²_{− 4x + 1)}^√3x + 1 (x = 1) (8) y = ^{4x − 1}

2x + 5^{(x = −3)} (9) y = ^{3x + 5}

(x + 2)³² ^{(x = −1)}

2. 次の関数について，点 (x, y) = (2, 8)における xについての偏微分係数を求めよ。 (10) f (x, y) = x²+ y²

(11) f (x, y) = 3x²_{− 2xy + 5y}²_{− 1} (12) f (x, y) = x¹²y¹²

(13) f (x, y) = (2x − 3)¹³^y²³ (14) f (x, y) =^x

2− 2xy − y² x + y

(8)

第 8 回微分 (3)

1. 次の関数について，与えられた xの値における微分係数を求めよ。 (1) y = (x²_{− e) log}_ex [x = e]

(2) y = log_e(x³_{− 4x}²_{+ 2x − 2)} [x = 2] (3) y = e^x(2x²_{− 4x + 3)} _{[x = −1]} (4) y = e^x²^−3x+3 [x = 3]

(5) x^e [x = e] (6) y = ^log^e^{(2x + 5)}

x − 3 ^{[x = −2]}

2. 需要の価格弾力性とは何か。解答欄(7)で簡単に説明せよ。

3. ある財の需要関数がx = 100 − 2pと表されているとする。ただし，pは価格，xは需要量である。この財の価格がp = 20であるとき，この財の需要の価格弾力性の値はいくつか。解答欄(8)に記入せよ。

4. ある財の需要関数が p = ¹⁰

2x − 5 と表されているとして，以下の問いに答えよ。

(9) 価格がp = 2であるとき，需要量はいくつか。 (10) dp/dxを求めよ（pをxで微分せよ）

(11) (10)の答えの逆数を求めよ（dx/dpを求めよ）。 (12) p = 2における需要の価格弾力性を求めよ。

5. 次の需要関数について，与えられた価格に対応する需要の価格弾力性を求めよ。 (11) p = 200 −¹₂^x^{[p = 40]}

(12) p = 40 − x¹²^{（ただし，}^{p < 40}^）^{[p = 20]} (13) p = ²

x²_{+ 2x − 1}^{（ただし，}^{x >}

√2 − 1^）^{[p = 1]}

(9)

第 9 回確認中間テスト

1. 次の式を計算し，最も簡単な形で表記せよ。 (a) 18²_{× 24}⁻³_÷^{( 3}

8 )²

(c) log316 − log312 + 2 log3

1 2

(b)(2²⁾³_{÷ 12}²_× ( ₁

27¹² )−⁴3

(d) log312 − 1

2. 次の関数をxについて微分せよ。 (a) y = 4x + 1

(c) y = 2x¹³ _{− 3}^√⁴x³ (e) y = ¹

2x²

(b) y = x³_{− 6x}²_{− 2x + 6} (d) y = (x²+ 2x − 3) loge^{(x + 1)}

(f) y = ^{−x + 2} 2x − 1 3. 次の問に答えよ。

（a）ある企業の生産量をxとするとき，生産に必要な費用はC(x) = x²+ 4x + 50と表されるとする。この企業が生産する財の価格がp = 100 であるとき，この企業が利潤を最大にするにはいくつの生産をすれば良いか。なお，利潤(π)は売上から費用を引いたもの，すなわちπ = px − C(x)^と定義される。

（b）関数 y = log_e(x²_{− 5x + 3)}について，x = 2のときの微分係数を求めよ。

（c）関数f (x, y) = x²y³_{− 2x + 5y}のxについての偏導関数を求めよ（関数をxについて偏微分せよ）。

（d）ある国の人口は現在1.2 億人だが，今後は毎年2% ずつ減少すると予想されている。この国の人口がこの後初めて 0.9億人を下回るのは何年後か。log103 = 0.4771，log104 = 0.6021， log100.98 = −0.0088として計算し，最終的に得られた値の小数点以下を切り上げて整数で解答すること。

（e）ある人がウォーキングを始めた。初日は1.5km の距離を歩き，次の日からは毎日，前日よりも 3%ずつ長く歩くことにした。30日間でこの人は合計何kmを歩くことになるか。1.03²⁹= 2.36， 1.03³⁰= 2.43，1.03³¹= 2.50，1.03³²= 2.58 を利用して計算せよ。

（f）ある財の需要関数がp = ⁵

x^{+ 3}と表されている。価格がp = 8 のとき，この財の需要の価格弾力性はいくつか。

4. 2種類の財(x, y)を消費している個人がいる。x財の価格が60，y 財の価格が80，所得が2400であったが，あるタイミングでY 財の価格が120に上昇した。このとき，この個人の予算制約線の変化を図に描け。

5. ある財の需要関数が_{p = 120 −}²

3^x^{，供給関数が}^{p = x + 20}と与えられているとする。ただし，pは価格，xは量を表している。

（a）需要関数(D)，供給関数(S)を図に描け。

(10)

1. 次の式を計算せよ。 (a) 12⁴_{× 18}⁻⁵_×^{( 4}

9 )³

(c) log624 − 3 log62 + log612

(b)⁽81⁻²³⁾

3 4

× (3²⁾³÷ 12² (d) log318 − 2

2. 次の関数をxについて微分せよ。 (a) y = 3x − 2

(c) y = 4x¹⁴ + 3^√⁵x² (e) y = x^√³_{x −} ¹

3x³

(b) y = 5x³_{− 5x}²_{+ 3x − 1} (d) y = e²^x_{(4x − 3)}

(f) y = ^2x

2− 2x + 1 3x + 1 3. 次の問に答えよ。

（a）ある財を生産する企業を考える。財の価格が30で，生産に必要な費用がC(x) = ¹₂x²+ 3x +⁵₂ と表されているとする。ただし，xは生産量である。このとき，この企業が利潤を最大化するためには何個の生産をすればよいか。また，そのときの利潤はいくらか。

（b）関数 y = log_e(x³_{− 2x}²_{+ 4x − 1)} について，x = 1における微分係数を求めよ。

（c）関数 f (x, y) = x²³y¹³ _{+ 9x − 2y}のxについての偏導関数を求めよ。

（d）ある国の法律では，親から子供に遺産が渡されるとき，その総額に対して10% の相続税がかかる。つまり，1億円の資産を残した人がいたとすると，その子供（第2世代と呼ぼう）は1000万円の相続税を払わなくてはいけない。この第2世代がその遺産に全く手をつけず，その子供（第3世代）に税引き後の遺産をそのまま渡すならば。第3世代が払うべき相続税は9000万円_{×0.1 = 900}万円となる。このような状況が第10世代が遺産を受け取るまで続いたとすると，この一族が払った相続税の総額はいくらになるか。なお，利子やインフレはここでは全て考慮しないものとし，必要ならば0.9⁹= 0.39，0.9¹⁰= 0.34，0.9¹¹= 0.31を用いても良い。

（e）A国のGDPは50で経済成長率は7%である。一方，B国のGDPは150で経済成長率は2%である。両国ともに今後もこの経済成長が続くとすると，A国のGDPがB国のGDPを追い抜くのは何年後か。なお，log101.02 = 0.0086，log101.07 = 0.0294，log103 = 0.4771として計算し，得られた結果の小数点以下を切り上げて整数で解答すること。

（f）需要関数がp = _√¹⁰⁰

x + 3 ^{と表されるとき，}^{p = 50} における需要の価格弾力性の値を求めよ。

4. 2種類の財(x, y)を消費している個人がいる。当初はx財の価格が2，y 財の価格が4，所得が400であったが，あるタイミングでx財の価格が1に下がった。このとき，この個人の予算制約線の変化を図に描け。

5. ある財の需要関数が _{p = 150 −}¹

2^x^{，供給関数が}^{p = x + 10}と表されているとする。

（a）需要関数(D)，供給関数(S)を図に描け。

（b）価格がp = 100 と与えられているとき，超過供給・超過需要のどちらが発生するか。またその大

きさはいくつか。

（c）均衡価格，均衡取引量を求めよ。

(11)

第 11 回条件付き最大化問題

1. X 財とY 財を消費する個人がいる。効用関数(u)や価格(px, py)，所得(m)が次のように与えられるとき，この個人の最適消費量の組み合わせを求めよ。なお，x, yはそれぞれの財の消費量を表している。

(1) u = xy，px= 2，py = 2，m = 140 (2) u = x¹²y¹²，px= 3，py = 1，m = 180 (3) u = x²³y¹³，px= 2，py = 3，m = 90

(4) u = xy + 2x + 3y，px= 4，py = 1，m = 122

2. 上と同じ。ただし，ここから先は応用問題。できなくても良いけど，できる人は頑張って！ (5) u = (x¹² + y¹²)¹²，px= 2，py= 1，m = 360

(6) u = 2 log_ex + log_ey，px= 3，py= 2，m = 90 (7) u = e^xy，px= 2，py= 1，m = 8

(12)

第 12 回需要関数の導出

1. X 財とY 財を消費する個人がいる。この個人の所得は100であり，X 財の価格はp，Y 財の価格は 10である。効用関数が両財の消費量(x, y)の関数として次のように与えられているとき，X 財に対する需要関数をそれぞれ求めよ（xをpの関数として表せ）。

(1) u = xy (2) u = x²³y¹³

(3) u = xy + 6x + 2y (4) u =⁽x¹² + 10y¹²⁾

1 2

2. X 財とY 財を消費する個人がいる。この個人の所得はmであり，X 財の価格はp，Y 財の価格はq と表されている。効用関数が両財の消費量 (x, y)の関数として次のように与えられているとき，X 財， Y 財に対する需要関数をそれぞれ求めよ（x，y をp，q，m の関数として表せ）。

(5)(6) u = xy + 2x + 4y （xの需要関数を(5)，y の需要関数を(6)に解答）

(13)

第 13 回確率

1. コインを3回投げる。

(1) 3回連続で表が出る確率はいくつか。

(2) 3回中2回だけ表が出る確率はいくつか。

(3) 3回のうち，少なくとも1回は裏が出る確率はいくつか。

2. サイコロを1つ投げる。

(4) 1回だけ投げるとき，1または2が出る確率はいくつか。

(5) 2回投げるとき，1回目も2回目も1または2のどちらかが出る確率はいくつか。 3. 男3人，女5人の計8人のグループがあり，くじ引きで代表者を2人選ぶとする。

(6) 2人とも男の確率はいくつか。

(7) 2人とも女の確率はいくつか。

(8) 少なくとも1人女が選ばれる確率はいくつか。

4. 10本中3本が当たりのくじを考える。A, B, Cの3人が順番にくじを引き，引いたくじは箱の中には戻さないとする。このとき，くじを引く順番にかかわらず当たる確率は同じであることを証明せよ。（宿題としての解答不要。ただし，必ず自力で解くこと）

5. 4.の問題において，当たりの時は800円をもらえるが，はずれのときは300円を払わなければならな

いとする。このクジの収益の期待値はいくらか。解答欄(9)に解答せよ。

6. 1人のドライバーが1年間に交通事故を起こしてしまう確率は1%であり，交通事故を起こすと平均的に200万円の示談金が必要であるとする。ここで，ある保険会社が年間5万円の保険料でその年に発生した事故の示談金を全て負担するという保険を販売した。1000人の保険加入者がいた場合，この保険会社の期待利益はいくらになるか。解答欄(10)に解答せよ。

(14)

第 14 回統計

1. 2つの企業があり，両者の利益の推移が次の表のように表されているとする。計算機等を使わずに（手計算で）以下の問いに答えよ。

2013 2014 2015 2016 2017 企業A 18 32 25 21 29 企業B 10 10 15 20 5

(1) 企業Aの5年間の利益の分散を求めよ。 (2) 企業Bの5年間の利益の分散を求めよ。 (3) 両企業の5年間の利益の共分散を求めよ。

(4) 両企業の5年間の利益について，相関係数を求めよ。

2. 下の表は円に対するドルとユーロの推移である（計算しやすいように多少加工している。正確な値が必要なときは自分で調べること）。計算機またはパソコンを使って以下の問いに答えよ。

年 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 ドル／円 118 104 94 88 80 80 98 106 122 110 ユーロ／円 161 152 130 117 111 103 130 141 134 121

(5) ドルの標準偏差を求めよ（小数点以下第1位を四捨五入）。。 (6) ユーロの標準偏差を求めよ（小数点以下第1位を四捨五入）。 (7) ドルとユーロの共分散を求めよ（小数点以下第1位を四捨五入）。 (8) ドルとユーロの相関係数を求めよ（小数点以下第3位を四捨五入）。

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第 1 回 変数と関数（宿題）

第 2 回 一次関数

第 3 回 連立方程式，指数関数

第 4 回 対数

第 5 回 等比数列

第 6 回 微分 (1)

第 7 回 微分 (2)

第 8 回 微分 (3)

第 9 回 確認中間テスト

第 11 回 条件付き最大化問題

第 12 回 需要関数の導出

第 13 回 確率

第 14 回 統計