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❭✽☞✌✱✩✗✲❴✰✔ ❀✧⑨✢✴▲❴❄➴✳❉✣✺✲✪✌✬✧✠ ✾ ✦✩➊ ▲❄☞✎✍ ➮❰✍✑☞✖✺
x i x i+1
y=f(x)
O a xx 1 2 b
f(a) f(x ) i
a
b
f(x)dx = lim Σ i+1 i
n f (x ) i ( x − x )
✠✴❉♠⑦❄q☛■✣Ï✻❭✁✧❖✙✗✙✘✻✬ ✾❾➱ ✘✧❃❈❅✝✜✧✠✳✡▲✦✯✴ ×✵✭✰❉✄✂✖❳ ☎✝✆✟✞✟✠☛✡✌☞✎✍✄✏
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✭❳❿➁➀
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✗✷✑✓✔✖✕✘✗✄✙r✗
✴ ✸✹✶✵ ③ ❘ ✵
✸
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∆ x i
∆ x i
x i x i+1
y=f(x)
O a xx 1 2 b
f(a) f(x ) i
f(x)dx = lim Σ
b n
a
i
i i+1
f(x )(x -x )
a
b
f(x)dx = lim Σ f(x )(x - x ) i i+1 i
n
dx
dx
✢✁✑✁
☞
✑✓✔✖✕✼✦✄✂✄❑✘✛✆☎✣✴✷❪✳✢✳❚⑧✦✞✝
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✫P⑤✠✟
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✏✄✡✶✵⑧✏☞☛
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②
❅☛③
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✑✧✛
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✦✛✚ ❿➁➀☞✜
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✗✁✔✖✕❛✸❝➂
➃✈✛✆✏✤✒✼✦✳✢✁✑✦✥★✧
★ ✑
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➀❳❿✖✗❧✸✔✕❝➃✘✗✚✢✖✢
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✗✌❵
✵❡✏✆✫◗✵❡✏✚✍
❪❾✔✖✕❯❚✽✢✁✑✓❙✖✔✖✕✼✑✏✥
✍
✛✬✝❛❻
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✙☛✗
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✢❾✤✎✦♥❶ ❷✎❹✖❺
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✑✄❘❾❭
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✫✹☛✄✏✞✜
④ ✍ ✗
✢❾✤✧✦
⑤✔✏✒✑✄✏✚✍
❪✌❘✥❭
✫✤✺✓✯
✑✓✱✚✲✵✴✥❭✖✔✞✻✁✼
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✕✚✶✹✸
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✫✍✪
✸ ✏
✍ ❩
✙✌✗
∆S i
❊✿✾❁❀
✑✓✱◗✲✵✴⑧❭✌✔✞✻✤✼
✫✦❂❄❃ ❃
✜✌✙✄✑✓❭✤✻☞✼✣✑❆❅✞❇☞✧
✫✪✇
② ❃
❚✄✸
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✛❚✂❄✢❡✑✁❺
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✗✁✒✎♥ ④⑧✤
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✾q❀ ✇
② ❅ ✡✽☞✎✍✄✏✆❈
✾❋❀ ✇
② ❃ ❅✍❂❄❃ ❃
✑✗❉ ❊
◆ ❃
✾☛❀ ✇
② ❃ ❅❋❂❄❃ ❃
✫✄✏✯✑
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✙✎✗✧✢❾✤✣✦✓✱✚✲✚❭✖✔
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♦❝♣
✾q❀ ✇
② ❃ ❅
✑✹●
✫ ❿ ➅
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✸❴❑✳▼✖◆
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✑✌✗
✙✌✗✘✢✁✑✓❭✼✑✓✕✚✶
✫❆❍❏■✳✡✕❑
❿✿➆✥✸
✏✚✍❈✵❝❏
✛✎✜
∆ S ι
✢✁✑✗❉✘✛rs✌✒✼✑✁
■ ●
✫✄✂✧☞
✛❧✢❾✤
✫✐✾✬❀ ✇
② ❅
✑✓❭✆☎
✡✽☞✎✍✄✏
✑✓❭✖✔✖✕❯❚
✍✖✍
❉❋❊❍●
❊
❏✘▲
❊
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✾q❀ ✇
② ❃❅❋❂❄❃ ❃ ③ ❘
✝✟✞✡✠
✾q❀ ✇
②
❅❫♠ ❃
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✙✌✗✘✢✁✑✓✔✖✕
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❙✖✔✖✕❯❚ ✓✕✔✌➂✘➃
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✾✬❀①✇
②
❅❍③
➋
❚s✙✘❪✣❚
❘
✝✟✞✡✠
♠ ❃◗③ ❉❍❊❍●
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❏▼▲
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❂❄❃ ❃ ③ ❃
❚❾✴
✵❡✏
✂❇❭☛☎✓✑✓❭✖✔
✫✌☞✼✑
❪✳✢✳❚
✡✽☞✎✍✄✏
✦✌✍
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✑✁✎✞✻✘✛✎✴
✍
✗♥✸✔✕✄➃▼✗
✢❾✤✎✦♥❶ ❷✎❹◗❺
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✑✤✝✖❪✂✁✖❘⑧❭
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✔✝✆
✡✽☞✄✍✄✏
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✡ ❺
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✔✝✆
✫P✏✒✑
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✫✤✺✰✯
✑
✱✚✲✵✴
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✕✚✶✹✸✄✂✜✙◗✑☛✡
✾✶❀
✑ ✄
✔✞✻✁✼
✫✛❂
✆ ❃ ✂ ✙◗✑
✄
✔✞✻☞✼❧✑✗❅✓❇
✧ ✫ ✇
② ❃
❚✄✸
✏✂☞✳✜
✑✗❉
Potato Cut!
Chop!
Chop! Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
Chop!
❊
◆❃✝ ❊
✾✬❀ ✇
② ❃❅✍❂
✆ ❃
✫✄✏✒✑
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✙r✗✄✢✁✑✓✕✚✶
✫✙❍❏■✎✡✕❑
❿✮➆✥✸
✏ ✑
✵✓❏
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■ ●
✫✄✂✷✏ ★
✙✁✤
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✢✁✑
✄ ✔
✡✽☞✎✍✄✏
✑
✾✬❀ ✇
② ❅ ✑ ✄
✔✖✔✖✕
❘ ✌ ❴
✝✡✠
❦✎✍✑✏
✾❋❀ ✇
②
❅❫♠
✆
❚✄✸
✏
✒✎♥✮✸
❩
✙✎✗✧✢✁✑✓✒✎♥✘❿➁➀
❖✏✌
➀s❿✎✴✵➂✼➃
✡✹✾q❀ ✇
②
❅❍③
➋ ✑✣✛
✡
✦✠✂ ✢✥✑
✔✖✕✼✦✒✆✐✑
✄ ✔
✫✌☞✼✑
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✙✌✗
✓☎✔✖✕ ✗✙✘✛✚✙✜✣✢ ✤
✢✖✢✓✗✂✥
✘✧✦✩★✫✪
✡✭✬✯✮
⑩
✫✱✰
▼✳✴
➅ ✤ ★
✴❼❻
❩
◆❈✮✌✗✘✢✖✢✓✗✂✥
✘✧✦✩★
✪
✫✱✲
❻④❤✴✳✵❪☎✵✫✶✵✑✓➇✸✷◗✦✠✹
✉
♣✧♦❝♣✼✑✞⑧❈⑨✖✴✸✺⑧✑✁❫✖❵
✡
➂✼❻✼✻
✵ ❚
✦✩★
✫✁
✸✣➆
✲ ❻ ✡
➃✄✂✆☎✘✛✖✗
❜❝❏
❿➁➀s✗✄✙r✗
✭✯✮✞✝✯✮✠✟ ✡☞☛✍✌✍✎✑✏☞✒
❩
❞✔✓✖✕✘✗
✦✩★✫✪
❿➁➀✚✙✁✛
✦✩★✫✪✖✜
✜✢✙✁✛
✦✩★✫✪
❿➁➀
✦✩★✫✪✖✜
✜✁
✦
★✫✪
❿➁➀✣✓✖✕✘✗
✦✩★✫✪✖✜
✜ ❩ ❏
✙✄✑✥✤❧✑
✉✎✇
✛✖✗
❜
❪✳➂✘➃
✡
✴♥➀✰✴
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❻ ❩
◆❈✮✌✗✖✙✄✑
❏✌✚✚✡
✦✥✺
✦✩★✫✪
✑ ★
✑✽♦✧✦
✫✩✌✧★✼✡✆✪
✙✖P
✫✁✩
➆❾✢✳❚❣✛✫✪
✻ ✡
✴❼❻
❩
✙✌✗
X
Y
Z
O
(0,0,z)
(0,y,0)
(x,0,0)
(x,y,0)
ρ
φ ρ
P ( ρ,φ, z)
❩
❞◗❤✼✑✽P
✫P❖ ✵⑧✏
✙✁✛
✦✩★✫✪
✗
❀✭✬ ✆✯✮☛✆✯✰⑥❅
✗ ✪
④⑧✤✵❪✕✧✣✑✧✱✳✲✧✴✶✵
✦✩★✫✪
✗✷✑
✦✩★
✫✚✷✼✚◗✏✔✓
❩
✸✖✕✌➃▼✗✧✢❾✤✧✦
✌
➀s❿✎✴✠✞
✡
❁⑧③✸✬✺✹✼✻✾✽ ✹ ❀✿✮ ❅
❦❴③✸✬✺✹ ✹❁❀❂✭☛❀❂✮ ❅
✰▲③❃✰ ❀
✙✁✛
✦✩★✫✪
✑
✰⑥❅
❚❾✴❼❻ ✙✌✗✥✤
✡
✬❴③✁ ❁✄✂ ✈ ❦☎✂
✮⑧③
✚✝✆✟✞✡✠ ✚✝☛✌☞
❦
❁✎✍
✰▲③❃✰ ❀✑✏✓✒✕✔
✦ ★✫✪
✑ ✰ ❅
❚❾✴✷❪✳✢✳❚
❖✏✌
➀s❿✖✗♥✸✖✕✖➃✘✗✥❷
✡
✙✁✛
✦✩★✫✪
❿➁➀
✦✩★✫✪
✡✓✉✎✇
✙✘❪✳✢✳❚
✫✄✏✒✑✄✏✔✓
❩
✸✖✕✖➃✘✗❡P
✫✗✖✔✏✣✡
✸⑧✴◗✛➁➀
( ρ,φ, z)
rcos θ
X
Y
Z
O
(0,0,z)
ρ
φ ρ
P ( ,θ,φ) r
θ r
= r cos θ
z=
❀✑✘✠✂
✛
✦✩★
❅ ②
③✙ ✬ ✂ ✈ ✰ ✂
✚ ③
✚✝✆✟✞✡✠✚✝☛ ☞ ✬✰ ✍
✮✥③ ✮
❩ ❏
✙✄✑✥✤❧✦
❀✑✘✠✂
✛ ✙✁✛
✦✩★✫✪
❅
✬❴③
② ✹ ✹❁❀❂✭☛❀
✚ ❅
✮✥③ ✮
✰❴③
②
✹✾✻ ✽ ✹ ❀✚ ❅
❚❾✴✷❪✳✢✳❚⑧✦
✌
➀s❿✖✗♥✸✖✕✖➃✘✗✁ ❿➁➀✺✱✳✲✧✴✶✵ ✓✖✕✘✗
✪ ✲ ✜ ✑
✉✎✇
✦
☞✳✜
✑✽P
✫✗✖✔✏✣✡
r cos θ
r sin θ
r sin θ Y
Z
O
(0,0,z)
φ
P
r sin θ cos φ
rsin θ sin φ
(0,y,0)
X
( r, θ,φ)
(x,y,z)
(x,y,0)
(x,0,0)
θ
❁⑧③
② ✹ ✹❁❀❂✭☛❀✚ ❅✯✻ ✽ ✹ ❀❂✮ ❅
❦❴③
② ✹ ✹❁❀❂✭☛❀✚ ❅ ✹❁❀❂✭☛❀❂✮ ❅
✰❴③
②
✹✾✻ ✽ ✹ ❀✚ ❅
❚❾✴✷❪✳✢✳❚❣✛✁✕✘❿✮❻
❩
✙r✗✣✤❧✑
✉✎✇
✦
② ③ ❁ ✂ ✈ ❦ ✂ ✈ ✰☎✂
✚ ③
✚✝✆✟✞✡✞✂✁☎✄ ☞ ✰② ✍ ❏
✰✼✸
②
✦✥❤✼✑✫✿✘✗✁✒✎♥ ④⑧✤
❏ ②
✮⑧③
✚✝✆✟✞✡✠ ✚✝☛✌☞
❦❁ ✍
❚❾✴❼❻
❩
✙✌✗
t
❩ ❞
❖✠✵
❚ ❖
➇✖➈✮✸✯✻✎✙
✍ ✄
✔✞✻☞✼✵❿➁➀ ✍ ✌ ✸
✏✚✍✵❜
❩
✸✖✕✖➃✘✗
✜
✑✽P
✫✹☛✚✏✄✜
④ ✍ ✗
z
y x
x=x + x 0 ∆ x=x 0
∆ ∆ ∆
x
y
O
z
✢❾✤✧✦✞✝✎❪❾❭
✡✽❨
❩ ✤
❏✠✄
✔
✫✚✷✼✚
➂✘➃◗❚✄✸
✏✚✍
❪✣❚✽✢✁✽❝✗✄✙✌✗✽P
✫✹☛✚✏
✍✎❏
✰ ➅ ✤ ★ ✌
➀s❿✎✴✵➂✘➃
✡
✢✁✑
✄ ✔ ✫
✲◗④✁✴
❬ ✕ ✡ ✕ ➅ ✏
✙✁✤
✫✠✟
✸▲❑✎▼
◆✐➂✘➃◗❚✄✸
✏✚✍
❪❡▼
➅
✗✄✙✚✛✚✜✧✢✁✑✓✕
➅☛✡
✡
✘✌☞✘✛✬✝✎❪✳✢✳❚
✡✄✢ ✔ ✖ ❜
✰✣❚
➊ ✍ ❩
✙✌✗✔✙✁✤✧✦✔✙✁✤✎✍✁✤✧✑✓✕✚✶✹✸
✏✚✍
❪❾❭✘✛ ✏✒✑✫s✌✒✵✜✔✓✕✑✫s✌✒✵✜✗✖✘✑
s✄✒✼✑❡❭✼❿➁➀✰✗
❜✥✏✷✍
❪✳✢✵❚❣✗✚✙✎✗◗✴✚✙✐✢✽✑✼➂✘➃
✡
✕✷✶✵✙✘❪✖✑✖✗♥✸✒✕✌➃❣❿✖✗
✙✁✤✧✦✓✔✖✕✼✑✫✿
✫✹☛✚✏✔✓
✤ ★ ✌
➀s❿✖✗♥✸✔✕✄➃▼✗
❘✺❘ ❘ ♠ ❁ ♠ ❦❑♠ ✰
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❩
❞✿❱s✗❝✔✖✕✮✸
✏ ✂ ❷
✡✔✛
✗✁✔✖✕✮✸✄✂ ✵✚✜
✡✣✢
✗❝✔✖✕✧✙✘❪✳✢✎❚
✡ ✴
✵❡✏✚✍
❩
✙✚✛❈✙✁✤✎✍✓✤
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❞✿❱s✗❝✔✖✕✧✙✘❪☛✛
✡ ✦ ✛ ❚ ✢
✦♣s✌✒✼✑✗●✘✗✎✴
➅
✤ ★
✴❼❻
❩
◆❈✮✌✗✐✸
❏ ✛
✵❡✏
✢✁✑✟✞✼✴✥✕✚✶✣✑✁✎✞✻✘✛✬✝✎❪◗✑✌✗✄✙✌✗✼✸
❏ ✛
✵⑧✏
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✢✖✢✓✗
✏✒✑
➀❴✤✵❪
✄
✔✤✻☞✼❧✦✞✝✎❪✕✧✷❿➁➀ ✏
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✏♣✂ ✓
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✓P✂ ✖
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✖✄✰
➅✝✆
✍✎❏
✛ ✡ ✗ ❜
❤✘✛✧❪
♠
✑✟✞◗❭
✄ ✑ ✄
✔❯❚✄✸
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✒✎♥ ④⑧✤
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✙✌✗✷✢
✑✘✢✳❚❣❿➁➀
✌
➀s❿✎✴✵➂✘➃
✡✠✄
✔✞✻☞✼❧✦✧✱✳✲✧✴✶✵
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✗✷✦
♠ ✆
③✯♠ ❁ ♠ ❦ ♠ ✰
❚
➄✣➅
❪✳✢✎❚❴✛✁✕✳❿✧❪✘❚ ➊ ✍ ❩
✙✧✗ ✙✁✛
✦ ★✫✪
✑✓⑩◗❑
✡
✦✠✂ ✕✖✶✣✦
✜
✑❡P✎✑
✞ ✡
✴❼❻ ✜
X
Y
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φ
∆φ
∆
ρ
∆ z ρ ρ+∆ρ
∆ρ
∆ z
∆φ
z
ρ
ρ+∆ρ
∆φ
✸ ❏ ✛
✵⑧✏✂✄
✔✞✻☞✼❧✦
❀✞✬ ✆✯✮❋✆ ✰ ❅④✡✄✢✚✍✄✏✶✬✁✫ ♠ ✬ ✰ ➅ ✂
✮✄✫ ♠ ✮ ✰ ➅ ✂
✰❾✫ ♠ ✰
✰
➅✡✠☞☛
④⑧◆
❏ ✛ ✆ ➆ ✧✮❚✰✜✎✙✁✤❼➀
✫✍✌✒✓
❑✳▼✖◆
❏✏✎■✯
✑✄✧
✡ ➂
✵❡✏✒✑
➀❴✤
❪ ♠
✑✟✞◗❭
✄ ✑ ✄
✔❯❚✄✸
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✒✎♥ ④⑧✤
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✙r✗✣✸
❏ ✛
✵✥✏
♠ ✆
③✸✬ ♠ ✬ ♠ ✮ ♠ ✰
❚❾✴❼❻
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✙✌✗
✦✩★✫✪
✑❡⑩✖❑
✡
✦✼④✘➀
✡✡✓✕✔
✗✄✙✎✗⑧✕✚✶✣✑✟✞☞✖
✢ ➂ ✘ ✄ ✔
✻☞✼❧✑✡✗✼✦✽P✳✑✟✞
✡
✴❼❻
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θ
φ ∆φ
∆θ φ=φ+∆φ
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r=r+ ∆ r
0
0
0
0
∆r
∆ r r ∆φ
.
.
∆θ θ 0
θ 0
∆θ
∆r
0
π/2−θ
❩ ❞ ② ✫ ♠ ② ✰ ➅ ✠☞☛
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❏ ✛
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❪ ✂ ✑ ✠
④◗✦
♠ ②
✙◗✑
❖
✑✌✗✎✙✚❿➁➀✲✂⑤✢
✑ ✂ ✑ ✠
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♠ ②
✜❡❷
✡ ✚ ✫ ♠ ✚ ✰
➅✡✠☞☛
④⑧◆
❏ ✛ ✡ ✗ ❜ ❪ ✂ ✑ ✠
④❝✦✄✧
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② ✹ ✹❁❀❂✭☛❀✚ ❅❫✹✼❀❆✭☛❀✿✮ ❅ ✆ ②
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❿➁➀✲✂
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②
✹✾✻ ✽ ✹⑥❀✚ ✈ ♠ ✚ ❅✟❅
✡ ✁
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♠ ✚ ✫
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❅❫♠
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