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ベイズ統計

はじめに簡単なゲームをやって

みましょう

モンティ・ホール問題

(Monty Hall problem)

http://ja.wikipedia.org

1 つのドアの後ろに景品がある

のこり 2 つのドアははずれ（ヤギ＝はずれ）

問題 (1/3)

プレイヤーの前に 3 つのドアがあっ

て、 1 つのドアの後ろには新車（＝あた

り）が、 2 つのドアの後ろにはヤギ ( ＝

はずれ ) がいます。

プレイヤーは新車のドアを当てると新車

がもらえます。

問題 (2/3)

プレイヤーが 1 つのドアを選択した後、司会

者が残りのドアの内、ヤギがいるドアを開け

てヤギを見せます。

問題 (3/3)

ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、

残っている開けられていないドアに変更し

ても良いと言われます _。

プレイヤーはドアを変更すべきでしょ

うか？

まとめると…

(1) 3 つのドアに、景品、ヤギ、ヤギがランダムに

入っている。

(2) プレイヤーはドアを 1 つ選ぶ（この時点でドア

を開けてはいけない）。

(3) 司会者は残りのドアのうち 1 つを必ず開ける。

(4) 司会者の開けるドアは、必ずヤギの入っている

ドアである。

(5) 司会者はプレーヤーにドアを選びなおしてよい

と必ず言う。

実験してみましょう

確率を計算してみましょう

プレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

http://e-poket.com/illust/10nekokuruma.htm

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

http://www.misaki.rdy.jp/illust/doubutu/riku/big/sozaitext/yagi101.htm

①

②

③

④

⑤

⑥

1 回目が当たりのケース→⑤と⑥

プレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

①

②

③

④

⑤

⑥

1 回目が当たりの確率

3

1

2 回目が当たり→ 1 回目は

はずれ

1 回目がはずれのケース→①～④

プレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

①

②

③

④

⑤

⑥

ところが…

プレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

http://e-poket.com/illust/10nekokuruma.htm

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

http://www.misaki.rdy.jp/illust/doubutu/riku/big/sozaitext/yagi101.htm

司会者が教え てくれる！

①

②

③

④

⑤

⑥

司会者がルール上選べないケース→①と④

プレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

http://e-poket.com/illust/10nekokuruma.htm

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

http://www.misaki.rdy.jp/illust/doubutu/riku/big/sozaitext/yagi101.htm

①

②

③

④

⑤

⑥

1 回目がはずれと仮定→自動的に②か③（当たり）を選ぶこと になるプレーヤー 1 回目 司会者 プレーヤー 2 回目

A B

A B

A B

A ^B

A B

B A

①

②

③

④

⑤

⑥

2 回目が当たりの確率

2 _{回目が当たりの確率}

＝ 司会者がはずれを見せてくれた上で、 1 回目が

はずれと予想する確率

＝ _{1 – 1/3}

＝

3

2

この話のミソ

司会者が「はずれ」を見せてくれるというヒントを

、うまく利用している

確率の問題としては…

「司会者がはずれを引く」という条件下で

、 2 回目が当たりの確率を計算をしている

→ 条件付確率

何に使うの？

迷惑メールフィルタ

元メール

迷惑メール フィルタ

辞書

魚の移動経路の推測

遠洋水産研究所 岡村寛

http://cse.fra.affrc.go.jp/kiyo/home/pop/intro/Topics/entori/2008/9/13_Sampling_and_data_workshop_in_Yamaguchi_files/okamura080913.pdf

気象予報

シミュレーション ベイズ統計利用 実測値

降水量

ベイズの定理

お題

確率についておさらい

条件付確率

乗法定理

ベイズの定理

確率についておさらい

例：トランプのカードを引く

スペード 13 枚、ハート 13 枚、クラブ 13 枚、ダイヤ 13 枚

ジョーカー 1 枚 計 53 枚

スペードを引く確率は？

答

カードの総数

スペードの枚数

答

カードの総数

スペードの枚数

53

＝ 13

事象

統計学では何かの出来事のことを、

「事象」と言ったりします。

使用例：

スペードを引くという事象

事象を記号で略記する

「スペードを引くという事象」を、毎回書くのは面

倒なので、

「スペードを引くという事象」を事象「 A 」と定義

する、一回書いた後は、

「スペードを引くという事象」のことを「 A 」と略

記することがあります。

模式的に書けば…

「スペードを引く」事象

^A

積事象 , ∩

http://ja.wikipedia.org

A∩B = 事象 A と事象 B が同時に起こる

A _{キャップ B}

条件付確率

事象の定義

スペードを引くという出来事

（事象）→「 A 」とする

絵札を引くという事象→

「 B 」とする

事象の定義

スペードかつ絵札を引く確率 , P(A∩B)

「スペードかつ絵札を引く」＝「スペードの絵札を

引く」

事象の定義

引いたカードがスペードだったとき、その

カードが絵札だったという事象

→ 「 B|A 」と書くことにします

より正確に言うと…

B|A _＝

A が起こったという条件のもとで、 B が

起こるという事象

これらの事象が起こる確率

を求めてみましょう

スペードを引く確率 , P(A)

P(A)=13/53

スペードかつ絵札を引く確率 ,

P(A∩B)

P(A∩B)=3/53

スピードを引いたとき、それ

が絵札である確率 , P(B|A)

P(B|A)= 3/13

条件付確率の定義

P(B|A)= ^P(A∩B)

P(A)

ほんとう？

P(A∩B)

P(A∩B)=3/53

P(A)

P(A)=13/53

P(B|A)

P(B|A)= 3/13

たしかめてみました

P(A∩B)/P(A)

=

= 3/13

= P(B|A)

3

13

53

53

乗法定理

P(A∩B)= P(A) P(B|A)

= P(B) P(A|B)

A,B _{を入れ替える}

ベイズの定理

ベイズの定理の導出

乗法定理より、

P(A) P(B|A) =P(A∩B)= P(B) P(A|B)

P(B)

A)

|

P(A)P(B

B)

|

P(A 

モンティー・ホール問題の解釈

問題の整理

A ^{B C}

A: プレイヤーが最初に選んだ扉

B: 司会者が選んだ扉（はずれ）

C: プレイヤーが 2 番目に選んだ扉

事前確率の定義

A の扉があたりの確率 →

P(A)=1/3

C の扉があたりの確率 →

P(C)=1/3

A ^{B C}

A: プレイヤーが最初に選んだ扉 B: 司会者が選んだ扉（はずれ） C: プレイヤーが 2 番目に選んだ扉

尤度の定義

P(B|A) → A があたりのときに，司会者が B

を開ける確率 =2/3

P(B|C) → C があたりのときに，司会者が B

を開ける確率 =1

A ^{B C}

A: プレイヤーが最初に選んだ扉 B: 司会者が選んだ扉（はずれ） C: プレイヤーが 2 番目に選んだ扉

事後確率の定義

P(C|B) → 司会者が B を開けたとき

に、 C が当たりである確率

A ^{B C}

A: プレイヤーが最初に選んだ扉 B: 司会者が選んだ扉（はずれ） C: プレイヤーが 2 番目に選んだ扉

ベイズの定理より…

3

2

3

1 1

3

1

2

1 ³

1 1

C)P(C)

|

P(B

A)P(A)

|

P(B

C)P(C)

|

P(B

B)

|

P(C













 

P(C|B)

＝ 司会者が B を開けたのを見て、プレー

ヤーが A から C に扉を変更した場合に当た

る確率 ＝ ²

3

プレイヤーが最初に選択した A が当たりで

ある確率

＝ ¹

3

例題 小売店である会社の製品のなかに不良

品がみつかった。その不良品がその会

社のどの機械でつくられたか調べる

機械は 3 つあるとする

機械 A, 機械 B, 機械 C

A, B, C → _原因

事象の定義

製品が機械 A からつくられたという事象→ A

製品が機械 B からつくられたという事象→ B

製品が機械 C からつくられたという事象→ C

製品が不良品であるという事象→ E

A, B, C → _原因

E → _結果

事前確率

機械 A がつくる製品数の割合→ P(A)

機械 B がつくる製品数の割合→ P(B)

機械 C がつくる製品数の割合→ P(C)

事前確率

P(A), P(B), P(C) は事前に分かっているものとする

尤度（ゆうど）

A が不良品を出す確率 P(E|A)

B が不良品を出す確率 P(E|B)

C が不良品を出す確率 P(E|C)

これらも既知とする。

知りたいこと

お店で製品を買ったとして、それが不良品だったと

する。それがどの機械で作られたものか ?

P(A|E): 不良品が機械 A で作られている確率

P(B|E): 不良品が機械 B で作られている確率

P(C|E): 不良品が機械 C で作られている確率

P(A|E) _{を求めてみましょう}

事後確率

ベイズの定理

乗法定理より、

P(A) P(E|A) =P(A∩E)= P(E) P(A|E)

P(E)

A)

|

P(A)P(E

E)

|

P(A 

ところで、 P(E) は ?

P(E)

A)

|

P(A)P(E

E)

|

P(A ^

排反（はいはん）

事象 A と B が同時におこらないとき , A

と B は互いに排反であるという

A∩B=   A _{と B は互いに排反}

例

サイコロを振るとき、 A を偶数目、 B を 3 の

目とすると、 A と B は互いに排反

和事象

（ A カップ B ）

http://ja.wikipedia.org

A _{または B}

A B _∪

確率の公理

A

, A

, A

, ・・・が互いに排反であ

るとき、

P(A

_∪ A

A _∪

_{∪ ・・・ ) =}

P(A

)+P(A

)+P( A

)+ _・・・

例：サイコロ振り

偶数の目が出るという事象 A

^{: P (A}

^)=3/6

３の目が出るという事象 A

^{: P (A}

^)=1/6

偶数か 3 の目がでるという事象 A

^{∪ A}

^:

P(A

∪ A

)=4/6

P(E) _{を求めましょう}

製品が不良品であるという事象を E

とすると、 A∩E 、 B∩E 、 C∩E 、

の各事象は互いに背反

E=(A∩E) (B∩E) (C∩E) ∪ ∪

確率の公理から、

P(E)=P(A∩E)+ P(B∩E)+P(C∩E)

乗法定理より、

P(A∩E)= P(A) P(E|A)

P(B∩E)= P(B) P(E|A)

P(B∩E)= P(C) P(E|A)

であるから、

P(E) = P(A) P(B|A)+ P(B) P(E|B)

+ P(C) P(E|C)

どの機械が原因？

お店で製品を買ったとして、それが不良品だっ

たとき、それが、機械 A でつくらている確率、

P(A|E) _は、

E)

|

P(A

C)

|

P(C)P(E

B)

|

P(B)P(E

A)

|

P(A)P(E

A)

|

P(A)P(E



 

P(E)

A)

|

P(A)P(E

