資料置場 コマの物理から素粒子のスピン

剛体の力学

こまの運動の理解にむけて 剛体の運動方程式 オイラーの運動方程式

剛体の力学

コマをうまく立たせるには？

→　どうして？

フリスピーをうまく飛ばすには？

→　では、どうしてうまく飛ぶのだろう？

剛体の力学

そんな事を考えて、なにかいいことあるか？

ジャイロスコープ？

いったいそれはなんだ？

剛体とは

剛体

物体中の任意の２点の距離が常に一定のもの

外部からどのような力が加わろうとも全く変形しないもの

“オリハルコン”?

そんなものは現実には存在しないのだが、、、、、、、

“コマ”は剛体か？

無理矢理外力を加えれば変形する。

でもコマの運動を考える時には “剛体” として考えても問題ない

想定している環境下で、外力による変形を “無視” できるもの 場合によっては軟式テニスボールだって剛体。

剛体の運動

質点の運動を記述するためには、質点の「位置」を決めればよい。 座標 自由度

1次元運動 x 1個

2次元運動 x, y 2個 ３次元運動 _{x, y, z 3個}

r

では剛体の運動を記述するのに必要な『自由度』は？

剛体の運動の自由度：　剛体の位置

物体中の任意の２点間の距離は常に一定 基準の点を１点決めれば、

物体中の任意の点は表現できる 剛体の位置は、任意の一つの点

例えば 重心

剛体の運動の自由度：　並進運動

並進運動

物体の各点が同じ方向に移動する

剛体中のある一点の運動を考えればよい

質点の運動と見なすために重点の移動を考える

剛体の運動の自由度：　回転運動

回転運動

物体のある点を中心に回転する

剛体中のある一点のまわりの運動を考える 重点まわりの回転を考える

平面内だと回転角は一つ ３次元だと、例えば、

それぞれの軸まわりの３つの回転

回転運動といっても

３つの軸それぞれの周りでの回転を考える

となかなか難しいので、剛体の重心を通る「回転軸」を決め、 その軸周りの回転を考えるようにする。

（直交座標系を考えるとすると、例えばz軸を回転軸と考えて、

ｚ軸を傾けるのに必要な２つの角度 θ、λ。それからｚ軸まわりの角度φ）



 

自由度は　３個

剛体の運動における自由度

並進運動＝重心の移動 _{r= } ^x _y

z _

回転運動:　３つの自由度

合計６個の自由度を持つ

 ,  , 

剛体の運動方程式

重心の方程式は、質点の運動方程式と等しい。 今は並進運動を考えずに、回転運動のみを考える。

（剛体の１点がどこかに固定されている場合） 固定点を O とする。

剛体を

剛体を構成する質量 m_i の質点の固まり と考える。

固定点 O からの距離は変化しないので、 質点の運動は

m _i

r _i

F  _i

O

d L _i

dt ^{=r i × F  i}

と考える事ができる。

 L _i = _{r i ×p i} =m _{i r i ×v i}

剛体の運動方程式

∑

i

d ^ L _i

dt ^{= ∑} _i ^{r i ×  F i}

剛体を構成するすべての質点について足し上げると、

∑

i

d  L _i

dt ^{= ∑} _i ^{N  i}

N 

= _r

× F ^

˙L = N ^{ N  =} _∑

i

N 

 L = _∑

i

L

m _i

r _i

F  _i

O

（微少部分の固定点に対する 外力によるモーメントの和）

剛体の運動方程式：　剛体を固定しない場合

重心 O を回転の中心と取ると

m _i

r _i

F  _i

O  _R

重心の運動方程式

M ^d

2 _

R

dt ^{2 = ∑ i}

F  _i

∑

i

m

= M

∑

i

m

_r

=0

重心周りの回転

∑

i

d ^ L _i

dt ^{= ∑} _i ^{r i ×  F i}

結果を先に書いてしまうと

の独立した二つの微分方程式で記述できる

重心

m

r

F 

O  _R

O '

r

重心とは

重力中心 質量平均

 R=

∑

i

m

r

∑

i

m

⁼

1

M ^∑

^m

^r

'

_∑

i

m

= M

剛体の固定点を O とすると、

_{M  R= ∑}

i

m

_ ^ R _r

_ = M  R _∑

i

m

_r

∑

i

m _{i r i} =0

重心から見た、「剛体の重心」は原点ということ。 当然といえば当然の結果。

剛体の運動方程式の導出

原点 O' を剛体の外にとり、

剛体内の固定点 O の位置ベクトルを R とする。

剛体内の微少部分の位置ベクトルは 固定点を基準に、 ベクトル r であらわす。

微少部分

位置ベクトル 運動方程式

r

=  Rr

m

_ ¨R _¨r

_ = F

全体では

_∑

i

m

_ ¨R _¨r

_ = _∑

i

F

 ^∑

^m

 ^{¨R ∑}

^m

^¨r

^{= ∑}

^F

重心 O を回転の中心と取ると 重心 O を回転の中心と取ると

∑

i

m

= M _∑

i

m

=0

∑

i

m

=0

M ¨ R= _∑

i

F _i

すべての外力を合成した力が作用している場合と同じ

m

r

F 

O  _R

O '

r

剛体の運動方程式の続き

m

r

F 

O  _R

O '

r

˙L

=r

^× F

微少部分の原点まわりの回転を考える

 ^{ R r}

 ^{× F}

˙L

= ^d

dt ^{   Rr}

^{ ×  m}

^˙Rm

^˙r

^{ }

 R× _ M ¨ ^ R _  _∑

i

˙L

= R×  F  _∑

i

r

^{×  F}

˙L

= ^d

dt ^{ m}

^{ R× ˙ R R×  m}

^˙r

^{   m}

^r

^{ × ˙ Rr}

^{×  m}

^˙r

^{ }

˙L

= ^d

dt ^{   Rr}

^{ ×  m}

^˙Rm

^˙r

^{ }

重心にOを取ると

∑

i

m

=0 _∑

i

m

=0

˙L

d

dt ^{  R× ˙ R  = ˙ R× ˙ R R× ¨ R}

重心に O をとって、微少部分について足し上げると、

^{M =} _∑

i

m

F = ^ _∑

i

F_i

M ¨ R=  F

∑

i

˙L _i = _∑

i

r _i ^{× F } _i

原点周りの運動=重心の運動方程式 剛体の回転は、重心の運動と切り離し、 重心まわりの回転を考えれば良い

剛体の運動方程式のまとめ

重心の運動方程式 重心の運動方程式

M ¨ R=  F

重心周りの回転 重心周りの回転

∑

i

˙L

= _∑

i

r

^{× F }

m

r

F 

O

 R

O '

重心周りの回転運動と 重心の運動に分解できる。

モーメントを使って書き直すと

˙L = N ^

剛体の（重心まわりの）角運動量の時間的変化は 剛体にかかる重心まわりのモーメントの和に等しい

剛体の回転運動とモーメント

m

r

F 

O

 R

O '

˙L = N ^

N 

= _r

× F ^

N  = _∑

i

N 

N  = _{∫ r× } F dV

角速度ベクトルの導入

剛体 剛体の中の任意の２点間の距離がつねに一定 つまり重心まわりの回転を考える場合、

「回転座標に固定されている質点の運動」に等しい

質点の角速度ベクトル ω_i を導入する

^v _i ^{=   × r} _i

 L = _∑

i

L _i = _∑

i

r _i ^{× m} _i r _i ^

 L = _∑

i

m _{i r i} ×  _ × _{r i} 

 L = _{ ∑}

i

m _{i ∣ r i ∣} ² _  _ − _∑

i

m _{i r i  r i} ⋅  _{ }

A×^B×C^=^B^A⋅C^−C^ A⋅^B

角運動量ベクトルと角速度ベクトル

 L = _{ ∑}

i

m _{i ∣ r i ∣} ² _  _ − _∑

i

m _{i r i  r i} ⋅  _{ }

この項が存在すると、角運動量と 角速度は平行でなくなる。

※平面内での質点の運動

位置ベクトルはつねに角速度と垂直

※　平面内での質点の運動 L = m r² ω = m r v = rp

慣性テンソル・角速度・角運動量

r

_{r⋅}  = _∑

k =x , y , z

r



r

= _∑

k

 r

r



r r⋅ = _

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

_{ }







_

 L = _{ ∑}

i

m _{i ∣ r}

_∣ ² _ − _{ ∑}

i

m _{i r}

_{ r}

⋅  _{ }

r_xr⋅^=

_ r

r

r

r

r

r

_{ }







_

∣ ^r ∣

⁼ _

∣ r ∣

0 0

0 _∣ r _∣

0

0 0 ∣ r ∣

_

 L = ^I  

I

_{= ∑}

i ^{m i}  ^{∣ r i ∣ 2  kl −r ik r jl} 

慣性テンソル

慣性モーメント・慣性乗積

 L = ^I  

I

_{= ∑}

i ^{m i}  ^{∣ r i ∣ 2  kl −r ik r jl} 

慣性テンソル

k = l の場合

慣性モーメント

k ≠ l の場合

慣性乗積

I

_{= ∑}

i ^{m i  r l}

2 r _m ² _

I

_{=− ∑}

i ^{m i r k r l}

I _{= ∑}

i

m

_

y

 z

−xy −xz

− yx x

z

− yz

−zx −zy x

 y

_

成分で書き出してみると

慣性モーメント

I _{= ∑}

i

m

_

y

 z

−x

y

−x

z

−y

x

x

z

− y

z

−z

x

−z

y

x

 y

_

r

m

 

i ^{の質点 m}i の回転運動を考える。 質点の角運動量の大きさは

L _i =m _i r _i ² 

角速度ベクトルを x, y, z の軸まわりの回転で考えて、 それぞれの（軸への距離の自乗）×（質量）を独立に考えた ものが　　　　　　　慣性モーメント

慣性テンソルとはなんぞや？

 L = ^I  

I

_{= ∑}

i ^{m i}  ^{∣ r i ∣ 2  kl −r ik r jl} 

m

r

F 

O

 R

O '

微少部分の質量 微少部分の位置に関係

剛体中での質量分布

剛体の形状 に関係する量

あくまで、剛体中の固定点に対する量　　→　固定点が変化すれば慣性テンソルも変化 剛体中の固定点周りの慣性テンソル I が分かっている剛体があったとき、

固定点を中心に角速度ベクトル ω で剛体を回転させると 剛体は固定点を中心として角運動量 L をもって回転する。

固定点に対し角運動量 L で運動している剛体は、その慣性テンソルを ^I とすると、 固定点周りに、角速度ベクトル ω をもって運動する。

剛体の角運動量は外力によるモーメントできまるので、

_{˙L = N }

I

_{= ∑}

i ^{m i}  ^{∣ r i ∣ 2  kl −r ik r jl} 

r _i

m _i = dV

I

_{= ∫ dV   ∣ r i ∣} ² _{ kl −r ik r jl }

I _{= }

∫ ^{ y 2 z 2  dV −} ∫ ^{ xy dV −} ∫ ^{ xz dV}

− _∫  yx dV _∫  x ² z ² dV − _∫  yz dV

− _∫  zx dV − _∫  zy dV _∫   x ²  y ²  dV _

慣性テンソルの積分表示

剛体の微少部分の質量は、 その体積と密度の積

（密度は剛体内で変化してもよい）

慣性テンソルのいろいろ

z

r

 

回転軸（ z 軸）に固定されている半径　r₀^の円柱



 = _

0

0



_

角速度ベクトルは z 軸と平行

I _{=  }

I

I

I

I

I

I

I

I

I

_{ }

0

0



_

= _

I



I



I



_

剛体がｚ軸まわり以外には回転しない場合は I_zz のみを考える

慣性テンソル　（慣性モーメントの計算）

z

r

 

m

= dV

I

_{= ∫}

0 r₀

 r

dV

dV =dz dr  r d 

dz

d 

r d 

dr

I

_{= ∫}

0 2

d  _∫

0 z₀

dz _∫

0 r₀

dr  r

2  z

^{ r}

4 半径 r₀ 高さ z₀ の円柱の体積は

4

V = π r₀² z₀

密度をρ（一定）とすると、質量は

m = π r₀² z₀ ρ

^I

⁼

m r

2

ρは一定とする

剛体の運動方程式と慣性テンソル

N  = ˙L

N  = ^d

dt ^{ I   }

もし回転軸に対する慣性テンソルが分かっているのであれば、

外力によるモーメントによって、回転軸まわりの角速度の変化量が分かる

回転軸に固定された　円盤・円柱　の回転運動

z

r

 

m

r

z

^{F }

I

₌ ^mr

2

N

= I _zz ^{d }

2

dt

回転軸と垂直に、円柱側面に沿って外力 F を作用させる 外力によるモーメントは N_z = r₀ F

角速度の時間変化は

 ˙

= ^N

I _zz ⁼

2 F

mr ₀

角速度の変化

大きな力 大

重い物体 小

半径の大きな物体 小

回転軸に固定されていない剛体の運動：　固定点のある剛体

固定点

例

_{N  =} ^{d L}

dt ⁼

d

dt ^{ I   }

運動方程式

固定点まわりの『外力のモーメント』 _N 固定点まわりの『角運動量』 _L 固定点まわりの『慣性テンソル』 I 固定点まわりの『角速度ベクトル』 _ω

コマの動きを見てみると、軸周りの回転に加えて、軸自体が回転している 角速度ベクトルが時間とともに変動

角速度ベクトルが２成分を持つ

固定点まわりで回転しているので、回転と共に　『慣性テンソル』　が変化する。

  =  _{ 1}   _{ 2}

計算の煩雑さを避けるために、

『剛体に固定された座標系』 を使って考える。

空間に固定された座標系で

慣性テンソルを計算する事が原因

慣性主軸

y

x

z

固定点 O を原点とする (x, y, z) 座標軸をとる

この軸に対する『慣性テンソル』が分かっているとする

OX方向を向いた基本ベクトル

_{n= }





 _

 _i

r _i

r

⁼ _

x

y

z

_

OX

i⁼

_∣

_∣

cos 

= ^n⋅r

∣  ⁿ ∣ _∣ r

_∣

l

= _{∣ r}

_∣

sin



l

= _{∣ r}

_∣

_ 1 − ^{n⋅ r}

^

2

∣ ^{r }

∣

_

l

= _{∣ r}

_∣

_{−n⋅r}



慣性主軸　つづき

l

= _{∣ r}

_∣

_{−n⋅r}



_{n= } ^



 _

r

⁼ _

x

y

z

_







=1

l

= x

 y

 z

− x

 y

 z



l

= x

 y

z







− x

 y

 z



l

= y

z



 z

 x

 

 x

 y



−2   x

y

−2  y

z

−2 z

x

I

= _∑

i

^m

^l

I

=

_∑

i

^m

^{ y}

2

z



_∑

i

^m

^{ z}

2

 x



_∑

i

^m

^{ x}

2

 y



I

= −2  _∑

i

^m

^x

^y

^{−2  ∑}

^m

^x

^z

^{−2  ∑}

^m

^y

^z

I

=

I



I

 I

2  I

2  I

2   I

この式の意味する事はなんだろうか？

慣性主軸

I

=

I



I

 I

2  I

2  I

2   I

I

=1

I

 '

 I

'

I

'

=1

は楕円面を構成する 適当な回転により

となる座標系を選択できる。（３次元は難しいので２次元の楕円で考えるとよい） この楕円面で構成される　楕円体の主軸を　　『慣性主軸』　という。

慣性主軸に対し 慣性乗積＝０ となる。

剛体には、慣性乗積が０となるような、剛体に固定された座標系が必ず存在する。

回転体の場合、　慣性主軸は　回転軸と、それに垂直な任意の相直交する２軸

楕円：　２次元の場合

I



I



2 I

 =1

2次元で見てみると

I



I



2 I

 =1



  '

'

楕円を回転したもの

I

 '

 I

'

=1

 ^{1 /}  ^{' I}



^  ^{1 /}  ^{' I}



⁼¹

軸を適当にとる事で、

軸に対して傾きのない楕円をとるように出来る。

これは３次元でも同じ

回転体の慣性主軸

回転体の場合、　慣性主軸は　 回転軸と、

それに垂直な任意の相直交する２軸

慣性乗積を考える必要がなくなる

コマの運動

コマのような『回転対称』な物体の場合、 対称軸を座標軸の一つにとる。

→ 『慣性乗積が０』

→ 回転軸に対して『慣性モーメント』は時間に対して一定

コマに固定されている系から見た回転を考え

→ 空間に固定されている系からはどの様にみえるか 考える。

『回転座標系での慣性力の問題』

→ 平面内ではなくて、3次元空間での問題

回転座標系で見た質点の運動のまとめ

 x

y

x '

y '

r

˙=

 

˙r' =R  _[ − ×r  ˙r _]

¨r' =R  _[ −

r −2  × ˙r  ¨r _]

r ' =R r

F ' =R   _[ −m

r −2 m  × ˙r   F _]

コリオリの力

˙A ˙A − × _ A

静止座標系の任意のベクトル A を回転座標系でみる

˙A ˙A  × _ A

回転座標系の任意ベクトル A を静止座標系でみる

みかけの成分

剛体に固定した系での運動方程式

˙A ˙A ×A

˙L ˙L ×L

角運動量の時間微分

N  = ˙L   _ × ^ L

慣性主軸（剛体に固定した座標）からみた慣性モーメントは時間によらず一定

N  = ^I  ˙    × ^ L

剛体上からみた 角運動量の変化

剛体の回転によって生じる みかけの成分

剛体の運動方程式：　オイラーの運動方程式

N  = ^I  ˙    × ^ L

I _{= }

I

0 0

0 I

0

0 0 I

_

成分毎に書き下すと

N _x = I _xx  _{˙ x}  I _zz − I _yy   _z  _y

N _y = I _yy  _{˙ y}  I _xx − I _zz   _x  _z

N _z = I _zz  _{˙ z}  I _yy − I _xx   _y  _x

オイラーの運動方程式

固定点を持つ剛体の、慣性主軸まわりの回転運動を記述する方程式