分散分析 (ANOVA) 2
一元配置分散分析 (One-way ANOVA) 2
繰り返しなし 2
オプション 4
事後検定 6
繰り返しあり 7
オプション 9
事後検定 10
多元配置分散分析 (Multi-way ANOVA) 11
繰り返しなし 12
オプション 13
事後検定 15
交互作用プロット 18
繰り返しあり（2 要因混合デザイン） 18
事後検定 20
繰り返しあり（2 要因） 22
事後検定 24
分散分析 (ANOVA)
一元配置分散分析 (One-way ANOVA)
MacR で一元配置の分散分析 (ANOVA) を行うには、メニューの Stats ➜ Mean Comparison
➜ One-way ANOVA を選びます。
ANOVA には、t 検定と同じように、異なる被験者からのサンプルと、同じ被験者から のサンプルの平均を比較する際に、これらを区別します。t 検定では、対応あり・なしと いう用語が使われますが、ANOVA では、それぞれ、繰り返しあり・なしという用語が使 われます。
MacR では、ANOVA の分析に、理化学研究所の井関先生が開発している Anova 君を利 用します。2013 年 12 月の時点では、4.4.0 が最新版ですが、MacR での利用の際に少し問 題があるため、解決できるまで 4.3.3 を利用します。R で Anova 君を使いたい場合や、機 能を細かく知りたい場合は、井関先生のサイト (http://riseki.php.xdomain.jp/index.php? ANOVA%E5%90%9B) を参照してください。
繰り返しなし
繰り返しがない場合、つまり、異なる被験者で構成されるグループの平均を比べる場合 は、データの入力は、t 検定の対応のないデータと同様に、グループ分けを示す変数と、 被験者それぞれの点数の変数を別々の列に入力し、グループ分けの変数を Categorical にし ます。
ウィンドウが表示されると、他のツールと同様に、左側に読み込んだデータの変数リス トが表示されるので、被験者の得点の変数を Dependent Var に、グループ分けの変数を Factor に移動させます。デフォルトでは、Anova 君を使った分析の結果が Anova 君の標準 の出力で表示されます。デフォルトのウィンドウサイズでは表の途中で改行が入り見づら くなるため、ウィンドウの幅を広げるなどしてください。
分析の際のオプションは、箱ひげ図の描画 (Box Plots)、Anova 君を分析に使うかどう か、また、Anova 君の標準出力をそのまま表示するかどうか (Anova-kun format)、繰り返 しかどうか (Repeated) を選択します。ここでは、繰り返しなしなので、Repeated のチェッ クは外したままにします。
Anova 君の標準の出力は、次のようになります。おそらく、Anova 君が想定している Windows の標準出力画面と MacR（および Mac の R 出力の画面）では、タブの幅が違う ことから、横線の部分の長さが長過ぎる表示となっています。
オプション
Anova 君を使う際は、いくつかの細かな設定ができるようになっています。ウィンドウ 下の Options ボタンをクリックして、オプションドロワーを表示させて設定します。
オプションについては、ここでも簡単に説明しますが、細かなことは、井関先生のサイ トを参照してください。
Anova 君では、分析結果が有意だった際に自動で水準間に差があるかどうかの事後検定 を行いますが、標準では、Shaffer's Modified Sequentially Rejective Bonferroni Procedure とい う方法が用いられる設定になっています。t 検定を繰り返す場合は、通常、ボンフェロー ニの補正で検定の数だけ α レベルを調整をしますが（3 回検定を行う時は 0.05 / 3 = 0.017）、これでは厳格すぎて検出力が落ちるため、様々な補正が提案されています。 MacR では、Shaffer の方法を標準としていますが、Holm の方法もオプションで選べるよ うにしてあります。
等分散のテスト (Homogeneity of Variance Tests) は、標準では、算術平均 (Mean) を使った レーベンの検定 (Levene’s Test) を行いますが、中央値 (Median) を使ったブラウン・フォー サイスの検定 (Browne-Forsythe test) を選ぶこともできます。現在のバージョンでは、これ らの選択は排他的になっています。計算は、R の car パッケージに含まれる leveneTest を 使っているため、Anova 君の標準出力には表示されません。
効果量は、標準では偏イータ二乗 (partial η2) が提示されますが、それ以外にもオメガ二 乗 (ω2) などを追加できます。それぞれの効果量についての詳しいことは、井関先生のサイ トを参照してください。(http://riseki.php.xdomain.jp/index.php?ANOVA%E5%90%9B
%2FANOVA%E5%90%9B%E3%81%AE%E4%BD%BF%E3%81%84%E6%96%B9)。
Anova-kun format のオプションを外すと、Anova 君の出力を整形した結果が表示されま す。テーブル左上の Table # をクリックすると、他のツールと同様に、テーブルの結果がタ ブ区切りのテキストとしてコピーされます。
等分散のテストは、レーベンの検定 (leveneTest) の他にバートレットの検定 (bartlett.test) の結果も出ます。サンプルサイズ（セルサイズ）が小さくて、等分散が満たされない時 は、If HV is not assumed の所に出ている検定の結果を参照してください。この結果は R の oneway.test で出た結果を利用しています。
Anova 君を使わないオプションでは、R の lm の結果を anova で処理しています。効果量 に関しては、標準的な計算式を元に処理しています。MacR では、基本的には Anova 君を 利用し、Anova 君を使わない結果は検証などに利用してください。
事後検定
事後検定は、Anova 君を使う場合、ANOVA の結果が有意だった場合のみ表示されま す。また、α の調整は、オプションで指定した方法になります。ここでの、adj.p は、調整 後の p 値で、ボンフェローニの方法では、α の値を検定の数で割って小さくしますが、p の値に調整した値を掛けて α = .05 で判断できる値になっています。つまり、adj.p の値が 設定した α 以下であるかで有意かどうかを判断します。ただし、t 検定を含めて検定はサ ンプルサイズの影響を受けるので、効果量もチェックする必要があります。
Anova 君のフォーマットを使わない場合は、独自に効果量 d と r の値を算出し、結果の 表に表示します。計算式に関しては、「ハンドブック」を参照してください。
Anova 君を使わない場合は、ANOVA の結果に関わらず事後検定の結果が表示されま す。当然ですが、ANOVA で有意な結果が出なかった場合は無視してください。検定は、 テューキー (Tukey) の多重検定の結果と、ボンフェローニおよびホルムの方法で補正した 結果（ともに α = .05 で判断できる値に調整）が出ます。テューキーの検定は R の
TukeyHSD に aov の結果を利用して計算しています。Pairwise comparison(s) の方は pairwise.t.test で出た結果を利用しています。効果量は、Cohen’s d のみ表示されます。
繰り返しあり
繰り返しがある場合、つまり、同じ被験者の複数の測定・評価の平均を比べる場合は、デ ータの入力は、t 検定の対応のあるデータと同様に、それぞれの測定の点数を被験者ごと に対応させて、異なる変数として別々の列に入力します。
ウィンドウでは、分析対象のすべての変数を Var List に移動させ、Repeated にチェック を入れて Run をクリックして実行します。
繰り返しありの ANOVA の場合は、等分散ではなく、変数間の点数の差の分散が等しい ことが前提であるので、球面性 (sphericity) のチェックをします。標準では、モークリー (Mauchly) の球面性検定の結果が表示され、球面性を満たしていない場合は、補正された ANOVA の結果が提示されます。
オプション
繰り返しありの場合は、繰り返しなしの場合と同様のオプションの他に、球面性の検定 (Sphericity test) のオプションとその結果に基づく自由度の調整 (df adjustments) の方法が選 択できます。
球面性に関しては、排他的になっていて、両方を選択した場合は、モークリーの検定が 行われます。どちらも選択しない場合は、Anova 君標準の Mendoza の多標本球面性検定が 実行されます。自由度の調整は、標準では自動で行われ、Greenhouse-Geisser の値が用い られますが、どちらかを指定する、あるいは、調整しないという選択もできます。
Anova-kun format のチェックを外すと、表を再構成した結果が表示されます。表左上の Table # のリンクをクリックすると表の結果がタブ区切りのテキストとしてコピーできま す。
Anova 君を使わない場合は、ez パッケージの ezanova を利用した結果が表示されます。 ez パッケージは読み込みに多少時間がかかるため、簡単な分析でも少し時間がかかりま す。効果量に関しては、計算式を元にして計算した値を出してあります。
事後検定
事後検定は繰り返しなしの場合と同様に、Anova 君の出力では、ANOVA の結果が有意 であった場合のみ実行され、対応ありの t 検定が行われているはずです。
Anova 君を使わない場合も、繰り返しなしの場合と同様ですが、Pairwise
comparison(s) では、pairwise.t.test で対応ありのオプションで計算しています。対応ありの 場合も、ANOVA の結果に関わらず事後検定の結果が表示されます。
多元配置分散分析 (Multi-way ANOVA)
MacR で二元配置以上の分散分析 (ANOVA) を行うには、メニューの Stats ➜ Mean Comparison ➜ Multi-way ANOVA を選びます。
繰り返しありの場合の設定は、一元配置の場合と少し異なるので注意してください。
繰り返しなし
2 要因以上のすべての要因で繰り返しがない場合、つまり、異なる被験者で構成される 2 要因以上の組み合わせごとのグループの平均の差を検定する場合、データの入力は、一元 配置の繰り返しなしのデータと同様に、グループ分けを示す 2 つ以上の変数と、被験者そ れぞれの点数の変数を別々の列に入力し、グループ分けの変数を Categorical にします。
そして、点数の変数が従属変数 (Dependent Variable) なので Dependent/Within に移動させ ます。グループ分けの変数は、被験者間変数なので、Between に移動させます。
右上のグラフオプションのボタンをクリックして現れたドロワーの Interaction Plot にチ ェックを入れると、interaction plot が生成されます。
Anova 君の標準出力を使う場合は、ウィンドウ上のオプションのチェックを 2 つとも入 れたままにしておきます。
Anova 君の標準の出力は、次のようになります。一元配置と同様に、Anova 君が想定し ている Windows の標準出力画面と MacR（および Mac の R 出力の画面）では、タブの幅 が違うことから、横線の部分の長さが長過ぎる表示となっています。また、ここでは、 Anova 君の標準出力には、等分散の検定は含まれないので、leveneTest を使ってレーベン の等分散検定を実行した結果を表示します。
オプション
Anova 君を使う際は、一限は位置の場合と同様にいくつかの細かな設定ができるよう になっています。ウィンドウ下の Options ボタンをクリックして、オプションドロワーを 表示させて設定します。
オプションは、一元配置の場合とほぼ同じなので、そちらを参照してください。
Anova-kun format のオプションを外すと、Anova 君の出力を整形した結果が表示されま す。テーブル左上の Table # をクリックすると、他のツールと同様に、テーブルの結果がタ ブ区切りのテキストとしてコピーされます。
Anova 君を使わない場合は、ez パッケージの ezanova を利用した結果が表示されます。 ez パッケージは読み込みに多少時間がかかるため、簡単な分析でも少し時間がかかりま す。効果量に関しては、計算式を元にして計算した値を出してあります。
事後検定
事後検定は、Anova 君を使う場合、ANOVA の結果が有意だった場合のみ表示されま す。要因の効果が有意であった場合、その要因の水準間の多重検定の結果が出ます。ただ し、例のように、相互作用の効果が有意であった場合は、要因ごとに有意であっても解釈 する意味はないので、多重検定の結果は無視して、相互作用の単純主効果を見ます。
単純主効果は、二元配置の場合は、それぞれの要因の水準ごとに、もう一方の要因の水 準間に差があるかを分散分析で検定します。三元配置以上の場合には、もう少し複雑にな ります。ここで、要因の影響が有意であった場合、水準が 3 つ以上であれば、引き続き、 多重検定の結果が表示されます。
ここでも、一元配置の場合と同様に、多重検定における α の調整は、オプションで指定 した方法になり、adj.p の値が設定した α 以下であるかで有意かどうかを判断します。た だし、t 検定を含めて検定はサンプルサイズの影響を受けるので、効果量もチェックする 必要があります。
Anova-kun format のオプションを外した場合は、一元配置の場合と同様に、多重比較の t 検定で効果量が出ます。
Anova 君のオプションを外した場合は、単純主効果および多重比較の検定は、オプショ ンにチェックを入れた場合のみ行われます。ただし、この機能は、検証が十分でなく、3 要因以上では動作しない可能性があります。
交互作用プロット
Interaction plot のオプションにチェックを入れると、簡単な交互作用プロットが描画され ます。もう少し、細かな設定がしたい場合は、Descriptive Statistics のグラフ描画機能を使 ってください。
繰り返しあり（2 要因混合デザイン）
2 要因の要因のうち、一つで繰り返しがある場合、つまり、一つの要因で、水準ごとの被 験者が同じ場合、データの入力は、一元配置の繰り返しありのデータと同様に、繰り返し のある要因の各水準を一つの変数としてデータを入力します。繰り返しのない要因は、グ ループ分けを示す変数として、グループの割当を入力します。そして、変数のタイプを Categorical にします。
グループ分けの変数は Between に、繰り返しのある要因（被験者内要因）の各水準の変 数は、Dependent/Within に移動します。そして、被験者内要因の変数の構造を Within Structure に入力します。被験者内要因は一つで、その水準が 3 つあるので、ここでは、
「3」と入力します。Anova 君の標準の出力では、Between 要因が A、Within 要因が B と記 述されますが、Anova-kun format を使わないことで。被験者内要因にラベルを追加するこ とができます。グラフオプションのボタンをクリックして、下の Within Var Labels にラベ ルを入力します、ここでは 1 つだけなので、Time と入れておきます。
結果の出力は、Anova-kun format のオプションを外した、Anova 君の結果を整理したも のを見ていきます（もちろん、Anova 君標準の出力も出せます）。
繰り返しがあるので、通常は Mauchly の球面性の検定を行いますが、 Mauchly のオプシ ョンを外すと、Anova 君標準の Mendoza の多標本球面性検定が実行されます。この他にも Harris の検定も選べます。
検定の結果、Time の影響が有意ですが、Method x Time の交互作用の影響が有意なの で、事後検定をすることになります。
事後検定
ANOVA の検定の結果で有意な要因があれば、事後検定が実行されます。この例では、 交互作用の影響が有意であるので、Time の多重検定は無視します。
交互作用が有意なので、単純主効果を見ます。この分析では繰り返しありなので、球面 性の検定の結果も出力されます。
ここで、b2 (Post) の時の Method と Method == 1 の時の Time の影響が有意であるという 結果が出ました。Method は水準が 2 つしかないので、2 つのメソッドに差があるします が、Time には 3 つの水準があるので、多重比較が行われます。
交互作用プロット
これで、Method == 1 の時は 3 回のテストの点数に差があることが分かります。これ は、交互作用プロットで確認できます（2 の方のグラフは Time の並びが逆）。
繰り返しあり（2 要因）
2 要因の両方で繰り返しがある場合、つまり、一つのグループが 2 つの要因のすべての水 準の組み合わせのテストを受ける場合などは、データの入力は、繰り返しのある要因の各 水準を一つの変数としてデータを入力します。ここで扱う例では、要因 A と要因 B でそれ ぞれ 2 水準 (Type A, Type B)と 3 水準 (Pre, Post, Delayed) あります。データは langtest.jp か ら拝借しました。データは、Type A の Pre, Post, Delayed、続いて Type B の Pre, Post, Delayed の順に変数を並べます。
これらはすべて被験者内要因なので、Dependent/Within に移動させます。Within Structure は、一つ目の要因が 2 水準で、それぞれの下に二つ目の要因の 3 水準があるという並びな ので、2,3（もしくは 2-3）と入力します。グラフオプションボタンをクリックして、交互 作用プロットと、それぞれの要因のラベルも指定しておきます。
これで Anova-kun format のチェックを外して実行してみます。
球面性の検定の結果と、ANOVA 表です。交互作用の影響が有意であることが分かりま す。そこで、単純主効果の検定結果が出力されるので見てみます。
事後検定
交互作用プロットを見ても、Type のすべての水準で Time の差はありそうで、Time の 2 番目と 3 番目の水準でもType に差がありそうです。
実際に事後検定の結果を見てみると、3 水準ある Time の影響も有意なので、多重比較 の結果が出力されていますが、交互作用が有意なので無視します。
単純主効果を見ると、Time == 1 の時の Type による影響以外は有意であることが分かり ました。さらに、Time は 3 水準あるので多重比較の結果が出ます。
Type のそれぞれで、Time のグループ間の差はすべて統計的に有意という結果が出まし た。
