数学
IB
レポート解答例（
10/17
出題分）
1 全てのx, y, z∈R n
に対して，三角不等式
d(x, y) +d(y, z)≥d(x, z) (1)
が成り立つことを示す．ここで，d(x, y) :=∥x−y∥2（∥ · ∥2は通常のユークリッドノルム）である．(1)にお いてu=x−y, v=y−zと置くと結局，
∥u∥2+∥v∥2≥ ∥u+v∥2 (2)
を示せば良いことが分かる．以下，∥ · ∥2を∥ · ∥と略記する．
(左辺)2−(右辺)2=∥u∥2+ 2∥u∥2∥v∥2+∥v∥2−(∥u∥2+ 2u·v+∥v∥2) = 2(∥u∥2∥v∥2− ∥u∥2∥v∥2cosθ)
= 2∥u∥2∥v∥2(1−cosθ)
≥0.
不等式(2)の両辺は0以上であるため，結局(2)が成り立ち，従って当初の(1)が成り立つ．ここで，uとv
のなす角度をθ (0≤θ≤π)と置いた．
2 二変数関数
f(x, y) =
x2−y2
x2+y2 (x, y)̸= (0,0) 0 (x, y) = (0,0)
が原点(0,0)で連続でないことを示す．
点(x, y)が点(0,0)にどのような経路で近づいてもf(x, y)→0となるとき，関数fは点(0,0)で連続であ
る．従って今の場合，ある特殊な経路ではf(x, y)→0とならないことを示せば良い．
点(x, y)がy= 2xという関係を保ったまま（つまり直線y= 2xに沿って）点(0,0)に近づくとする．x̸= 0 として，
f(x, y) = x2−(2x)2
x2+ (2x)2 =− 3 5 ̸= 0
である．よって，f は(0,0)で連続でないことが分かる．
