No.2 物理 II 演習 月 日 2– 科 番 / 名前 点
ポイント１：力や電場を考えるとき，「加害者」と「被害者」の違いに注意する．
=⇒ 電場： 「加害者」=電場を作る人（電荷）， 「被害者」＝電場が生じる位置（空間上の点）
=⇒ 力： 「加害者」=力を及ぼす人（被害者の位置の電場）， 「被害者」＝力を受ける人（電荷） ポイント２：図示するとき，ベクトルの始点は「被害者」にとる．
1 （電場の考え方）空間上の点Aの位置に点電荷q1 が置かれ，点Bの位置にq2 が置かれているとき，次の それぞれの場合に対して「被害者」と「加害者」を答えよ（ポイント１参照）．位置と電荷を区別して答えよ．
(1) Bの位置に Aの点電荷（q1）が作る電場を考える． (2) Bの点電荷によって点A に生じる電場を考える．
(3) Bの点電荷によって生じる電場が A の点電荷に及ぼす力を考える．
(4) Bの点電荷によって生じる電場から Aの点電荷が受ける力を考える．
2 （電場と力） 以下の問いに答えよ．ただし，クーロンの法則の比例定数はk とする． (1) 3C の電荷が電場から15 N の力を受けているとき，電場の強さはいくらか．
(2) (1, 2)に置いた点電荷 −3 Cに(6, 0) N の静電気力が働くとき，その場所における電場はいくらか． (3) ある場所に点電荷をおくと6 Nの静電気力が働いていた．その点電荷を電気量が 2 Cだけ大きいものに
変えると 9 Nの静電気力が働いた．このとき，点電荷の場所における電場の強さは いくらか． (4) 点電荷が電場から3 N の力を受けている．電場の強さを3倍にすると力はいくらになるか． 3 （電場の計算：公式と合成）A(1, 0) の位置に点電荷 q1（> 0） [C]が置かれ，B(−1, 0) の位置に q2
（> q1） [C]が置かれているとき，次の各問いに答えよ．ただし，クーロン力の比例定数は k0 とする．
また，図は小問毎にかくこと．
(1) Bの位置（被害者）にA の点電荷（加害者）が作る電場E⃗1 を図示せよ．また，ベクトルE⃗1 の成分表 示と大きさ E⃗1
を求めよ．
(2) A の点電荷が作る電場（加害者）がBの点電荷（被害者）に及ぼす力F⃗1 を図示せよ．また，ベクトル F⃗1 の成分表示と大きさ
F⃗1
を求めよ．
(3) Bの点電荷（加害者）によって A の位置（被害者）に生じる電場E⃗2 を図示せよ．また，ベクトル E⃗2
の成分表示と大きさ E⃗2 を求めよ．
(4) A の点電荷がBの点電荷から受ける力 F⃗2 を図示し，ベクトルF⃗2 の成分表示と大きさ F⃗2 を求めよ． (5) 原点(0, 0) にA の点電荷が作る電場E⃗3 を図示し，E⃗3 の成分表示と大きさ E⃗3 を求めよ．
(6) Bの点電荷によって原点 (0, 0) に生じる電場 E⃗4 を図示し，E⃗4 の成分表示と大きさ E⃗4
を求めよ． (7) 原点(0, 0) に生じる電場 E⃗0 の成分表示と大きさ E⃗0
を求めよ． (8) C (0,√3)の位置に生じる電場E⃗C の成分表示と大きさ E⃗C
を求めよ．
4 （電気力線） 空欄（A，B，· · ·） を正しく埋めよ．ただし，クーロンの法則の比例定数はk とする． (1) 電気力線の始点は A または B で，終点は C または D である．
(2) 電気力線の接線は E を表し，電気力線の F は電場の強さに対応している．
(3) 電荷 q [C]を持つ帯電体から出る電気力線の総数は G である．（入ってくる本数は負の数で考える） (4) 電荷 −3 Cを持つ帯電体から出る電気力線の総数は H である．（入ってくる本数は負の数で考える） 5 （ガウスの法則） 真空中で，電荷が半径 r [m] の球面上に一様に分布しており，その電気量が全体で
Q[C]であるとき，次の問い答えよ．ただし，クーロンの法則の比例定数は k0 とする．
(1) 球から出ていく電気力線の総本数を求めよ．ただし，入ってくる本数は負の数で表すとする (2) 球の中心から距離R [m]（R > r） だけ離れた位置での電気力線の密度を求めよ．
(3) 上の結果を使って，球の中心から距離R [m]（R > r） だけ離れた位置での電場を求めよ． (4) 球の中心から距離d[m] （d < r） だけ離れた位置での電場を求めよ．
————————— 解答 1 ————————— (1) 被害者=B の位置（点B），加害者=Aの電荷 (2) 被害者=A の位置（点A），加害者=B の電荷 (3) 被害者=Aの電荷，加害者=Aの位置における電場 (4) 被害者=Aの電荷，加害者=Aの位置における電場
※問題(3)，(4) の加害者となる電場は，被害者と同じ 位置における電場であることに注意．
————————— 解答 2 —————————
(1) F = qE の関係より，5 N/C (2) (−2, 0) N/C (3) 32 N/C
(4) F = qE の関係により力も3倍になるので，9 N/C
————————— 解答 3 —————————
B A
60°
x
y
単位ベクトルE2
E1 60°
60°
E3 EC
u→BA
１
→a
60° 60°
→
b
60°
a cos 60° a sin 60°
→a
Aが作る 電場
E4
Bが作る 電場
（注意）実際の力の向きは矢印と逆になることもある．そ の場合は，電場の大きさの式に実際の数値を入れると負 になるだけである．数値を入れるまでは，とりあえずこ の向きにとっておけばよい．
(1) A から B に向かう単位ベクトルを ⃗uBA とする
と，⃗uBA = (−1, 0)．点電荷の作る電場の公式より， E⃗1 = k0
q1
r2⃗uBA． 成分表示：E⃗1= k0
q1
22(−1, 0) = (
−k0q41,0 )． 大きさ： E⃗1
=k0
q1
4 ．
(2) 点電荷が電場から受ける力の公式より，F⃗1= q2E⃗1．
前問の結果から， 成分表示：F⃗1 =(−k0
q1q2
4 ,0 )． 大きさ： F⃗1 =k0q1q2
4 ．
(3) B から A に向かう単位ベクトルを ⃗uAB とする と，⃗uAB = (1, 0)．点電荷の作る電場の公式より， E⃗2 = k0
q2
r2⃗uAB． 成分表示：E⃗2= k0
q2
4(1, 0) = (
k0
q2
4,0 ) 大きさ： E⃗2 =k0q2
4 ．
(4) 点電荷が電場から受ける力の公式より，F⃗2= q1E⃗2．
前問の結果から， 成分表示：F⃗2 =(k0
q1q2
4 ,0 )． 大きさ： F⃗2
=k0
q1q2
4 ．
(5) 成分表示：E⃗3 = (−k0q1,0)． 大きさ： E⃗3
=k0q1． (6) 成分表示：E⃗4 = (k0q2,0)．
大きさ： E⃗4
=k0q2．
(7) 成分表示：E⃗0 = (k0(q2− q1) , 0)． 大きさ： E⃗0
=k0(q2− q1)．
(8) Aから Cに向かう単位ベクトルを⃗a，BからC に 向かう単位ベクトルを⃗bとすると，その成分表示は，
⃗a= (− cosπ3,sinπ3) = (−12,√32 )
⃗b = (cosπ3,sinπ3) = (12,√32 )
となる．q1 がC の位置に作る電場は E⃗CA= k0
q1
4⃗a．
q2 がC の位置に作る電場は E⃗CB= k0
q2
4⃗b. これらを合成して， E⃗C=
( k0
q2− q1
8 ,
√3k0
q2+ q1
8 )
．
E⃗C
=
k0
4
√
q12+ q22+ q1q2．
—————————解答 4 —————————
(1) A: 正電荷，B:無限遠，C: 負電荷，D: 無限遠 (2) E: 電場の方向（向き）F: 密度
(3) H: 4πkq （比例定数kに注意）
(4) I: −12πk （符号と比例定数kに注意）
—————————解答 5 —————————
(1) 球を囲むような閉曲面を考えると，その内部の電 荷の量は Qである．したがって，その閉曲面を貫 いて出ていく電気力線の数は，ガウスの法則より， N = 4πk0Q本．閉曲面を変形して球面に近づけて いっても内部の電気量はQクーロンのまま変わらな いから，電気力線の本数も変わらず，N = 4πk0Q 本である．
(2) 前問の答より，球面の外側での電気力線の本数は N = 4πk0Q本．この電気力線は球から出ていくの で球対称に広がっている．球対称なので，中心から距 離Rの位置では，どこでも電気力線の密度は同じで ある．半径Rの球を考えると球の面積はS= 4πR2． 総本数を面積で割って，密度が N
S = k0Q
R2 と求まる． (3) 電場と電気力線との関係より，電場の強さは電気力
線の密度に等しい．よって，E = k0Q R2
(4) 考えるのは球の内部の点である．半径dの球を考え ると，全ての電荷はこの小球の外側にあり，この小 球面内部の電荷はゼロである．よって，この小球面 に対してガウスの法則を適用するとN = 0．した がって，電場は E = 4πdN2 = 0．
