E in MeExam2010 最近の更新履歴 物理学ノート E in MeExam2010

力学演習

✎問題にない量や記号を用いるときは定義すること。

✎解答用紙は，たて長に用いる。全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入し，表だけに解答を記述する。 (100^点満点)

問題^1. 全質量_M の気球が加速度_αで降下している。質量_mの砂袋を捨てることで，加速度_βで上昇する ようにしたい。気球の浮力_Fが一定と仮定して以下の問いに答えよ。₍₂₀点₎

1-1.砂袋を捨てる前と後の運度の様子が分かるように図を描け。 1-2.砂袋を捨てる前と後の運動方程式を書け。

1-3.運動方程式から，捨てるべき砂袋の質量_mを求めよ。

問題^2. ばねの一端を固定し他端に質量_mの質点をつけ，ばねの振動方向が水平になるように配置する。ばね が伸びる方向を_x軸に，質点のつり合いの位置を原点に選ぶ。質点の座標が_xのとき質点に働く力を_{f = −cx} とし，この力のほかに質点に働く力は無いとする。₍₂₅点₎

2-1.質点がつり合いの位置からずれたときに働く力を図示せよ。 2-2.運動方程式を書け。

2-3.運動方程式の一般解を求めよ。 2-4.周期_Tを求めよ。

2-5.初期条件を各自で指定し，そのときの解を求めよ。

問題3. 次の保存力についてポテンシャル_U を計算し，それを用いて力学的エネルギー求めよ。₍₁₅点₎ 3-1.重力_{Fz= −mg = −}

dU(z)

dz 。ポテンシャルの基準点として_{U(0) = 0}とする。 3-2.単振動 _{Fx= −cx = −}

dU(x)

dx 。ポテンシャルの基準点として_{U(0) = 0}とする。 3-3._{万有引力 F}

r= −G^{M m} r^{2 = −}

dU(r)

dr 。ポテンシャルの基準点として_{U(∞) = 0}とする。 問題4. 質量_mの質点の位置ベクトルを_r，働く力を力_F として以下の問いに答えよ。₍₂₀点₎

4-1._{質点の角運動量lの時間微分を求めよ。}

4-2.この質点に働く力が中心力の場合，角運動量_lが保存することを示せ。

4-3._{角運動量l}が保存するなら，質点の運動が₁つの平面内で行われることを示せ。

✎座標系のz軸を角運動量_lと同じ向きに選び，l_x= ly = 0, lz̸= 0^からz= 0^を導く。 4-4.前問と同じ状況で，面積速度

dS

dt ^{をh:= xvy− yvx}で表せ。この結果より面積速度一定の法則が成り 立つことを示せ。

O _P(t)

P(t+dt) dS

2

以下の問題から大問を ₁ つ選択して答えよ。

問題5. ばね定数_cのばねの一端を固定し他端に質量_mの質点をつけ，水平方向にばねを振動させる。この質 点に速度_vに比例する抵抗力_{f = −2kmv}が働く場合を考える。以下，ばねの重さは無視する。

5-1.ばねの伸びる方向を_x軸とし，質点がつり合いの位置からずれたときに働く力を図示せよ。 5-2._{kの次元を求めよ。}

5-3.固有角振動数（抵抗力が働かない場合の角振動数）を_Ωとして運動方程式を書け。

5-4._{抵抗が比較的小さいk < ω}の場合，減衰振動となることを示せ。初期条件は_{x(0) = A}，_{˙x = 0}とせよ。 5-5.この減衰振動の周期_Tを求めよ。

問題^6. 質量_mの質点について，以下の手順で力学的エネルギー保存則を導け。

6-1.直線上の運動で，質点には保存力かどうか分からない力_F が働いている。運動方程式

m^d2x

dt^{2 = Fx (1)}

の両辺でそれぞれ_vdtと_dxとの積をとった後，それを時間で積分し，運動エネルギーの変化を力が行った仕 事を用いて表せ。境界条件は_{x(t1) =: x1}，_{x(t2) =: x2}，および_{v(t1) =: v1}，_{v(t2) =: v2}とする。

6-2.前問で力が保存力すなわち_{Fx= −} dU(x)

dx で与えられる場合，力が行った仕事_W が途中の径路に依 らず両端の座標_{x1, x2}だけで決まることを示せ。

6-3.以上の結果を用いて力学的エネルギー保存則を導け。 6-4.同じことを₃次元の場合に拡張せよ。

問題7. 次の手順に従い，ケプラーの法則から惑星に働く太陽の引力_f(r)の形を f(r) = −^{GM m}

r^{2 er}

と決定せよ。ここで，_Gは万有引力定数，_M は太陽の質量，_mは惑星の質量であり，太陽を原点とする₂次 元極座標_{(r, ϕ)}を用いて惑星の位置を表す。

✎楕円の性質に関する証明は不要。簡潔な説明を添えて用いてよい。

7-1.惑星に働く太陽の力が中心力すなわち_f(r) = f (r)er^{となることを示せ。}

7-2._{この力の成分f(r)がf(r) = −}^mh

2

lr^{2 と書けることを示せ。}

✎楕円の極座標表示_{r(ϕ) =} l

1 + ε cos ϕ ^{を用いてよい。} 7-3.上式の

h²

l が太陽系内の全ての惑星に共通な定数であることを示せ。 7-4.さらにこの定数が太陽の質量_M に比例することを示せ。