~ )rot

rot(  

₀



_e

 

₀ (4.16)

e

 t

 

 A

J 

(4.17)

こ こ で ， は 磁 気 抵 抗 率 ，J0は 強 制 電 流 密 度 ，Jeは 渦 電 流 密 度 ，0 は 真 空 の 磁 気 抵 抗 率 ，Mは永 久磁 石 の磁化 ，は 導電 率 であ る。

半 周 期 性 を も つAに 強 制 電 流 や 永 久 磁 石 の 磁 化 な ど に よ っ て 直 流 分 が 重 畳 さ れ て い て も ，(4.17)式 に 示 す よ う にAの 時 間 微 分 で 表 さ れ るJeは 直 流 分 が 除 去 さ れ ，Jeに は 次 式 に 示す 半 周期 性が 成 り立 つ こと に なる 。

) 2 / ( )

( t

_e

t T

e 

J 

J (at steady state)

(4.18)

こ こ で，tは 時 間，TはJeの 周 期で あ る。

そ こで ，Jeに 対 して 簡易TP-EEC法 を 適 用 するこ と がで き ると 考え ら れる 。この とき ， 定 常 解に 近 い渦 電流 密 度

J ~

_e

は 次 式で 計 算さ れる 。

2

) 2 / ( ) (

~

_e

t

_e

t T

e



 J  J

J

(4.19)

J ~

e

，J0，Mに よ って 生 成さ れ る磁 界 の基 礎方 程 式を 解 くこ と で ，定 常解 に近 い 磁気 ベ ク トル ポ テン シャ ル

A ~

が 得 ら れる 。

M J

J

A ~ rot

~ ) rot

rot(  

₀



_e

 

₀ (4.20)

以 降， 本 手法 を半 周 期性 の 簡易TP-EEC-DC法 と 呼 ぶ 。 ４ ． ５． ２ 一 周 期性 の 簡易 TP-EEC-DC法

上 述し た 半周 期性 の 簡易TP-EEC-DC法 は ，時 間周 期 的な 交 流磁 界に 直 流分 が 重畳 し た 線 形磁 界 解析 に適 用 でき る 。

非 線 形 性 磁 界 解 析 で は ，Jeが 歪 み ，Jeに 奇 数 次 数 成 分 だ け で な く ， 偶 数 次 数 成 分 が 現 れ る 。Jeに 奇数 次 数成分 だ けが 含 まれ る場 合 は図4.1(a)に示 すよ う にJeの 半 周期 性 が 満 た され る が ，Jeに 偶数次 数 成分 が 含ま れる と 図4.1(b)に示 す よう にJeの半 周 期性 が 満 た さ れ ず ， 上 述 し た 渦 電 流 の 半 周 期 性 を 利 用 し た 簡 易TP-EEC-DC法 は 適 用 で き な い 。

偶 数 次 数 成 分 の 磁 界 を 含 ん だ 電 磁 界 解 析 に 適 用 す る た め に ， 次 式 に 示 すAの 一 周 期 性 を 利用 し た簡 易TP-EEC法 も 提 案 され て いる⁽²⁵⁾。

- 44 - (i) fundamental and second-

order component (ii) synthesized waveform

(i) fundamental and third-

order component (ii) synthesized waveform



_t^{t T}



m

j j

i ^

d







 



¹

^{0 ( ) 0}

0



 A

A  (at steady state)

(4.21)

た だ し，mは 一 周期 の時間 ス テッ プ 数，tは 時間，Tは 周 期 であ る。

直 流 磁界 が 含ま れる 場 合で は，(4.21)式 が成 り立た ず，Aの 一 周期 性 を利用 し た従 来 の 簡 易TP-EEC法 は 適 用で き ない 。

そ こ で，一周 期 性を 利用し た 簡易TP-EEC法 を 直流 磁 界が 含 まれ る場 合 でも 適 用で き る よ うに ， 渦電 流の 一 周期 性 を利 用 した 簡易TP-EEC-DC法 を 提 案 する 。

定 常 状態 に おい てJeは 次式 に 示す よ うに 一周 期 性が 満 たさ れ る。

 

_t^{t T} e



m

j j i

e ^

d







 



¹

^{0 ( ) 0}

0



 J

J 

(at steady state)

(4.22)

Jeの 一 周 期 性 を 利 用 す る こ と で 従 来 のAの 一 周 期 性 を 利 用 し た 簡 易TP-EEC法 の よ う にJeを 次式 で 補正 する こと が でき る 。



^













1

0

, 1

~

^m

j j i e i

e

e

J p p m J

J

... (4.23)

(4.23)式 で 計 算し た

J ~

_e

を(4.20)式 の 磁 界 の 基礎 方 程式 を 磁 気 抵 抗 率の非 線形 性 を 考 慮 し て解 く こと で，非線形 解 析に お いて も，定常解 に 近い ベ クト ルポ テ ンシ ャ ル

A ~

が 得 ら れる 。

以 降 ，本 手 法を 一周 期 性の 簡 易TP-EEC-DC法 と 呼 ぶ 。

-1 0 1

0 90 180 270 360

electrical angle (deg.)

-2 -1 0 1 2

0 90 180 270 360

e l e c t r i c a l a n g l e ( d e g . ) (a) waveform with half cycle periodicity of Je

-1 0 1

0 90 180 270 360

electrical angle (deg.)

-2 -1 0 1 2

0 90 180 270 360

e l e c t r i c a l a n g l e ( d e g . )

(b) waveform without half cycle periodicity of Je

Fig. 4.1 Several-order waveforms.

second-order component fundamental

component

third-order component

Je(A/m2 ) fundamental

component

Je(A/m2 ) Je(A/m2 )

Je(A/m2 )

- 45 - ４ ． ６ 結 言

本 章で は ，時 間ス テ ップ の ルー プ の高 速化 の ため に ，回 転 機や 直流 分 が含 ん だ電 磁 界 解 析に も 適用 出来 る 過渡 収 束改 善 法を 提案 し ，そ の 手法 に つい て述 べ た。 以 下， 本 章 で 得ら れ た成 果を 要 約す る 。

(4) 簡 易TP-EEC法 で は ， 解析 対 象 の時 定 数が 電 源周 期Tに 対 して 長 いと 補正 に よ って 誤 差 が 減少 す る。 一方 ，時 定 数が 周 期Tに 対 し て短 い と きに 簡 易TP-EEC法 に よ る 補 正 を行 う と， 誤差 が 増え て しま う 。

(5) 同 期 電 動機 では ， 固定 子側 の み に電 源周 波 数の 半周 期 毎 に簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 を 行う が ，回 転子 側 には 簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 を行 わ ない 。

(6) 誘 導 電 動機 では 固 定子 側に は 電 源周 波数 の 半周 期毎 に 簡 易TP-EEC法 に よ る 補 正を 行 い ，回 転 子側 には す べり 周 波数 の 半周 期毎 に 簡易TP-EEC法 に よ る 補正を 行 う。

(7) 磁 界 に 直 流 分 を 含 む 電 気 機 器 の 解 析 に は ， 簡 易TP-EEC-DC法 を 用 い る こ と で ， 過 渡 の 収 束 性 改 善 で き る 。 磁 界 に 奇 数 次 数 成 分 の み が 含 ま れ る 線 形 磁 界 解 析 の 場 合 は 半 周 期 性 の 簡 易TP-EEC-DC法 を ， 磁 界 に 偶 数 次 数 成 分 が 含 ま れ る 場 合 や 非 線 形 磁 界 解 析 の 場 合 に は 一 周 期 性 の 簡 易TP-EEC-DC法 を 用 い る こ と で ， 過 渡 の 収 束 性 を 改 善で き る。

- 46 -

第 ５ 章 簡 易TP-EEC法 を用 い た三 次 元 電 磁界 解 析 へ の 適用 例

５ ． １ 緒 言

本 章 で は ， 第4.4節 で 提 案 し た 回 転 機 解 析 の た め の 簡 易TP-EEC法 の 適 用 法 を 埋 込 磁 石 構 造形 同 期電 動機 と 誘導 電 動機 に 適用 し， 提 案手 法 の有 用 性を 明ら か にす る 。さ ら に ，第4.5節 で提 案し た 簡易TP-EEC-DC法 を 渦 電 流場 数 値計 算 技術 調査 専 門委 員 会で 提 案 さ れて い る三 次元 渦 電流 解 析検 証 用標 準ベ ン チマ ー クモ デ ルの 線形 磁 界解 析 およ び シ ー ル ド 板 付 きC形 コ ア の 非 線 形 磁 界 解 析 に 適 用 し ， 簡 易TP-EEC-DC法 の 有 用 性 を 明 ら か にす る 。

５ ． ２ 回 転機 への 簡 易 TP-EEC法 の 適用⁽²⁴⁾

５ ． ２． １ 埋 込構 造 永久 磁 石同 期 電動 機へ の 適用

図5.1に 埋 込磁 石形 同期 電 動機 の 解析 モデ ル を示 す 。永久 磁石 中 の渦 電流 損 低減 の た め ，永 久 磁石 が軸 方 向に8分 割 され てい る。永久磁 石 の導 電 率は694,444S/mと す る 。解 析 領 域は モ デル の周 期 性な ら びに 対 称性 によ り ，周 方 向に1/3領 域，軸方向 に1/16（永 久 磁 石1枚 の1/2領 域 に 相 当 ） 領 域 の 全 領 域 の1/48領 域 と す る 。 図5.2に 三次 元 分 割 図 を 示 す。回 転子 鉄心 と 固定子 鉄 心に は 図5.3に示 すB-H曲 線（50H470）を用 いて 非 線形 性 を 考 慮 す る 。 コ イ ル の 結 線 方 法 はY結 線 で あ り ， コ イ ル に は 三 相 正 弦 波 電 圧 を 印 加 し て い る。 表5.1に 解析 条件 を 示す 。

簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 は，固 定子 側 のみ に電 源 周波 数 の半 周期 で ある 電 気角180°

ご と に行 う 。

図4.1 解 析 モデ ル Fig. 5.1 IPM motor.

stator core coil

permanent magnet

rotor core z

x y

- 47 -

Fig. 5.2 3-D finite element mesh.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000 H (A/m)

B (T)

50H470

Fig. 5.3 B-H curve.

Table 5.1 Analysis conditions.

Rotation speed (rpm) 935

Frequency of power supply (Hz) 46.75

Frequency of coil current (Hz) 35

Number of coil turn 7

Time interval of electrical angle (deg.) 3

z

x y

- 48 -

図5.4に 電 流波 形を 示す 。ただ し，値は 定常 状態 の 電流 実 効値 で正 規 化し て ある 。簡 易TP-EEC法 に よ る 補正を 行 うと ，１回 目の 補 正（ 電 気角183°）を行 った直 後 に誤 差 が 取 り 除か れ ，電 流値 が 定常 解 に近 づ いて いる 。

図5.5に ト ル ク 波 形 を 示 す 。 た だ し ， 値 は 定 常 状 態 の 平 均 ト ル ク で 正 規 化 し て あ る 。 簡 易TP-EEC法 に よ る補正 を 行 う と ，１ 回目 の 補正（ 電気 角183°）を 行った 直 後に 誤 差 が 取 り除 か れ ，トル クも定 常 解に 近 づい てい る。さ ら に，２回 目 の補 正（電 気 角363°）

で 残 った 誤 差が 取り 除 かれ ， トル ク はほ ぼ定 常 解に 達 して い る 。

図5.6に ト ル ク 波 形 に お け る そ の 瞬 時 値 と 定 常 解 と の 誤 差 を 示 す 。 簡 易TP-EEC法 に よ る 補正 を 行う たび に 誤差 が 減少 し てい るこ と がわ か る。

表5.2に 解 析諸 元を 示す 。表 中 の定 常解 に 達する ま でに 必 要な ステ ッ プ数 は，ト ルク 波 形 に お け る 瞬 時 値 と 定 常 解 と の 誤 差 が1%未 満 と な る ま で に 要 し た ス テ ッ プ 数 と し た 。簡易TP-EEC法 に よる 補 正を 行 うこ とで ，定常 解 に達 す るま でに 必 要な ス テッ プ 数 が ， 補 正 を 行 っ て い な い 場 合 の 約1/11に 減 少 し ， 計 算 時 間 が 短 縮 で き る 。 ま た ， 簡 易 TP-EEC法 を 用 い た場 合の 必 要 メモ リ は簡 易TP-EEC用 い な い 場 合 の約117%と な っ て い る 。

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160 2,520 2,880 electrical angle (deg.)

current value (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method

Fig. 5.4 Current waveform.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160 2,520 2,880 electrical angle (deg.)

torque (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method

Fig. 5.5 Torque waveforms.

- 49 - 1.E-06

1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01

0 360 720 1,080 1,440

electrical angle (deg.)

error of torque (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method

Fig. 5.6 Errors of torque.

Table 5.2 Discretization data and CPU time.

Without simplified TP-EEC method With simplified TP-EEC method

Number of elemets 134,064

Number of nodes 28,270

Number of edges 174,041

Number of unkowns 143,035

Memory (MB) 144 168

Required time steps

for steady states 1397 124

CPU time (min.) 2903.4 259.1

Computer used: Intel Core2 Duo (3.16GHz) PC 10

1 10^-1 10^-2 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6

- 50 - ５ ． ２． ２ 誘 導電 動 機へ の 適用

図5.7に 誘 導 電 動 機 の 解 析 モ デ ル を 示 す 。 軸 方 向 に1層 積 み 上 げ た 簡 易 モ デ ル で 提 案 手 法 の有 用 性を 検証 す る。 渦 電流 は 二次 導体 中 のみ に 流れ る もの とし た 。一 次 コイ ル は 独 立し た 三相 回路 で 表現 さ れて お り，正 弦 波電圧 が 印加 さ れて いる 。図5.8に 三次 元 分 割 図を 示 す。表5.3に解析 条 件を 示 す。誘 導 電動機 で はす べ りが 異な る と回 転 子側 の 磁 界 の周 期 が変 わり ，簡易TP-EEC法 の 補 正 の効果 が 異な る と考 えら れ るた め ，す べり 1.0と0.1の ２ 通り で解 析を 行 う。

簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 は ，固定 子側 に は電源 周 波数 の 半周 期（ 電気角180°）毎 に，

回 転 子側 に はす べり 周 波数 の 半周 期（す べ り1.0では 電 気角180°，すべ り0.1で は 電気 角 1800°） 毎に そ れぞ れ 簡易TP-EEC法 に よ る 補正を 行 う 。

Fig. 5.7 Analysis model.

Fig. 5.8 3-D finite element mesh.

Table 5.3 Analysis condition.

Frequency of coil current (Hz) 35 Conductivity of secondary conductor (S/m) 31,388,000

Slip 1.0, 0.1

x y

z

rotor core stator core

primary coil

secondary conductor

shaft

x y

z

- 51 -

図5.9に 一 次電 流波 形を 示 す。ただ し，値は 定常 状 態の 一 次電 流の 実 効値 で それ ぞ れ 正 規 化し て ある 。固 定 子側 の みに 簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 を行 うと ，どの す べり に お い て も定 常 解へ の収 束 が早 く なる 。ま た ，回 転子側 に も簡 易TP-EEC法 によ る 補正 を 行 う と ， す べ り1.0で は 定 常 解 へ の 収 束 が さ ら に 早 く な る こ と が わ か る 。 す べ り0.1で は 図5.9(b)に 示 すよ うに ，回 転 子側 に 補正 を行 っ た電 気 角1,800°で 誤差 が増え て いる 。こ れ は ，誘導 電動 機 の二 次電 流 の時 定 数が すべ り0.1の 場 合の 回転 子 側の 磁界 の 周期 に 対 し て 小さ い から だと 考 えら れ る。

-2 -1 0 1 2

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

electrical angle (deg.)

current (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method in stator

simplified TP-EEC method in rotor and stator

(a) slip 1.0

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

electrical angle (deg.)

current (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method in stator

simplified TP-EEC method in rotor and stator

(b) slip 0.1

Fig. 5.9 Primary current waveform.

- 52 -

図5.10に ト ル ク 波 形 を 示 す 。 た だ し ， 値 は 定 常 状 態 の 平 均 ト ル ク の 値 で 正 規 化 し て あ る。ト ルク 波形 を みても 一 次電 流 波形 と同 様 に，すべ り1.0で は固 定 子側と 回 転子 側 に 簡 易TP-EEC法 に よ る補 正 を行 う と最 も定 常 解へ の 収束 が 早く なる 。また ，す べり0.1 で は 固 定 子 側 の み に 簡 易TP-EEC法 に よ る 補 正 を 行 う と 最 も 定 常 解 へ の 収 束 が 早 く な る 。

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

electrical angle (deg.)

torque (p.u)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method in stator

simplified TP-EEC method in rotor and stator

(a) slip 1.0

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

0 360 720 1,080 1,440 1,800 2,160

electrical angle (deg.)

torque (p.u.)

without simplified TP-EEC method simplified TP-EEC method in stator

simplified TP-EEC method in rotor and stator

(b) slip 0.1

Fig. 5.10 Torque waveform.

ドキュメント内 有限要素法を用いた三次元電磁界解析の高速化に関する研究 (ページ 54-85)