Speeded-Up Robust Features (SURF) Detector

図2.10: SIFTのオリエンテーション算出．







gx(p) =L(x+ 1, y; ˆσ)−L(x−1, y; ˆσ) gy(p) =L(x, y+ 1; ˆσ)−L(x, y−1; ˆσ)

(2.38)

スケール領域における勾配強度m(p)と勾配方向o(p)から，重み付き勾配ヒストグラムhist(o^′)を 次式より求める．

hist(o^′) =∑

x

∑

y

g(ˆσ)∗m(p)·δ[o^′, o(p)] (2.39)

hist(o^′)は勾配方向を36方向に量子化したヒストグラムであり，キーポイントのスケールσˆのガウス 関数g(ˆσ)により重み付けした勾配強度を投票する．ガウス関数による重み付けにより，キーポイン トに近い勾配強度に大きな重みが与えられる．δ[·]はKroneckerのデルタ関数であり，勾配方向o(p) を量子化した際に，量子化勾配方向o^′に該当する場合に1を返す．この重み付き勾配方向ヒストグ ラムの最大値(ピーク)から80%以上となる勾配方向のビンを全てキーポイントのオリエンテーショ ンθˆとして割り当てる．よって，コーナーのような位置から検出されたキーポイントには2方向以 上のオリエンテーションが割り当てられる．特徴量記述の際には，各方向に対してそれぞれ特徴量 が記述される．さらに，SIFTでは勾配方向ヒストグラムに対して2次関数の多項式フィッティング を適用することで，オリエンテーションを連続値として算出する．この処理により，正確なオリエン テーションの算出が可能となる．

図2.11: Boxフィルタによる2次微分ガウシアンフィルタの近似．

■BoxフィルタによるHessianの近似

SURFによるキーポイント検出では，Hessian-Laplaceの処理に基づいてキーポイントを検出する．

しかし，Hessian-Laplaceではスケールスペースにおいて2次微分ガウシアンフィルタを畳み込んで 極値を検出するため計算コストが高くなる．そこで，SURFは2次微分ガウシアンフィルタをシン プルなBoxフィルタで近似させることで，キーポイント検出の処理を高速化させている．Boxフィ ルタは積分画像と組み合わせることで，高速にフィルタリングすることが可能となる．図2.11に示 すように，2次微分ガウシアンフィルタgxx，gyy，gxyをBoxフィルタBxx，Byy，Bxyで近似する ことができる．Boxフィルタによって計算される画像の2次微分をそれぞれI^xx(p;σ)，I^yy(p;σ)，

I^xy(p;σ)とするとき，近似Hessian行列H^apxは次式のように計算できる．

H^apx =





I^xx(p;σ) I^xy(p;σ) I^xy(p;σ) I^yy(p;σ)



 (2.40)

Ixx(p;σ) = Bxx(σ)∗I(p)≈gxx(σ)∗I(p) (2.41) Iyy(p;σ) = Byy(σ)∗I(p)≈gyy(σ)∗I(p) (2.42) Ixy(p;σ) = Bxy(σ)∗I(p)≈gxy(σ)∗I(p) (2.43)

Boxフィルタにおけるスケールσはフィルタサイズをσに応じて変化させる．例えば，ガウシアン フィルタのスケールがσ={1.2,2.0,2.8,3.6}と変化する場合，Boxフィルタのサイズは{9×9,15× 15,21×21,27×27}のように変化する．

Hessianによるキーポイント検出と同様に，近似Hessian行列Hapxの行列式det(Hapx)を計算す ることでキーポイントのスコアを求める．

det(H^apx) =I^xx(p;σ)· I^yy(p;σ)−(0.9· I^xy(p;σ))² (2.44)

図2.12: Boxフィルタを利用した極値探索．

ここで，I^xy(p;σ)に0.9の重み付けがされているが，これは行列式det(H^apx)をバランスよく釣り 合わせるための相対的な重み係数である．2次微分ガウシアンフィルタgxx，gxyにより計算した2 次微分画像をIxx，Ixyとすると，次式に示すような2次微分画像のフロベニウスノルムの関係が得 られる．

||Ixy(; 1.2)||^F· ||I^xx(; 9)||^F

||Ixx(; 1.2)||F· ||Ixy(; 9)||F

= 0.912· · · ≃0.9 (2.45)

フィルタの計算結果はサイズに関して正規化され，任意のフィルタサイズに対して一定のフロベニ ウスノルムが保証されるため重み係数を0.9と定めている．

■Boxフィルタのスケールスペースによる極値探索

SURFにおけるスケール推定はBoxフィルタのサイズを変化させることで，スケールスペースに おけるキーポイントスコア(近似Hessianの行列式)を計算する．図2.12に示すように，Boxフィル タによるスケールスペースでスコアを計算した後，SIFTと同様に26近傍のピクセルと比較して極値 を探索する．注目ピクセルが極値であった場合に，その位置の座標とBoxフィルタのサイズをキー ポイントとスケールとして検出する．

■ オリエンテーションの算出

SURFのオリエンテーション算出は，図2.13に示すようにキーポイントを中心とした6ˆσの領域 からx, y方向のHaar-wavelet (4ˆσ×4ˆσ)を計算する．ˆσはキーポイントのスケールである．計算され た6ˆσの領域内の輝度勾配をキーポイントを中心として^π₃ ずつ回転させながらx, y方向毎に総和を 求める．計算された輝度勾配の総和が最も大きい方向をキーポイントのオリエンテーションθˆとし て採用する．

図2.13: SURFのオリエンテーション算出．