XXZ 鎖

H = X

i

( σ

^x

i

σ

^x

i+1

+ σ

^y

i

σ

^y

i

+ ∆ σ

^z

i

σ

^z

i+1

) + X

i

h

_i

σ

^z

i

h

− 1 1 Δ

強磁性完全 TLL

不連続量子臨界点

(一種の)

h

i

= 0

に固定

Δ = − 1 (= Δ

^c

)

で

∆E ∼ L

⁻²

(有限サイズスケーリング)

z = 2

Δ = − 1+ ϵ

で

∆E ∼

√ ∆ + 1 L

⁻¹

ξ ≈ L

_{としてよいので} 一方で

∆E ∼ (∆ − ∆

^c

)

^zν

∆E ∼ (∆ − ∆

c

)

^1/2+ν

6

= 1 d + z

( )

_不一致！

ν = 1

2(z

− 1) = 1 2

臨界点に臨界線がつながっている場合の一般論

− 1 1 Δ

臨界線上で準粒子が  の分散を持つとする

| k |

^z0

これが

Δ → Δ

^c

+0

で

(∆ − ∆

^c

)

^µ

| k |

^z0 のように消えるとする

Δ → Δ

^c

+0

で基底エネルギー密度

ε

_g

(∆) ∼ ξ

^−(d+z0)

(∆ − ∆

_c

)

^µ これを

ε

_g

(∆) ∼ ξ

^−(d+z)とくらべる

(∆ − ∆

_c

) ξ

^(z−z0)/µ がスケール不変

1

ν = z − z

⁰

µ

とすると^{ν = 1/(d + z)} に戻る）

（

ν =

µ z − z

⁰

= 1

d + z

− z0

z⁰ = 0

であるべき µ = z − z⁰

d + z − z⁰

時間変化

∆(t) = − 1 − t/τ

_Q

− 1 1 Δ

修正された励起エネルギー密度のスケーリング

(臨界点まで) (Γ<Γ^cまで)

この式は不連続臨界点に臨界線がつながった場合に 一般的に成り立つ

今の場合

ε ∼ (

τ

⁻

3/4 Q

τ

⁻

1/4 Q

(臨界点まで) (Γ<Γ^cまで)

ν = 1

d + z

− z⁰

ε ∼







τ⁻(d+z)ν/(zν+1)

Q ∼ τ⁻(d+z)/(d+2z−z⁰) Q

τ^{−dν/(zν+1)}

Q ∼ τ^{−d/(d+2z−z}

0) Q

d = z

⁰

= 1 , z = 2

Γ = Γ

^cに固定 一様な磁場

h

エネルギーギャップ

∆ E ∼ | h |

基底エネルギー密度

ε

g

( h ) − ε

g

(0) = −| h |

この関係は

∆ E ∼ ξ

^−z

, ε

_g

(h) − ε

_g

(0) ∼ ξ

^−(d+z)と

合わない

スピンが完全偏極なため，  が消える

ξ

^−d

ν

H

= 1

z = 1 2

✓

6

= 1 d + z

◆

− 1 1 Δ

h

傾斜磁場

:

h

_i

= i/x

_Q

i = 0

近傍での長さスケール

ξ ˆ ∼ x

^ν_Q^H/(1+νH)

= x

^1/(1+z)_Q

= x

^1/3_Q 磁化の空間変化

hσ

_i^z

i = φ(i/ ξ ˆ ) = φ(i/x

¹_Q^/3

)

i

傾き 1/xQ

− 1 1 Δ h

h

i

まとめ

✦

不連続量子臨界点をまたぐ時間発展と空間変化に ついて，普遍的なスケーリング則を導いた。

✦ XXZ

模型は不連続量子臨界点に臨界線がつながっ ている。その場合に拡張されたスケーリング則を 導いて，数値計算で確かめた。

✓ 古典系でも不連続臨界点は出現しうる。古典系で スケーリング則を検証することが今後の課題。

量子アニーリング

我々の生活にとって重要な最適化問題の多くがラン ダム

Ising

模型によって表される

H = !

i

J

_i

S

_i

+ !

i,j

J

_ij

S

_i

S

_j

+ !

i,j,k

J

_ijk

S

_i

S

_j

S

_k

+ · · ·

cf.

スピングラス

H =

!

i,j

J

_ij

S

_i

S

_j

J

ij はランダム 基底状態？

2D class P

3D class NP -hard

J = +1 J = −1

エネルギー構造 ... 多数の極小と障壁があり複雑

spin configuration

ener gy

真の最小を見つけるのが困難

Kadowaki & Nishimori (’98)

spin config.

energy

E_g

QA

Hamiltonian

をゆっくり動かす

H ^begin H ^Ising

H

begin の基底状態

(

既知

)

H

Ising の基底状態

(

ターゲーット

)

断熱時間発展

量子アニーリング

Finnila et. al. (’94) Farhi et. al. (’98)

w

幅wの障壁

単位時間当たり のトンネル確率

exp[ − cw ]

c: 定数

H = H _Ising

− Γ !

i

σ _i ^x

断熱定理

^{Kato (’50)}

gs 1st

gs 1st

Hbegin H

Ising

H(t)

0 τ t

ΔE(t): H(t)

のエネルギーギャップ

|gs(t) ⟩ : H(t)

の基底状態

|ex(t) ⟩ : H(t)

の第

1

励起状態 条件

が満たされれば状態は断熱的に時間発展する

(Schrödinger

方程式に従って

)

|hex( t )|

^dH_dt^(t)

|gs( t )i|

∆ E ( t )

²

⌧ 1

量子アニーリングの実行

• ^{通常の ( 古典 ) 計算機}

量子モンテカルロ

H = H _Ising

− Γ !

i

σ _i ^x

H

^begin

Suzuki-Trotter 変換

量子アニーリングの実行

量子アニーリングは 古典アニーリングよ り速い

!

Martnak et. al. (’04)

Error

Monte Carlo time

巡回セールスマン問題 の結果

•

_{通常の(古典)計算機}

量子モンテカルロ

量子アニーリングの実行

•

^{量子計算機}

量子アニーリングは量子ビットを操作する量子計算機で 最も効率的に行われる

量子計算機の候補系

: -NMR

-

捕捉イオン

-

冷却原子

-

超伝導

(

磁束

,

電荷

)

量子

➔ D-wave

計算機

-

他

gs 1st

gs 1st

Hbegin H

Ising

H(t)

0 τ t

断熱条件

(

アニーリング速度

)

^-1

= τ =

計算時間

max

t

α ( t )

∆( t )

²

⌧ τ

min

t

[ Δ (t)]~N

^-aなら多項式時間

min

t

[ Δ (t)]~e

^-aNなら指数関数時間

エネルギーギャップのサイズスケーリング

|hex( t )|

^dH_dt^(t)

|gs( t )i|

∆( t )

²

⌧ 1

理論的な状況

エネルギーギャップのサイズスケーリング

...

不連続転移 ギャップは量子相転移点で閉じる

Γ

0

Γ

^c

Δ ~N

^-a

...

連続量子相転移

Δ ~e

^-aN

...

不連続量子相転移 具体的な模型：

p

体無限レンジ強磁性

Ising

模型 ランダムエネルギー模型

3-XORSAT

ドキュメント内 発表ファイル 数理物理・物性基礎論セミナー SeiSuzuki (ページ 32-47)