Shen の状態方程式

ルµ=∂F/∂nB|Ye,T として

P = P_ℓ =P_h = n_ℓF_h−n_hF_ℓ nh−nℓ

(4.89) µ = µ_ℓ=µ_h = F_h−F_ℓ

nh−nℓ

(4.90) を得る。他の熱力学量は

ˆ

µ = µ_e+n_h−n_B

n_h−n_ℓ(ˆµ_ℓ−µ_e,ℓ) + n_B−n_ℓ

n_h−n_ℓ(ˆµ_h−µ_e,h) (4.91)

µ_n = µ_ℓ+Y_e(ˆµ−µ_e) (4.92)

ns = n_h−n_B nh−nℓ

s_ℓn_ℓ+n_B−n_ℓ nh−nℓ

s_hn_h (4.93)

となる。以上の手順によって自由エネルギーを最小化するモデルパラメータから熱力学量を計算 するのが、Lattimer & Swestyの状態方程式である。

m mσ mω mρ gσ

938.0 511.19777 783.0 770.0 10.02892 g_ω g_ρ g₂ [fm⁻¹] g₃ c₃ 12.61394 4.63219 -7.23247 0.61833 71.30747

表4.2: LShen中の各種パラメータの表。g2を除き、全てのパラメータの値はMeV単位で与えた。

値はShen et al. (2011)から取っている。

するために導入した項である。g2,3、c3は中間子の自己結合定数である。各パラメータは原子核の 性質を再現するために表4.2のように与える。いま、この系に平均場近似を適用する。すなわち、

中間子の場に関しては古典的に扱い、時間的に一定、空間的に一様であるとする。すると、残る 非零成分はσ =⟨σ⟩ (右辺のσは場としてのσで左辺は平均値)、ω =⟨ω⁰⟩^、ρ=⟨ρ³⁰⟩^{となる。こ} れらを支配するEuler-Lagrange方程式は

σ = −g_σ

m²_σ⟨ψψ¯ ⟩ − 1

m²_σ(g₂σ²+g₃σ³) (4.98) ω = g_ω

m²_ω⟨ψγ¯ ⁰ψ⟩ − c₃

m²_ωω³ (4.99)

ρ = gρ

m²_ρ⟨ψτ¯ 3γ⁰ψ⟩ (4.100)

であり、核子のDirac方程式はt= p,nをアイソスピンを示す添字として {−iγ⁰γ_k∂^k+γ⁰(m+g_σσ) +g_ω+g_ρτ₃ρ

}

ψ_t^s=E_t^sψ_t^s (4.101) となる。ただし、sはエネルギー準位の添字でE_t^sは核子tのエネルギー準位sにおけるエネルギー 固有値である。核子tがあるエネルギー準位sを占める確率はFermi-Dirac分布

f_t^s= 1

1 + exp((√

k²+ (m+gσσ)²−µ⁰_t)/T) (4.102) で与えられる。ただしkは運動量でµ⁰_tは質量を含まない化学ポテンシャルである。反粒子を考え る場合は化学ポテンシャルの符号が変わる。ここで、化学ポテンシャルと核子tの数密度は

nt= 1 π²

∫ _∞

0

dkk²(f_t^k−f¯t^k) (4.103) で結び付けられる。ただし、エネルギー準位を表す添字sの代わりに運動量kを用い、核子tの反 粒子を¯tとした。いま、バリオン数密度n_B =n_p+n_n、陽子存在比Y_p=n_p/n_Bおよび温度T は 与えられたものとすると、そこから化学ポテンシャルがσの関数として決まり、以上の方程式を 自己無撞着に解くことができる。

以上からエネルギー固有値と平均場の値が求まると、種々の熱力学量を求めることができる。内 部エネルギー密度は

e = ∑

t

1 π²

∫ _∞

0

dkk²√

k²+ (M +gσσ)²(f_t^k+f_¯t^k) + 1

2m²_σσ²+ 1

3g₂σ³+1

4g₃σ⁴+1

2m²_ωω²+3

4c₃ω⁴+1

2m²_ρρ² (4.104)

であり、圧力は

P = ∑

t

1 3π²

∫ _∞

0

dkk² k²

√k²+ (M+gσσ)²(f_t^k+f_¯t^k)

− 1

2m²_σσ²−1

3g2σ³−1

4g3σ⁴+ 1

2m²_ωω²+ 1

4c3ω⁴+1

2m²_ρρ² (4.105) さらにエントロピー密度は

s=∑

t

1 π²

∫ _∞

0

dkk²

{−f_t^klnf_t^k−(1−f_t^k) ln(1−f_t^k)−f¯t^klnf¯t^k−(1−f¯t^k) ln(1−ft¯^k) } (4.106) と計算できる。

次に非一様核物質の場合を考える。ここでは、以下に示すモデルに従って自由エネルギーを計 算し、その停留点を探す。考えるモデルはLattimer & Swestyと同様に、核子とレプトンで満た された気体の中に一種類の代表的な重原子核が存在しているような状態である。ここでも、レプ トンは一様に分布する相互作用しない相対論的粒子として扱い、寄与は別にして考える。代表的 原子核は体心立方格子を構成し、格子あたりのバリオン数N_Bと平均的なバリオン数密度n_Bを用 いて格子の体積V_cと格子定数aをV_c =a³ =N_B/n_Bと定義する。ここで、体心立方格子を同体 積の球(Wigner-Seitzセル)とみなし、核子t= n,pの数密度分布n_t(r)を

n_t(r) =





(n_t,i−n_t,o) {

1−(

r Rt

)pt}3

+n_t,o, 0≤r < R_t nt,o, Rt≤r ≤Rc

(4.107)

と仮定する。ただしrはWigner-Seitzセルの中心からの距離でR_cはV_c= ^4π₃ R³_cから決める。n_t,i、 nt,oは核子tのセル中心および原子核外での密度で、Rtとptは原子核の大きさと表面の厚さを決 めるパラメータである。いま、バリオン数密度n_B、陽子存在比Y_p、温度Tを与えた状態でこの 状態の自由エネルギー密度

F = (E−T S)/a³ (4.108)

を計算する。ここで、E=E_bulk+E_s+E_Cと分解でき、

E_bulk =

∫

cell

d³re(nn(r), np(r)) (4.109) S =

∫

cell

d³rs(n_n(r), n_p(r)) (4.110) である。e(n_n, n_p)、s(n_n, n_p)は、相対論的平均場理論により一様物質の時にn_BとY_pすなわちn_n とnpを与えて計算した内部エネルギー密度、エントロピー密度である。表面項はすなわち密度勾 配がもつエネルギーなので、

Es=

∫

cell

d³rF0|∇(nn(r) +np(r))|² (4.111) として計算する。ただし、F0= 70 MeVfm⁵である。さらに、Coulombポテンシャルの項は

E_C= 1 2

∫

cell

d³re{n_p(r)−n_e}ϕ(r) +C_BCC(Z_none)²

a (4.112)

と計算できる。ここで、eは電子電荷でne=YpnBは一様に分布した電子の電荷、CBCC = 0.006562

状態方程式 Lattimer & Swesty Shen

Ks[MeV] 375 220 180 281

中性子星最大質量 [M_⊙] ∼2.72 ∼2.04 ∼1.83 ∼2.24

表4.3: 中性子星のとりうる最大重力質量の状態方程式に対する依存性。O’Connor and Ott (2011) で計算されている。

は体心立方格子に対してWigner-Seitzセルからのずれを表す定数で、Oyamatsu (1993)に値が示 されている。さらに、

Z_non =

∫ _Rp

0

4πr²dr(n_p,i−n_p,o) {

1− ( r

Rp

)_tp}₃

(4.113) はセル内の電荷分布の非一様部分である。また、ϕ(r)はWigner-Seitzセルを考えた場合の静電ポ テンシャルで、Poisson方程式

∇²ϕ(r) = 4πe{n_p(r)−n_e} (4.114) の解である。以上のモデルから自由エネルギーを計算し、それを最小化するモデルパラメータa、 n_n,i、n_n,o、R_n、p_n、n_p,i、n_p,o、R_p、p_pの組を見つける。ここで、バリオン数の保存則と電荷保 存則から、モデルパラメータは9個あるが実際の自由度は7である。

最終的に得られる自由エネルギーを一様核物質と非一様核物質の場合とで比較し、小さくなる 方の形態が実現されるとして熱力学量を求める。これがShenの状態方程式である。ここで、一 様か非一様かを分ける密度はだいたい10¹⁴g/cm³程度になる。また、Lattimer & Swestyの状態 方程式との比較のために書いておくと、Shenの状態方程式から得られる非圧縮性パラメータは K_s = 281 MeV、対称エネルギーはS_v= 36.9 MeVとなっている。