71 S3.2. Hurst指数 ここではGeweke and Porter-Hudak [10]によって提案されたピリオドグ ラムを用いたセミパラメトリックな方法としてピリオドグラム回帰法(GPH 推定法 [10]とも呼ばれる)について紹介する. ピリオドグラム回帰法では角 周波数ω = 0まわりでのフラクショナル積分のスペクトル密度関数の傾き を見ることでフラクショナル階差パラメータdを計算する方法である. もし 標本データがARFIMAモデルによく従うのであればパワー・スペクトルは lnf(ω)∼ −2dlnωとなるので, lnf(ω)のω = 0近傍での傾きを求めること でフラクショナル階差パラメータdを推定することが可能である. さらに,
Hurst指数Hとフラクショナル階差パラメータdとの間にはH=d+ 0.5の
関係があるので, dを計算することにより間接的にH が求まる. 計算方法は 以下で与えられる.
1. 時系列長Lの標本データX1, . . . , XLに対してピリオドグラム IL(ωk) = 1
L
∑L t=1
Xte−2πi(t−1)ωk2 (S3.2.13) を計算する. ここでωk=k/L, k= 1, . . . ,[L/2]である. [x]はxより等 しいかそれ以下の最大の整数を意味する.
2. ピリオドグラムの対数 ln
( IL(ωk)
)
=a−dˆln (
4 sin2(ωk/2) )
+ϵk (S3.2.14) をk= 1, . . . , K≤[L/2]に対し最小二乗法により係数dˆの推定を行う.
Hurst指数HはH = ˆd+ 0.5として計算される. 推定値dˆの漸近分布は正規 分布に従い
dˆ∼N
d, π2
6∑K k=1
[ ln(
4 sin2(ωk/2))
−K1 ∑K j=1ln(
4 sin2(ωj/2))]2
(S3.2.15) で与えらえる. その他ウェーブレット(wavele) t変換を用いた方法[32]が知 られているがここでは割愛する.
Hurst指数を計算する関数DFAはライブラリfractalに含まれている. ま た, ARFIMA(p, d, q)モデルを仮定したフラクショナル差分パラメータdを Geweke and Porter-Hudak推定法により計算する関数として, fracdiff中の fdGPHがある. 時系列として正規乱数を与えているが,これは標本データが ランダムウォークに従っていることを仮定している. このプログラムを実行 することにより3手法でHurst指数がおおよそ0.5となることを確認してほ しい.
Hurst指数の計算
library(pracma) library(fractal) library(fracdiff) x<-rnorm(2048) h1<-hurstexp(x)
h2<-DFA(x,detrend="poly1",sum.order=1) h3<-fdGPH(x)$d+0.5
cat(sprintf("%f %f %f\n",h1,h2,h3))
S3.2.5 フラクショナル Brown 運動
Hurst指数によって時系列のランダムな度合いを表現するというMandelbrot
の発想は, Mandelbrot and Ness [26]によって精緻化された. 標準フラクショナルBrown運動は, 自己共分散関数
Cov(Xt, Xs) = 1 2
(
t2H+s2H+|t−s|2H)
(S3.2.16) を持つような,定常な増分を持つGauss過程である. H = 1/2がBrown運動 (Wiener過程)のケース,H >1/2が正の系列相関を持ち,トレンドの持続性 (persistence)を持つ確率過程のケース, H <1/2が負の系列相関, 反持続性 (antipersistence)のケースである.
フラクショナルBrown運動は,自己相似性(8.2.1節)を持ちかつ長期記憶
性(S2.3節)を持ちうることから,自己相似性パラメータと長期記憶パラメー
タが一致し, これをHurst指数Hと定める.Mandelbrotは,金融時系列デー タに見られる長期記憶性を「ヨゼフ効果」と呼んだ.
ボラティリティ系列に対する実証研究において長期記憶性が報告されてい ることから,ボラティリティ過程に対しフラクショナルBrown運動によって 駆動される拡散型方程式を当てはめる研究もなされている.
章末注
73 S3.2. Hurst指数 スペクトル分析の一般理論に関する書籍としては,例えば [16]があげられ る. また, 経済時系列のスペクトル分析に関しては例えば, [18]が詳しい. 時 系列分析においてスペクトル分析に関する実際的問題については,例えば[1]
を参照されたい.
章末問題
1. Wiener–Khinchinの定理.
式(S3.1.2)を式(S3.1.3)に代入するとによりWiener–Khinchinの定理 を確認せよ.
2. ARMA(p, q)モデルのスペクトル密度関数. ARMA(p, q)モデル(S2.3節参照)
X(t) =ϕ0+ϕ1X(t−1)+· · ·+ϕpX(t−p)+Z(t)+θ1Z(t−1)+· · ·+θqZ(t−q) のスペクトル密度関数を求めよ. ここで,Z(t)は平均0,分散σ2のi.i.d.
正規乱数である.
3. Wiener過程のHurst指数.
ξ(t)を白色ノイズであるとする. このとき, Wiener過程 W(t) =
∫ t 0
ξ(s)ds (S3.2.17)
を∆tごとに標本化した標本データxi = W(i∆t)のHurst指数が0.5 であることを示せ.
4. R/S分析.
一つの高頻度データを用い,収益率計測間隔∆tを幾つか選び, 各々の ケースに対してR/S分析を行い, Hurst指数を推定せよ. プロットが安 定する周期があるだろうか.
関連図書
[1] 赤池弘次・北川源四郎（編）(1995)『時系列解析の実際I/II』，朝倉 書店．
[2] Bein, B. (2006) “Entropy,”Best Pract. Res. Cl. Aa, Vol. 20, pp. 101–
109.
[3] Brockwell, P. J. and R. A. Davis (2009) Time Series: Theory and Methods, New York/London: Springer, 2nd edition.
[4] Brooks, C. and M. Hinich (2006) “Detecting intrady periodicites with application to high frequency exchange rates,” J. R. Stat. Soc. C-App., Vol. 55, pp. 241–259.
[5] Calvet, L. E. and A. J. Fisher (2008)Multifractal Volatility: Theory, Forecasting, and Pricing, Burlington: Academic Press.
[6] Carbone, A., G. Castelli, and H. Stanley (2004) “Time-dependent Hurst exponent in financial time series,” Physica A, Vol. 344, pp.
267–271.
[7] Colley, J. and J. Tukey (1965) “An algorithm for the machine calcula-tion of complex Fourier series,”Math. Comput., Vol. 19, pp. 297–301.
[8] Compbell, L. (1960) “Minimum coefficient rate for stationary random processes,” Inform. Control, Vol. 3, pp. 360–371.
[9] Gabor, D. (1946) “Theory of communication,” J. IEE, Vol. 93, pp.
429–457.
[10] Geweke, J. and S. Porter-Hudak (1983) “The estimation and applica-tion of long memory time series models,”J. Time Ser. Anal., Vol. 4, pp. 221–238.
[11] Granger, C. and M. Hatanaka (1964)Spectral Analysis of Economic Time Series, Princeton: Princeton University Press.
75 関連図書 [12] Grech, D. and Z. Mazur (2004) “Can one make any crash prediction
in finance using the local Hurst exponent idea?” Physica A, Vol. 336, pp. 133–145.
[13] ハーケン，H.・牧島邦夫・小森尚志(共訳) (1980)，東海大学出版会，
東京．
[14] ハーケン，H.・奈良重俊(訳) (2002)『情報と自己組織化:複雑系への 巨視的アプローチ』，シュプリンガー・フェアラーク東京，東京．
[15] Hamilton, J. D. (1994)Time Series Analysis, New Jersey: Princeton University Press.
[16] 日野幹雄(1977)『スペクトル解析』，朝倉書店．
[17] 堀口剛・佐野雅己(2000)『情報数理物理』，講談社，東京．
[18] 廣松毅・浪花貞夫(1993)『経済時系列分析の基礎と実際』，多賀出版．
[19] Hurst, H. (1951) “Long-term storage capacity of reservoirs,”T. Am.
Soc. Civ. Eng., Vol. 116, pp. 770–808.
[20] 金井浩 (1999)『音・振動のスペクトル解析』，コロナ社．
[21] Karatzas, I. and S. E. Shreve (1991)Brownian Motion and Stochastic Calculus, New York: Springer, 2nd edition.
[22] Knight, F. (1921) Risk, Uncertainty and Profit, Boston: Hart, Schaffner & Marx; Houghton Mifflin Company.
[23] Kullback, S. (1997) Information Theory and Statistics, New York:
Dover Publications.
[24] Lin, J. (1991) “Divergence Measures Based on the Shannon Entropy,”
IEEE T INFORM THEORY, Vol. 37, pp. 145–150.
[25] Lo, A. W. (1991) “Long-term memory in stock market prices,” Econo-metrica, Vol. 59, pp. 1279–1313.
[26] Mandelbrot, B. B. and J. W. van Ness (1968) “Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications,,” SIAM Rev., Vol. 10, No. 4, pp. 422–437.
[27] Mandelbrot, B. B. and J. R. Wallis (1969) “Some long-run properties of geophysical records,” Water Resour. Res., Vol. 5, pp. 321–340.
[28] Peng, C.-K., S. Buldyrev, H. S., S. M., S. H.E., and G. A.L. (1994)
“Mosaic organization of DNA nucleotides,”Phys. Rev. E, Vol. 49, pp.
1685–1689.
[29] Pikovsky, A., M. Rosenblum, and K. J. (2002) Synchornization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences, Cambridge: Cambridge University Press.
[30] Rosenblum, M., A. Pikovsky, and J. Kurths (1996) “Phase Synchro-nization of Chaotic Oscillators,” Phys. Rev. Lett., Vol. 76, pp. 1804–
1807.
[31] Rybski, D., S. Havlin, and A. Bunde (2003) “Phase synchronization in temperature and percipiation records,” Physica A, Vol. 320, pp.
601–610.
[32] Simonsen, I., A. Hansen, and O. Nes (1998) “Determination of the Hurst exponent by use of wavelet transforms,”Phys. Rev. E, Vol. 58, pp. 2779–2787.
[33] Taqqu, M. and V. Teverovsky (1996) “Semi-parametric graphical es-timation techniquies for long-memory data,” Athens Conference on Applied Probability and Time Series Analysis Lecture Notes in Statis-tics, Vol. 115, pp. 420–432.
[34] Tsay, R. S. (2005) Analysis of Financial Time Series, New York:
Wiley Interscience, 2nd edition.
[35] Welch, P. (1967) “The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, mod-ified periodgrams,”IEEE T. Acoust. Speech, Vol. AU-17, pp. 70–73.
[36] Wu, N.-L. (1983) “An explicit solution and data extension in the maximum entropy method,” IEEE T. Acoust. Speech, Vol. 31, pp.
486–491.
[37] Wu, M.-C., M.-C. Huang, H.-C. Yu, and T. Chiang (2006) “Phase distribution and phase correlation of financial time series,”Phys. Rev.
E, Vol. 73, pp. 016118–1–16.
77
索 引
AIC, 21
ARFIMAモデル, 70 ARMAモデル, 43 ARモデル, 39, 60
Benoˆıt B. Mandelbrot, 67 BIC, 21
Brown運動, 49 Diracのデルタ関数, 3 Euler定数, 12
FFT(fast Fourier transform), 59 Fourier変換
Parsevalの公式, 59 窓離散Fourier変換, 63 離散Fourier変換, 59, 63 離散逆Fourier変換, 59 離散窓Fourier変換, 60 Harold Edwin Hurst, 67 Hilbert変換, 65
Hurst指数
GPH推定法, 70 R/S分析法, 68
トレンド除去変動法, 69 ピリオドグラム回帰法, 70 i.i.d., 8
Jensen–Shannonダイバージェンス, 18
Kiyoshi Itˆo, 53
Kolmogorov–Smirnov検定, 30
Kolmogorov–Smirnov分布, 30 Kullback–Leiblerダイバージェン
ス, 17, 19 MAモデル, 42 Nyquist周波数, 57, 60 PACF, 44
Poisson過程, 53 R
DFA(), 72 fdGPH(), 72 fracdiff, 72 fractal, 72 hurstexp(), 72 pcacma, 72 rnorm(), 63, 72 spectrum(), 63 volatility, 5
Wiener–Khinchin定理, 57 Wiener過程, 49
Wold分解, 42
Yule–Walker方程式, 61 赤池情報量規準(AIC), 21 位相, 64, 66
移動平均モデル, 42 エルゴード性, 46 エントロピー
Shannonエントロピー, 66
情報エントロピー, 15, 18 相対エントロピー, 17 カーネル密度推定, 22
カーネル関数, 22 解析信号, 64, 65 確率過程, 37 確率微分方程式, 51
伊藤過程, 51 伊藤の公式, 53 確率積分, 52 確率分布
Bernoulli分布, 8 Gauss分布, 10, 15 Gumbel分布, 12 Poisson分布, 9 Weibull分布, 12 一様分布, 9 指数分布, 11 周辺—, 13 正規分布, 10, 15 対数正規分布, 11 結合—, 13 同時—, 13 確率変数, 2 確率密度関数, 2
条件付き—, 14 仮説検定, 25
F検定, 28 p値, 25, 28 t検定, 27 z検定, 26 カイ2乗検定, 27 棄却域, 25 帰無仮説, 25 第一種の誤り, 26 第二種の誤り, 26 対立仮説, 25 有意水準, 25 尤度比検定, 29
ガンマ関数, 12 幾何Brown運動, 55 期待値, 4
条件付き—, 14 キュムラント, 5 共分散, 14
自己共分散, 38
相互共分散行列, 39, 64 極値理論
Gumbel分布, 12 検定分布
F 分布, 28 p値, 28
カイ2乗分布, 27
スチューデントt分布, 27 最頻値, 4
最尤法, 20
最尤推定量, 20, 21 対数尤度関数, 19 平均対数尤度, 19 尤度方程式, 20 時間窓, 60
自己回帰移動平均モデル, 43 自己回帰モデル, 39, 60 自己相似性
—パラメータ, 69 持続性
トレンド—, 72 ジャックナイフ法, 24 周波数, 60
瞬時位相, 64, 66 スペクトル
Hanning窓, 60 エイリアシング, 57
クロススペクトル密度関数, 64 コヒーレンス関数, 64
79 索 引 最大エントロピー法, 59
サンプリング周期, 59 時変スペクトル, 63, 66 周波数応答関数, 58
スペクトル・エントロピー, 66 スペクトログラム, 63, 66 パワー・スペクトル, 59 ピリオドグラム, 70 ピリオドグラム推定, 59 窓関数, 60
正則方程式, 33 ゼータ関数, 12 尖度, 5 相関
自己相関, 38 相互相関行列, 39 偏自己相関関数, 44 相関係数, 14
相補累積確率分布関数, 3 大数の法則, 8
中央値, 4 中心極限定理, 8 長期記憶性, 45 定常
強—, 38 弱—, 38
—正規過程, 38
—分布, 38 特性関数, 5
白色ノイズ, 38, 40, 58, 67 ヒストグラム, 22
標本, 2
—r次モーメント, 6
—分散, 6
—平均, 6
ブートストラップ法, 24 復元抽出, 24
フラクショナルBrown運動, 72 分散, 4
平均値, 4
ベイズ情報量規準(BIC), 21 ボラティリティ, 5
マルコフ過程, 47 マルコフ性, 47 マルチンゲール, 46 モーメント, 4 尤度比, 30 余誤差関数, 10
ランダム・ウォーク, 48 累積確率分布関数, 3 歪度, 5