3.3.1 R(G(F))qcの分解
F× の不分岐準指標の群Irr(F×/O×) := Hom(F×/O×,C×)は同型 C× ∋z 7−→(χz :a 7→z−valF(a))∈Irr(F×/O×)
により複素トーラスC× と同一視できる．Irr(F×/O×)はIrr(G(F))に
χ: Irr(G(F))∋π7−→χ(det)⊗π ∈Irr(G(F)), χ ∈Irr(F×/O×) と作用する．Irr(F×/O×)におけるπ ∈Irr(G(F))の固定化群
Irr(F×/O×)π :={
χ∈Irr(F×/O×)|χ(det)⊗π ≃π}
の元χzは中心指標の等式χnzωπ =ωπ を満たすから，zは1のn乗根の群µµn(C)に含ま れる．すなわち適当なm|n,∈Z>0に対してIrr(F×/O×)π ={χζ |ζ ∈µµm(C)}であり，
πのIrr(F×/O×)軌道をPと書けば，
C×/µµm(C)∋z 7−→χz(det)⊗π ∈P
により，Pは複素代数多様体C×/µµm(C)→∼ C×の構造を備える．
特にπ∈Irr0(G(F))のとき，そのIrr(F×/O×)軌道Pは次のような記述を持つ．まず (χz(det)⊗π)|G(F)1 = π|G(F)1 なので P ⊂ Irr0(G(F))である．一方で Z(F)G(F)1 ◁ G(F)は指数 nの正規部分群だから，π|Z(F)G(F)1 = ωπ ⊠π|G(F)1 は長さ有限である．
従ってπ|G(F)1 は長さ有限な有限表現であり，系3.4により直和分解 π|G(F)1 = ⊕
τ′∈Ad(G(F))τ
τ′⊕m, τ ∈Irr(G(F)1)fin (3.5)
を持つ．(π の既約性からπ|G(F)1 の既約直和因子はすべて互いにG(F)共役であり，そ れらの重複度は互いに等しいことに注意せよ．)逆に τ ∈ Irr(G(F)1)fin のG(F)共役類 [τ] := Ad(G(F))τ に対して，系3.4の記号でR(G(F)1)[τ] :=⊕
τ′∈[τ] R(G(F)1)τ′ とお けば，アーベル圏の直和分解
R(G(F)1) =R(G(F)1)[τ]⊕ R(G(F)1)[τ]
がある．定義から明らかに右辺の部分圏はG(F)共役で保たれるから，(π, V)∈ R(G(F)) で(π|G(F)1, V) がR(G(F)1)[τ] に属するものからなるR(G(F))の部分圏R(G(F))[τ], それに(π|G(F)1, V)がR(G(F)1)[τ]に属するものからなる部分圏R(G(F))[τ]が定まる．
このとき上から直和分解
R(G(F)) =R(G(F))[τ]⊕ R(G(F))[τ]
が成り立つ．
補題3.8. π ∈Irr0(G(F))とπ|G(F)1 の既約直和因子τ ∈Irr0(G(F)1)fin を取る．このと きπ のIrr(F×/O×)軌道PはR(G(F))[τ] の既約対象の同型類の集合Irr(G(F))[τ] で ある．
証明. 任意のχz(det)⊗π ∈P, (z ∈C×)のG(F)1への制限は(3.5)から[τ]の元の直和 に同型だから，P⊂Irr(G(F))[τ] である．逆にπ′ ∈Irr(G(F))[τ]を取れば，π′|G(F)1 は [τ]のすべての元による(3.5)の形の直和だから，V := HomG(F)1(π|G(F)1, π′|G(F)1)は0 でない有限次元Cベクトル空間である．G(F)はV に
g:V ∋ϕ7−→π′(g)◦ϕ◦π(g−1)∈V
と作用するが，ϕ ∈ V は G(F)1 準同型だから，この作用は G(F)/G(F)1 →∼ F×/O× を経由し，V はアーベル群 F×/O× の有限次元表現になる．すると V は適当なχi ∈ Irr(F×/O×), (1≤i≤r)の広義等型空間
Vχi ={
ϕ∈V | ∃N, (g−χi(detg))Nϕ= 0, ∀g∈G(F)}
の直和に分解する．ϕ̸= 0,∈Vχ1 でgϕ=χ1(detg)ϕ, (g∈G(F))となるものを取れば，
π′(g)◦ϕ=ϕ◦(χ1(det)⊗π) (g), g ∈G(F)
であるから ϕ ∈ HomG(F)(χ1(det) ⊗ π, π′) である．よって Schur の補題から π′ ≃ χ1(det)⊗π ∈Pが従う．
補題からIrr0(G(F))内のIrr(F×/O×)軌道の集合X0(G(F))はIrr(G(F)1)内のG(F) 共役類の集合と同一視される．特にP∈ X0(G(F))が[τ]∈Irr(G(F)1)/Ad(G(F))に対 応するとき
R(G(F))P :=R(G(F))[τ]
とおけば，系3.4 (iii) R(G(F)1)fin = ⊕
τ∈Irr(G(F)1)fin
R(G(F)1)τ = ⊕
[τ]∈Irr(G(F)1)fin/Ad(G(F))
R(G(F)1)[τ]
からアーベル圏の直和分解
R(G(F))qc = ⊕
P∈X0(G(F))
R(G(F))P (3.6)
が成り立つ．ところがG(F)の中心Z(F)はコンパクトでないから，Z(F)作用の広義固 有空間を考えなくてはならず，R(G(F))Pの対象は完全可約ではない．それでも次のよ うな分解が成り立つ．
系3.9. (i)任意の(π, V)∈ R(G(F))とP∈X0(G(F))に対して，分解V =VP⊕VP で 次の条件を満たすものがある．
(a) VPは準尖点表現で，その任意の既約部分商表現はPの元に同型．
(b) VPはPの元に同型な部分商を持たない．
(ii)(π, V)∈ R(G(F))が中心指標ωπ を持つとする: π(z) =ωπ(z)idV, (z ∈Z(F)). この とき分解V =Vρ⊕Vρ で，Vρ はρの直和に同型で，Vρ はρに同型な部分商を持たない ものがある．
(iii)許容表現 (π, V) ∈ Radm(G(F)) がρ ∈ Irr0(G(F)) に同型な部分商表現を持てば，
(π, V)はρに同型な部分表現および商表現を持つ．
証明. (i)Pに対応するIrr(G(F)1)fin内のG(F)共役類を[τ]として，VP :=V[τ],VP :=
V[τ] とおく．VP の既約部分商はR(G(F))P の既約対象なので，補題3.8からPに属す る．VPのG(F)1 への制限は[τ]の元を既約部分商に持たないので，VP もPの元に同 型な既約部分商を持たない．
(ii) ρのIrr(F×/O×)軌道をPとして，(i)の分解(π, V) = (πP, VP)⊕(πP, VP) を 取る．R(G(F))P の定義から (πP|G(F)1, VP) は完全可約で，従って πP|Z(F)G(F)1 = ωπ⊠πP|G(F)1 も完全可約である．ここでZ(F)G(F)1◁ G(F)は指数nの部分群だから，
πP 自身も完全可約．そこでVP をρ の直和に同型な部分空間Vρ と，P∖{ρ}の元の直 和である部分空間VPρ の和に分解し，Vρ :=VPρ ⊕VP とおけばよい．
(iii)まずρ のIrr(F×/O×)軌道を Pとして (i)の分解V =VP⊕VPを取れば，ρ は VP の部分商だから，(π, V)を(πP, VP)で置き換えて，π の任意の既約部分商表現はP の元に同型であるとしてよい．開コンパクト部分群K ⊂G(F)でρK ̸= 0となるものを
固定し，dimCVK <∞に関する帰納法を用いる．dimCVK = dimCρK ならば，V ≃ρ であるから主張は明らか．一般のとき，πが中心指標を持てば主張は(ii)から従う．そこ でρの中心指標ωρ と適当なz ∈Z(F)に対して，π(z)−ωρ(z)idV ̸= 0であるとしてよ い．そこでπ(z)−ωρ(z)idV の核と像をそれぞれV1 とV2と書けば，Radm(G(F))の完 全列
0−→V1 −→V −→V2 −→0
において，dimCViK < dimCVK であり，V1, V2 のいずれかは ρを既約部分商に持つ．
よって帰納法の仮定により，(π, V)はρに同型な部分表現を持つ．またπ(z)−ωρ(z)idV
の余核をV1′ と書けば，Radm(G(F))の完全列
0−→V2 −→V −→V1′ −→0
において，dimC(V1′)K = dimCV1K < dimCVK だから，やはり帰納法の仮定により (π, V)はρに同型な商表現を持つ．
3.3.2 既約超尖点表現の有限性
この分節の目標は次の定理である．
定理 3.10. 中心指標 ω : Z(F) → C× を固定する．合同部分群K ⊂ G(F) に対して，
{ρ ∈Irr0(G(F))|ωρ =ω, ρK ̸= 0}
は有限集合である．
合同部分群K ⊂G(F)を固定して，レベルKのHecke環HK(G(F)) =εK∗H(G(F))∗ εK を思い出す．Irr(G(F))K :={
π ∈Irr(G(F))|πK ̸= 0}
とおけば，[9, 2.3節]から全 単射
Irr(G(F))K ∋π 7−→≃ πK ∈Irr(HK(G(F)))
がある．ただしIrr(HK(G(F)))は単純HK(G(F))加群の同型類の集合である．命題3.6 からIrr(G(F))の任意の元は許容的だから，任意の単純HK(G(F))加群は有限次元Cベ クトル空間である．実はさらにこの次元は有界である:
命題3.11. (G(F), K)のみによる自然数ν =νK があって，任意のV ∈ Irr(HK(G(F)))
に対してdimCV ≤νが成り立つ．
証明. これを示すためにMN(C)の可換部分代数の次元についての奇妙な評価を引用する．
主張3.12 ([1]命題2). MN(C)の可換部分C代数A がn個の行列で生成されていれば，
dimCA≤N2/N2n1−1 である．
主張の証明は[2, 4.12]にあるので気になる読者はそちらを参照されたい．
次に HK(G(F)) の生成系を構成する．K/K の完全代表系{x1, . . . , xr}を固定すれ
ば，Cartan分解から
G(F) = ⨿
a∈Domn
KϖaK = ⨿
a∈Domn
1≤i,j≤r
KxiϖaxjK
であり，HK(G(F))は右辺に現れる両側剰余類上の両側 K 不変超関数 εKxiϖaxjK = εK ∗δxiϖaxj ∗εK たちで張られるCベクトル空間である．
その部分空間
TK(G(F)) := spanC{KϖaK |a∈Domn}
を考える．上三角および下三角 Borel 部分群 B = T U および B¯ = TU¯ に対する K の岩堀分解 K = KBKU¯ に注意すれば，Ad(ϖa)KB ⊂ KB, Ad(ϖ−a)KU¯ ⊂ KU¯, (a∈Domn)であるから，a,b ∈Domnに対して
KϖaK·KϖbK =KϖaKBKU¯ϖbK
=KAd(ϖa)KBϖaϖbAd(ϖ−b)KU¯K
=Kϖa+bK
が 成 り 立 つ ．こ れ か ら εKϖaK ∗ εKϖbK = εKϖa+bK, (a, b ∈ Domn) が 従 う の で ， TK(G(F))⊂ HK(G(F))は部分C代数である．またDomnは「基本ウェイト」
ai := (
z }| {i
1, . . . ,1,0, . . . ,0), 1≤i≤n
たちで生成される可換モノイドだから，TK(G(F))は{εKϖaiK}1≤i≤n で生成される可換 代数である．
主合同部分群はK の正規部分群であったから，
KxiK·KϖaK ·KxjK =KxiϖaxjK
が成り立つ．よってその上の両側K 不変超関数εKxiK ∗εKϖaK ∗εKxiK とεKxiϖaxjK は互いの正実数倍である．すなわち
HK(G(F)) = ⊕
1≤i,j≤r
εKxiK ∗ TK(G(F))∗εKxjK (3.7)
を得る．
さて，単純HK(G(F))加群ρ : HK(G(F)) →EndC(V)に対してN := dimCV とお く．主張3.12からdimCρ(TK(G(F)))≤N2/N2n−11 ゆえ，(3.7)より
dimCρ(HK(G(F)))≤r2N2/N2n1−1
を得る．ここでBurnsideの定理[3, IX章14節]からρ(HK(G(F))) = EndC(V)なので，
上はN2 ≤r2N2/N2n1−1 を与え，従ってN ≤r2n が成り立つ．すなわちν := [K :K]2n
とおけばよい． □
これから次の帰結を得る．
系3.13. 主合同部分群K ⊂ G(F)に対して，{
τ ∈Irr(G(F)1)fin |τK ̸= 0}
は有限集合 である．
証明. 単純HK(G(F)1)加群M でそれが生成するG(F)1の既約表現[9, 2.3.3]
(τM, V)≃ H(G(F)1)εK/H(G(F)1)AnnHK(G(F)1)(M)
が有限表現であるものが同型を除いて有限個しかないことを見ればよい．ここで ω ∈ Irr(Z(F))でω|Z(F)∩G(F)1 =ωτM となるものを取れば，indG(FZ(F))G(F)1(ω⊠τM)は既約表 現の直和に分解し，その各既約直和因子πに対するπK ∈Irr(HK(G(F)))はHK(G(F)1) 加群としてM を含む．命題 3.11からdimCπK の次元は有界だから，単純HK(G(F)1) 加群の次元も有界である．よってN ∈ Z>0 を固定して，N 次元単純HK(G(F)1) 加群 M でτM が有限表現であるものの同型類が有限個しかないことを示せばよい．
これは次のようにして多項式環のネーター性から従う．命題 3.11 の証明により，
HK(G(F)1)の有限生成系{h1, . . . , hm}が取れる．τ ∈Irr(G(F)1)finに対して，命題3.3 の証明から，ε(τ)K ∈ HK(G(F)1)であって
π(ε(τ)K) =
®τ(εK) π ≃τ,∈Irr(G(F)1)のとき
0 π ̸≃τ,∈Irr(G(F)1)のとき (3.8) を満たすものがある．これはε(τ)K =Pτ(h1, . . . , hm)とhiたちの非可換(!)多項式に書 ける．そこで多項式関数
φτ :MN(C)m ∋(X1, . . . , Xm)7−→trPτ(X1, . . . , Xm)∈C を用意し，{
φτ |τ ∈Irr(G(F)1)fin, dimCτK =N}
が生成するC[MN(C)m]のイデアル をIN と書く．多項式環のネーター性からIN の有限生成系{φτ1, . . . , φτr}が存在する．
さて，既約有限表現τ ∈Irr(G(F))1でdimCτK =N なるものを取る．
φτ(τK(h1), . . . , τK(hm)) = trτK(Pτ(h1, . . . , hm)) = trτ(ε(τ)K)
= dimCτK
であるから，(τK(h1), . . . , τK(hm))∈MN(C)mはIN の零点集合に含まれない．よって 適当な1≤i≤rに対して，
0̸=φτi(τK(h1), . . . , τK(hm)) = trτi(ε(τ)K) となるが，(3.8)からこれはτ ≃τiを意味する．
■定理3.10の証明 系3.13から{
[τ]∈Irr(G(F)1)fin/Ad(G(F))|τK ̸= 0}
も有限集合 である．従ってその元に対応するIrr0(G(F))内のIrr(F×/O×)軌道の集合X0(G(F))K も有限集合である．一方，各P∈X0(G(F))K に対して，ωρ =ωとなるρ ∈Pの集合は (空でなければ)，3.3.1節の記号で {χζ |ζ ∈µµn(C)} ⊂ Irr(F×/O×)の軌道であるから，
有限個である． □
系3.13からIrr(G(F)1)fin全体が系3.9 (i)の条件を満たすので，アーベル圏の直和分解 R(G(F)1) =R(G(F)1)fin⊕ R(G(F)1)nf
が成り立つ．ここでR(G(F)1)nf は有限表現を部分商に持たない滑らかな表現の圏であ る．これからアーベル圏の直和分解
R(G(F)) =R(G(F))qc⊕ R(G(F))nqc (3.9)
が得られる．ただしR(G(F))nqc は準尖点表現を部分商に持たない滑らかな表現からな るR(G(F))の充満部分圏である．
例3.14. 真の標準放物型部分群P = M U ⊊ G とπ ∈ Irr(M(F))に対して，IPG(π) は
R(G(F))nqc の対象である．仮にそうでなかったとすると，IPG(π)の分解(3.9)における 第1成分IPG(π)qcは消えていない．すると適当なP∈X0(G(F))があって，分解(3.6)で のIPG(π)のP成分IPG(π)P は0ではないから，IPG(π)はあるρ∈Pを部分商に持つ．と ころがIPG(π)はωπ : Z(M)(F)→ C× のZ(F)への制限を中心指標に持つから，系3.9 (ii)によりρはIPG(π)の直和因子となる．これはFrobenius相互律(命題2.2 (iv))から
0̸= HomG(F)(ρ, IPG(π))≃HomM(F)(rMG(ρ), π) を意味するので，ρが超尖点的であることに矛盾する．
4 超尖点台
この節ではG(F) = Gn(F)の超尖点的でない既約表現の構成を考える．放物型部分群 P = M U ⊂ GとM(F)の既約超尖点表現ρ ∈ Irr0(M(F))に対して，誘導表現IPG(ρ) を超尖点誘導表現(仏語induite de cuspidale)という．命題 3.6 (ii)から，G(F)の任意の 超尖点的でない既約表現はある超尖点誘導表現の部分商であるから，我々の目標は超尖点 誘導表現の組成因子を調べることである．その具体的な記述はこの報告集中の解説[5]を 用いて，[7]で与えられる．この節の目標はそれらの結果の足場となるごく基本的な結果 を解説することである．
G(F)の長さ有限 (許容)表現 (π, V) ∈ R(G(F))に対して，その(重複も込めた)組成 因子の多重集合をJH(π)と書き，JH(π)に現れるIrr(G(F))の元の集合をJH0(π)で表 す[9, A.6]．またπ の長さを ℓ(π) := |JH(π)| と書く．G(F) の長さ有限(許容)表現の Grothendieck群をK0R(G(F))で表し，長さ有限表現(π, V)に付随するK0R(G(F))の 元を[π]と書く．任意の[π]∈K0R(G(F))は
[π] = ∑
τ∈Irr(G(F))
nπ(τ)[τ], nπ(τ)∈N
と書け，台が有限な関数nπ : Irr(G(F))→Nと同一視される．これからK0R(G(F))の 全順序[π]≥[π′]がnπ(τ)≥nπ′(τ), (τ ∈Irr(G(F)))により定まる．
• 明らかに[π]≥[π′]ならℓ(π)≥ℓ(π′)である．
• M ⊂ Gを標準Levi 部分群とする．放物型誘導関手の完全性(命題2.1 (i))から，
[π]≥[π′],∈K0R(M(F))ならば[IMG(π)]≥[IMG(π′)]である．
• 同様にJacquet関手の完全性(命題2.2 (i))から，[π]≥ [π′], ∈K0R(G(F))ならば [rGM(π)]≥[rMG(π′)]である．
標準Levi部分群M ⊂Gに対して，
WM(G) :={
σ ∈WM |σ(M)⊂Gは標準Levi部分群}
が定義されていた(1.2節)．M に共役な標準Levi部分群は，適当なw ∈WM(G)/W(M)
を用いてw(M) = Ad(n(w))M と一意に書けることに注意しよう．
定理4.1. 標準放物型部分群P =M U ⊂Gとρ ∈Irr0(M(F))を取る．
(i) IPG(ρ) の任意の既約部分商 π に対して，M に共役な標準 Levi 部分群 L ⊂ G で
rGL(π)̸= 0,∈ R(L(F))qc となるものがある．
(ii)ℓ(IPG(ρ))≤ |WM(G)|である．
証明. (i)命題2.4 (ii)とρが超尖点表現であることから，標準放物型部分群Q=LV に対
して1.2節の記号で
[IPG(ρ)Q] = ∑
w∈WM(G) w(M)⊂L
[Iw(M)L (w(ρ))] (4.1)
が成り立つ．そこでIPG(ρ)の既約部分商(π, V)に対して，πQ ̸= 0となる極小な標準放物 型部分群Q=LV ⊂Gを取れば，命題3.6 (ii)の証明からπQ =rLG(π)は超尖点表現であ り，[rLG(π)]≤[IPG(ρ)Q]である．このとき仮に(4.1)の右辺でw(M)⊊Lであったとする と，例3.14で見たようにIw(PL )L(w(ρ))は超尖点的な部分商を持たず矛盾である．よって
[rLG(π)]≤ ∑
w∈W(M,L)
[w(ρ)] (4.2)
であり，LはM とG(F)共役である．
(ii) Jacquet関手の完全性(命題2.2 (i))から，M と共役な標準Levi部分群Lに対して
∑
π∈JH0(IPG(ρ))
[rLG(π)] = ∑
w∈W(M,L)
[w(ρ)]
が成り立つ．よってLについて和を取れば，(1.1)を使って
∑
π∈JH0(IPG(ρ))
∑
w∈WM(G)/W(M)
[rw(M)G (π)] = ∑
w∈WM(G)
[w(ρ)]
を得る．ここで(i)から左辺の内側の和は0ではないので，両辺の長さを取れば主張が従 う．
系4.2. 放物型部分群P = M U ⊂Gに対して，IPG : R(M(F))⇝ R(G(F))は長さ有限 な表現を長さ有限な表現に送る．
証明. 放物型誘導関手の完全性から，π ∈Irr(M(F))に対してIPG(π)の長さが有限である ことを見ればよい．命題3.6 (ii)から，標準放物型部分群Q=LV ⊂P とρ∈Irr0(L(F)) でπ ,→ IQMM(ρ)となるものがある．このときIPG(π)⊂ IPG◦IQMM(ρ)≃ IQG(ρ)だから(命 題2.1 (ii))，
ℓ(IPG(π))≤ℓ(IQG(ρ))≤ |WL(G)| である．
この系により，標準 Levi部分群M ⊂ Gとπ ∈ Irr(M(F))に対してJH(IMG(π))など の記号が意味を持つ．
標準Levi部分群M とρ∈Irr0(M(F))の対(M, ρ)をG(F)の超尖点対(supercuspidal pair)という．M がnの順序付き分割n= (n1, . . . , nr)に対応するならば，
ρ=ρ1⊠ρ2⊠· · ·⊠ρr, ρi ∈Irr0(Gni(F))
と書ける．二つの超尖点対(Mn, ρ),(Mn′, ρ′)が互いにG(F)共役，すなわち上のように 書いたときの列(ni, ρi)i と(n′j, ρ′j)j が並べ替えを除いて一致するとき，これらの超尖点 対は同値であるという．
定理4.3. G(F)の超尖点対(M, ρ),(M′, ρ′)について次の4条件は同値である．
(i) HomG(F)(IMG(ρ), IMG′(ρ′))̸= 0.
(ii) JH(IMG(ρ)) = JH(IMG′(ρ′)).
(iii) JH0(IMG(ρ))∩JH0(IMG′(ρ′))̸=∅. (iv) (M, ρ)と(M′, ρ′)は同値．
証明. (i)Z⇒(iii). φ̸= 0, ∈ HomG(F)(IMG(ρ), IMG′(ρ′))を取り，Imφ⊂ IMG′(ρ′)の既約商 πを取れば，IMG(ρ)↠φ Imφ↠π はIMG(ρ)の既約商からπ への同型を与える．すなわち π ∈JH0(IMG(ρ))∩JH0(IMG′(ρ′)).
(iii)Z⇒(iv). π ∈ JH0(IMG(ρ))∩JH0(IMG′(ρ′))を取れば，定理 4.1 (i)からM,M′ 双方 とG(F)共役な標準Levi部分群L ⊂ GでrLG(π) ̸= 0となるものがある．よって適当な w1 ∈ WM(G)に対してM′ = w1(M)となる．このときW(M′, L) = W(M, L)w−11 だ から，同定理の証明中の(4.2)より
[rLG(π)]≤ ∑
s∈W(M,L)
[s(ρ)], [rLG(π)]≤ ∑
t∈W(M,L)
[tw−11(ρ′)]
を得る．すなわちs(ρ) ≃tw−11(ρ′)となるs,t ∈ W(M, L)があるので，w := w1t−1s ∈ W(M, M′)とおけばw(M) =M′,w(ρ)≃ρ′である．
(iv)Z⇒(i). Frobenius相互律(命題2.2 (iv))から
HomG(F)(IMG(ρ), IMG′(ρ′))≃HomM′(F)(rGM′ ◦IMG(ρ), ρ′)
である．命題2.4 (ii)と仮定からrGM′ ◦IMG(ρ)の組成因子はw(ρ), (w ∈W(M, M′))たち で，その中にはρ′ も含まれる．よって系3.9 (iii)からrMG′ ◦IMG(ρ)はρ′に同型な既約商 を持つので，HomM′(F)(rGM′◦IMG(ρ), ρ′)̸= 0である．
(ii)Z⇒(iii)は自明である．
(iv) Z⇒(ii). まず M = M(p,q) ≃ Gp ×Gq のときを考える．WM(G)は単位元と (p, q) の線分 {1, . . . , p}, {p+ 1, . . . , n}の入れ換え w からなる．M = M′, ρ ≃ ρ′ であれば IMG(ρ) ≃ IMG′(ρ′) となって主張は自明だから，M′ = w(M), w(ρ) ≃ ρ′ でM′ = M の場合には ρ ̸≃ w(ρ) であるとしてよい．特に WM(G) = WM′(G)w である．また (iv) から(i) が従うことは既に見たので，0 でない G(F)準同型 φ : IMG(ρ) → IMG′(ρ′), φ′ : IMG′(ρ′) → IMG(ρ)がある．IMG(ρ) が既約な場合，φは単射だから命題2.4 (ii)を使 うと
∑
s∈WM′(G)/W(M′)
[rGs(M′)(Imφ)] = ∑
s∈WM′(G)/W(M′)
[rGs(M′)◦IMG(ρ)]
= ∑
s∈WM′(G)/W(M′)
∑
t∈W(M,s(M′))
[t(ρ)]
= ∑
s∈WM′(G)/W(M′)
∑
t∈W(M′,s(M′))
[tw(ρ)]
= ∑
s∈WM′(G)/W(M′)
[rs(MG ′)◦IMG′(ρ′)]
が得られる．すなわち ∑
s∈WM′(G)/W(M′)[rs(MG ′)(Cokerφ)] = 0であるので，定理 4.1 (i)からCokerφ = 0となって φ: IMG(ρ) → IMG′(ρ′) は同型である．IMG′(ρ′)が既約な場 合も同様である．最後にIMG(ρ), IMG′(ρ′)がともに可約であるとする．定理 4.1 (ii)から ℓ(IMG(ρ)) = ℓ(IMG′(ρ′)) = 2である．特に既約部分表現π ⊂IMG(ρ), π′ ⊂ IMG′(ρ′)を取れ ば，π¯ :=IMG(ρ)/π,π¯′ :=IMG′(ρ′)/π′は既約である．再び命題2.4 (ii)とWM(G) ={1, w} から
∑
s∈WM(G)/W(M)
(
[rs(M)G (π)] + [rGs(M)(¯π)]
)
= ∑
s∈WM(G)/W(M)
[rGs(M)◦IPG(ρ)]
= ∑
s∈WM(G)
[s(ρ)] = [ρ] + [w(ρ)]
である．左辺への π, π¯ の寄与は定理 4.1 (i) から 0 ではなく，Frobenius 相互律から HomM(F)(rMG(π), ρ)≃HomG(F)(π, IMG(ρ))̸= 0であるので，
[rMG(π)] + [rMG′(π)] = [ρ], [rGM(¯π)] + [rGM′(¯π)] = [w(ρ)]
でなくてはならない．これからπ ̸≃π¯ であり，また
HomG(F)(π, IMG′(ρ′))≃HomM′(F)(rGM′(π), w(ρ)) = 0
であるからKerφ=π,Imφ≃π¯を得る．IMG′(ρ′)に同様の考察を適用して [rMG(π′)] + [rMG′(π′)] = [w(ρ)], [rMG(¯π′)] + [rGM′(¯π′)] = [ρ]
がわかるので，π¯ ̸≃π¯′となってπ¯ ≃Imφ=π′ でなくてはならない．さらにφ′ を考えれ ば，π¯′ ≃Imφ′ =πが従う．すなわちJH(IMG(ρ)) ={π, π′}= JH(IMG′(ρ′))である．
一般の場合を扱うために，n の順序付き分割 n = (n1, . . . , nr) とπi ∈ R(Gni(F)), (1≤i≤r)に対して
π1×π2× · · · ×πr :=IMGn
n(π1⊠π2⊠· · ·⊠πr)
とおく．この記号はπi たちに関して可換ではないが，命題 2.1 (ii) から結合的である: π1×(π2×π3)≃(π1×π2)×π3. さてM =Mn,n= (n1, . . . , nr)としてρ=ρ1⊠· · ·⊠ρr, (ρi ∈Irr0(Gni(F)))と書く．w(M) =M′, w(ρ) ≃ ρ′ となるw ∈WM(G)を取れば，w はnの線分I1(n), . . . , Ir(n)の置換であるから，それらの互換の積に書ける．従ってw 自身がIi(n)とIi+1(n)の互換である場合を示せば十分である:
ρ′ =ρ1× · · · ×
i
ρi+1∨ ×
i+1
ρ∨i × · · · ×ρr.
このときは，誘導関手の完全性(命題2.1 (i))から JH(IMG(ρ)) = ⨿
π∈JH(ρi×ρi+1)
JH(ρ1× · · · ×ρi−1×π×ρi+1× · · · ×ρr),
JH(IMG′(ρ′)) = ⨿
π′∈JH(ρi+1×ρi)
JH(ρ1× · · · ×ρi−1×π′×ρi+1 × · · · ×ρr)
であり，先に示した場合からJH(ρi×ρi+1) = JH(ρi+1×ρi)であるから JH(IMG(ρ)) = JH(IMG′(ρ′))が従う．
定理から，任意の π ∈ Irr(G(F)) に対してπ ∈ JH0(IMG(ρ))となる超尖点対 (M, ρ) があり，その同値類[M, ρ]はπ から一意に定まることがわかる．この [M, ρ]をπ の超 尖点台(supercuspidal support)という．超尖点台[M, ρ]を持つ π ∈ Irr(G(F))の集合を Irr(G(F))[M,ρ] と書けば，定理4.1からこれは有限集合で，直和分解
Irr(G(F)) = ⨿
[M,ρ]
Irr(G(F))[M,ρ]
が成り立っている．
参考文献
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報告集．
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[10] 中村健太郎. 誘導表現とjacquet加群. Inp進簡約群の表現論入門, 2014. この報告集．
用語索引
Bruhat-Titsビル, 10 TDLC空間, 8 TDLC群, 9 アパート, 9 岩澤分解, 11 岩堀分解, 20 格別点, 10 Cartan分解, 11
切り混ぜ(シャッフル), 7 行列成分, 22
好位置にある(極大コンパクト部分群が), 11 O格子, 10
主合同部分群, 9 Jacquet加群, 19 順序付き分割, 5 準尖点表現, 30 高さ関数, 9 中心指標, 27 超関数, 12 超尖点台, 43 超尖点対, 41
同値な, 41 超尖点表現, 30 超尖点誘導表現, 39 旗
標準, 5 部分旗, 4 標準
Levi成分, 5 Levi部分群, 5 放物型部分群, 5 不変測度, 13 分節, 5 放物型
誘導表現, 17 部分群, 4 Borel部分群, 4 モジュラス指標, 13 有限表現, 23 ユニモジュラー, 13 Levi
分解, 4 成分, 4 Weyl群, 6