MDF 解析

ウルツ鉱型の半導体の E0ギャップは 3DM0型の臨界点構造を持つ。Γ 点における価電子 帯と伝導帯を二次曲線で仮定し、KK変換を用いることで、このバンドギャップからの複素 誘電率ε(E)への寄与分が得られる^29,31,44)。

  



  C B A

x f E A E

, ,

0 2 / 3 0

) 0

(

   

 (524)

そしてこの時、

2 0 2 / 3 0

0 2

3 3 4





  P

A 



 



  (525)

     

0



^1/2



2 / 1 0 2

0

0_ x_ 2 1 x_ 1 x_

x

f  ^     (526)

 

_

 0 0

0 E i /E

x    (527) と書くことができる。式(524)(527)において、μ0αは結合状態密度、P₀²_ |c|p|v|²はp-like な価電子帯(Γ₉と Γ7)と s-like な伝導帯(Γ₇)との間の運動量行列要素の二乗である。また、Γ0

はダンピングエネルギーで、α=A、B、C はそれぞれ Γ9(A)→Γ7、Γ7(B)→Γ7、Γ7(C)→Γ7の遷 移を表している(Fig. 5.2参照)。

最も低い直接バンド端近傍では励起子(exciton)の相互作用により、光学スペクトルが劇的 に変化することが知られている。E_0α端の離散励起子は以下のように書ける。

 



 



    



C B

A n

x

E i E n

G n E

E A

,

, 0

0 2 2

2 0 0 3 e 0

2 )

/ ( ) 1

(

  

  (528)

ここで、A₀^ex_は励起子強度パラメータであり、G_0αは3D励起子Rydbargエネルギーである。

連続励起子状態は水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解の正のエネルギーに 対応している。この種類の励起子遷移のε(E)への寄与は以下のように書ける。





    



C B

A E E i

E i

E G

E E F

, ,

2 0 2

0 2 0 2

0 0

0 C 0

) ( ln ) ( )

(

 







  (529)

C 0

F は連続励起子遷移の強度パラメータである。

次ページの Fig. 5.24 に式(524)、(528)、(529)を用いて、それぞれ計算された自由電 子ホール(eh)対、離散励起子、そして連続励起子からE0端でのε(E)のスペクトルを示す。

また、図に示した各スペクトルでのパラメータはAlxGa1-xNの組成比x=0.23の試料で行った 解析の値を用いた。

57

2 3 4 5 6

-1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5

1

Discrete ex.

Continuum ex.

Free e h pair

E (eV)

2 3 4 5 6

0 0.5 1.0 1.5 2.0

2

E (eV)

Continuum ex.

Discrete ex.

Al_xGa_1xN x=0.23

Free e h pair

Fig. 5.24 AlxGa1-xNの組成比x=0.23でのE0端での各寄与

本来連続励起子では、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の回転部分はクーロ ン相互作用エネルギーより大きい。そのため、連続励起子は有効質量μを持ったeh対のよ うなフリー粒子のようにふるまう。その結果、3D励起子のスペクトルは、K=0(励起子波数 ベクトル)でのE0以下の離散的なバンドで構成される。その際、より高エネルギー側で連続 的になる。このため連続励起子のε(E)への寄与は、自由eh対の遷移に類似している。(Fig.

5.24参照)

AlxGa1-xN における、E₀以上のエネルギー域ではいくつかの構造を見ることができる。そ してそれらの構造を、それぞれ E_1α(α=A、B、C)とした。ダイアモンド型や閃亜鉛鉱型の材 料の場合と同様に、ウルツ鉱構造の材料のE1構造は2D minima (M0)型として扱われる。こ の2D minima型からのε(E)への寄与分は^29,31,44)、

 





 





C B A

B E

, ,

2 1 2

1

1 ln1

) (

  

 (530) ここで、









₁  Ei₁ /E₁ (531) 式(530)のB1と1はそれぞれ、強度パラメータとダンピングエネルギーである。

2DM0励起子遷移によるε(E)への寄与分は以下のように書ける。

     



 



    



 



  

 

C B

A n

E i E n

G n E

E B

,

, 1

1 2

2 2 1

1 3 ex 1

2 1

2 /

1 1

2 )

(

   

  (532)

ここで、B₁^ex_は2D励起子強度パラメータでG_1αは2D励起子Rydbarg エネルギーである。

AlxGa1-xNでのF1とE0‟遷移はE1ギャップより高エネルギー側に起きる。これらの遷移は 減衰調和振動子(DHO)により取り扱われる。



^



^{ }



2 2

1 2

) (

i E C





 (533)

58 ここで、

) ' or (

/ _{1 0}

2E F E

 (534) ここで、Cとγはそれぞれ、強度パラメータとブロードニングパラメータである。

バンド間遷移のε(E)への最終的な寄与分は、式(524)、(528)、(529)、(530)、(532)、

(533)の合計により表される。一般的に IIVI 族半導体の励起子の効果はIIIV族半導体よ

りも強く表れることが知られている。ZnSeや ZnSの場合、1電子2DM0型からのε(E)への 寄与分は無視できるほど小さい^37,47)。このことから、今回のAlxGa1-xNの解析においても同 様に無視することが可能だとわかる。

式(532)、(533)により計算されるスペクトルにおいて、E0端より低いエネルギーへと延 びる裾は物理的な意味を持たない。このため、これらの式において複素誘電関数虚部 ε2(E) のE=E0G0以下のエネルギーをカットした。さらに、実験的な複素誘電関数実部 ε1(E)の値 は、いずれもMDFにより求められて値よりも大きなものであった。したがって、よりよい フィットの結果を得るために、複素誘電関数実部ε1(E)に追加の項目ε1∞を足した(Tables I 及 びII参照)。この項は、AlxGa1xNのより高エネルギー側からのギャップ及び励起子遷移から 生じるもので、定数になると考えられる。

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ドキュメント内 モデル誘電関数（MDF）理論を用いた複素誘電関数解析 (ページ 60-66)