Lifting のガロア群

E/F が正規拡大で,K/F が拡大のとき, lifitingのガロア群の元σ∈GK(EK)は,そのE への作用から決まる. よって,写 像の制限σ7→σ|E は単射GK(EK)→GF(E)を定める. E/F は正規拡大なので,σ|E ∈GF(E)である. 実際には

σ|E∈GE∩fix_EK(G_K(EK))(E) = GE∩cl_EK(K)(E) である. この写像σ7→σ|E は群の準同型なのでG_K(EK)からG_F(E)への埋め込みである.

定理 4.7.1. (Liftingのガロア群) E/F が正規拡大,K/F を任意の拡大とする. 写像の制限φ(σ) =σ|E によって定義される 写像

φ: GK(EK)→G_E∩cl(K)(E) は群の同型写像であり

GK(EK)≃G_E∩cl(K)(E) となる. ここでcl(K) = cl_EK(K) = fix_EK(G_K(EK))とする.

証明. φは群の埋込み(群としての準同型写像で単射であること)ということは既に述べたので,全射であることを示せばよい. 混乱を避けるために, 拡大 EK/K に関するガロア対応に関してはfixEK と書き, 拡大 E/F に関するガロア対応に関しては fix_E と書く.

fixE(Im(φ)) ={α∈E|α^τ =αfor^∀τ∈Im(φ)}

={α∈E|α^σ|E =αfor^∀σ∈GK(EK)}

={α∈E|α^σ =αfor^∀σ∈GK(EK)}

=E∩fix_EK(G_K(EK))

よってIm(φ)が E/F に関するガロア対応において閉じていることを示せば,

Im(φ) = G_{E∩fixEK(GK(EK))}(E)

が示され,φが全射であることが示される. もしE/F が有限次拡大ならばガロア群 GF(E)のすべての部分群は閉じているの で,やることはない.

よって,E/F が無限次拡大であるとし, E の F 上の基底を {ei} とする. このとき, {ei} は K 上EK をベクトル空間とし て生成する. すなわち, EKの任意の元は{e_i}の K-線形結合として書ける.

I = Im(φ) のすべての閉点がI に含まれることを示すことによって, I が閉じていることを示す. すなわちτ ∈ I ならば

σ∈GK(EK)が存在してτ =σ|E となることを示せばよい. ところが,σ∈GK(EK)はτ の Eへの作用で完全に決まるはず である. τ∈I ならばτ :E→E は,E の任意の有限部分集合U に対してτ|U = Im(φ)|U である. このときσ:EK→EK を 次のように定義する. 任意のα∈EK に対して

α=∑

i

kiei

となるki∈K が存在する. このとき

σ(α) =∑

i

k_iτ(e_i) と定義する. この定義がwell-definedであることを示すにはkj∈K として

α=∑

j

k_j^′ej

という別の表し方ができたときにこれら2通りの線形結合に表れる基底の有限個の元{e_i, e_j}の集合をUとするとσ^′∈G_K(EK) が存在してτ|U =σ^′|U となる. ゆえに

∑

i

kiτ(ei) =∑

i

kiσ^′(ei) =σ^′ (∑

i

kiei

)

=σ^′(α) =σ^′



∑

j

k^′_jej



=∑

j

k_j^′σ^′(ej) となる. よってwell-definedであることが示された.

σはE 上ではτ と一致する. なぜならα∈E はα=∑

ifiei (fi∈F)と書けるが,fi∈Kなので σ(α) =∑

i

fiτ(ei) =τ (∑

i

fiei

)

あきらかにσ はK の元を固定する. したがって,σ∈GK(EK)が構成され,τ=σ|E が示された. 2

E/F がガロア拡大ならば,上の定理は簡単になる.

系 4.7.2. (Liftingのガロア群) E/F がガロア拡大, K/F を任意の拡大とするとEK/K はガロア拡大である. 写像の制限 φ(σ) =σ|E によって定義される写像φ: GK(EK)→GE∩K(E)は群の同型写像であり

GK(EK)≃GE∩K(E) となる. さらに次が成り立つ.

1) E∩K=F ならばG_K(EK)≃G_F(E)である.

2) E/F が有限次拡大とする. このときG_K(EK)≃G_F(E)ならばE∩K=F である.

証明. 定理3.7.10 (1),定理3.12.1よりEK/K はガロア拡大である. よって,定理4.5.4 1a)よりKは閉じていてcl_EK(K) =K である. 定理4.7.1を使え.

1)は,明らかである.

2)に関しては[E :F]が有限次元のときは,定理4.5.4 3)より,E/F も EK/K もガロア対応はF も G も完全に閉じてい る. 本来GE∩K(E)⊆GF(E)は常に成り立つので

GE∩K(E)≃GK(EK)≃GF(E) よりGE∩K(E) = GF(E)となる. ここで,両辺のfixをとるとE∩K=F である. 2

系4.7.2より,次数についての次の有用な系が得られる. 次数については,図4.7.1より読み取れる.

EK

E K

E∩K

F t tt tt

JJ JJ JJ JJ J

JJ JJ JJ JJ J

JJ JJ JJ JJ J

JJ JJ JJ JJ J

t tt tt

77 77 77 77 77 77 77

図 4.7.1: 有限次ガロア拡大の Lifiting

系 4.7.3. E/F がガロア拡大,K/F を任意の拡大とする. このとき,次が成り立つ.

1) [EK:K] = [E:E∩K]である. よって[EK:K]|[E:F]である.

2) [EK:F] = [E:E∩K][K:F]

3) [E:F][K:F] は[EK:F]の倍数である. 等号が成り立つための必要十分条件はE∩K=F である.

さらに,Ei/F (i= 1, . . . , n−1)が有限次ガロア拡大でEn/F が有限次拡大のとき¹⁸,次が成り立つ. ただし,En+1=F とする.

4) [E1. . . En :F] =

∏n i=1

[Ei:Ei∩(Ei+1. . . En+1)]

5) [E1. . . En :F] =

∏n i=1

[Ei :Ei∩F]であるための必要十分条件はEi∩(Ei+1. . . En+1) =F がすべてのi について成り立 つことである.

ただし,En+1=F とする. 証明. 1)は系4.7.2より

[EK:K] =♯GK(EK) =♯GE∩K(E) = [E:E∩K]

2)に関しては[EK:F] = [EK:K][K:F] = [E:E∩K][K:F]

18ここで,En/F が有限次は必要ないように見える.

3)に関しては2)より[E:F][K:F] = [E:E∩K][E∩K:F][K:F] = [EK:F][E∩K:F]だから[EK:F]|[E:F][K:F] 4)に関しては, E1. . . En+1=E1. . . En なので, 2) より

[E₁. . . E_n+1:F] = [E₁. . . E_n:E₁∩(E₂. . . E_n+1)][E₂. . . E_n+1:F]

= [E₁. . . E_n+1:E₁∩(E₂. . . E_n+1)][E₂. . . E_n+1:E₂∩(E₃. . . E_n+1)][E₃. . . E_n+1:F]

=· · ·

=

n∏−1 i=1

[Ei. . . En+1:Ei∩(Ei+1. . . En+1)]·[En:F] より,求める式を得る.

5)に関してはF ⊆Ei∩(Ei+1. . . En+1)と4)より明らか. 2