拡大の個数と分離次数

S がF の部分集合,nが自然数のとき,{sⁿ|s∈S} をSⁿ と書く.

補題 3.11.1. ch(F) =p̸= 0, E/F は代数拡大で,S⊆E は部分集合とする.

(1) F(S) =F(S^pk)がある1つの自然数k≥1に対して成立することは,すべての自然数k≥1に対して成立するための必 要十分条件である.

(2) F =F^pk がある1つの自然数k≥1に対して成立することは, すべての自然数k≥1に対して成立するための必要十分 条件である.

証明. (1) ある1 つの自然数k₀≥1 に対してF(S) =F(S^pk0)が成立したとする. このとき, F(S) =F(S^pk0)⊆F(S^p)⊆F(S)

となるのでF(S) =F(S^p)となる. すべての自然数k≥1に対して,S^pk ⊆F(S)なのでF(S^pk)⊆F(S)である. 逆をk に関する帰納法で示す. k= 1のとき正しい. kのとき,F(S)⊆F(S^pk)が成り立つと仮定する. 任意のα∈F(S) =F(S^p)

は,命題3.4.5によりS^p の多項式で書けるのでS^pの単項式の F-線型結合であり,各単項式は有限個のS^p の元を使って

s^pi₁¹· · ·s^pi_k^k

の形をしている. さらに,s1, . . . , sk∈S は帰納法の仮定よりF(S^pk)の元なので,命題3.4.5によりS^pk の元の多項式で 書ける. 上の各s_j をS^pk の単項式の F-線型結合で書いて代入すると, 上の単項式はF(S^pk+1)の単項式の F-線型結合 で書けることがわかる.

(2) F=F^pk0 がある1 つの自然数k0≥1に対して成立すれば,

F=F^pk0 ⊆F^p⊆F よりF^p=F である. このとき,すべての自然数k≥1に対して

F^pk = (F^p)^pk=F^pk+1 が成立する.

2

次の定理は,補題3.6.9 (3)の代数拡大への拡張である.

定理 3.11.2. E/F は代数拡大,L が代数的閉体でσ:F →Lを埋込みとする. このとき, hom_σ(E, L)の濃度はE/F にのみ 依存し,L やσに依存しない. すなわち,L^′ も代数的閉体でτ:F →L^′ も埋込みのとき,濃度として

|homσ(E, L)|=|homτ(E, L^′)| となる.

L

σ(F)

E

F

L^′

τ(F)

σ τ

λ=τ σ⁻¹

σ τ

OO OO//

oo //

OOoo //

図 3.11.1: 体の拡大E/M/F

証明. E/F は代数拡大なので,σ(F),τ(F)は, それぞれの代数的閉包に含まれるので,L,L^′ はそれぞれσ(F),τ(F)の代数的 閉包と仮定してよい. このとき,定理3.6.12によりτ σ⁻¹:F^σ→F^τ はλ=τ σ⁻¹:L→L^′ に延長される. 系 3.6.13より代数 的閉包は同型を除いて一意であるから,λ(L) =L^′ でλは同型写像である. 任意の σ∈homσ(E, L)に対して,λσ:E →L^′ は homτ(E, L^′)の元であり,逆に,任意のτ∈homτ(E, L^′)に対して,λ⁻¹τ:E→Lはhomσ(E, L)の元であるので,

|hom_σ(E, L) =|hom_τ(E, L^′)| となる. 2

定義3.11.3. E/F は代数拡大とする. Lが代数的閉体で,σ:F →Lを埋込みとするときhomσ(E, L)の濃度をE のF 上の 分離次数(separable degree)といい, [E:F]_sと書く.

定義 3.11.4. α∈E が体F 上代数的のとき,αの F 上の最小多項式をf(X)∈F[X] とする. f(X)が分離的であるとき, α は分離的 (separable)という. また,f(X)が非分離的であるとき,αは非分離的(inseparable)といい,f(X)の非分離指数 をαの非分離指数 (radical exponent)という.

定理3.11.5. E/F が代数拡大で, α∈E のF 上の最小多項式を f(X)∈F[X]とする. Lが代数的閉体でσ:F →Lは埋込 みとする. このとき,次が成り立つ.

(1) αが分離的ならば

[F(α) :F]_s= [F(α) :F] (2) αが非分離的ならば,αの非分離指数をdとすると

[F(α) :F]_s= 1

p^d[F(α) :F] いずれの場合も|hom_σ(F(α), L)|は [F(α) :F]の約数である.

証明. [F(α) :F] = degf と系3.10.5より明らか. 2 定理3.11.6. F ⊆K⊆E が代数拡大ならば,濃度として

[E:F]s= [E:K]s[K:F]s

が成り立つ.

証明. σ:F →E を埋込みとする. σの K への延長σ∈hom_σ(K, E)の濃度は[K:F]_s であり,それぞれのσの τ :E→E への延長は定理3.11.2 によりσに依存せずに濃度が [E:K]s あり,これらは全て異なるので[E :F]s≥[E :K]s[K :F]s で ある. 逆に,τ ∈homσ(E, E)が与えられたとき,τ|K :K→E は homσ(K, E)の元であり, 逆にτ は τ|K の延長であるので, [E:F]s≤[E:K]s[K:F]s である. よって,等号が成り立つ. 2

定義3.11.7. 代数拡大E/F が分離的(separable)とは全てのα∈EがF 上分離的であることである. 分離的でないときは, 非分離的(inseparable)という.

定理3.11.8. (単拡大と分離性) E/F は代数拡大で, ch(F) =p̸= 0 とする. このとき,次の4条件は同値である.

(1) αは F 上分離的である.

(2) [F(α) :F]_s= [F(α) :F]

(3) F(α)/F は分離拡大である.

(4) ある自然数k≥1に対して

F(α) =F(α^pk) となる. (よって, 補題3.11.1 より,任意の自然数 k≥1に対して成り立つ.) もし,αがF 上非分離的ならばαのF 上の非分離的指数をdとすると

[F(α) :F]_s= 1

p^d[F(α) :F] である.

証明. 定理3.11.5より(1)⇔(2)である.

(1) ⇒ (3) を示す. β ∈ F(α) ならば F ⊆F(β) ⊆ F(α) は代数拡大である. 定理 3.11.6 により, [F(α) : F]_s = [F(α) : F(β)]s[F(β) :F]s,定理3.1.16により, [F(α) :F] = [F(α) :F(β)][F(β) :F], (2)より[F(α) :F]s= [F(α) :F],定理3.11.5に より, [F(β) :F]_s≤[F(β) :F]だから[F(β) :F]_s= [F(β) :F]でなければならない. よって,β はF 上分離的である.

(3)⇒(1)は明らかである.

(1)⇒(4)を示す. F⊆K⊆F(α)のとき,αのF上の最小多項式をf(X),K上の最小多項式をg(X)とすると,f(X)∈K[X], f(α) = 0より,系3.3.6によりg(X)|f(X)である. 任意の自然数k≥1 に対して

F ⊆F(α^pk)⊆F(α) であり,αは

F(α^pk)[X]∋X^pk−α^pk= (X−α)^pk

を満たすので, αのF(α^pk)上の最小多項式f(X)は (X−α)^pk を割り切る. αはF(α^pk)上分離的だから,f(X) =X−αと なり,α∈F(α^pk)ゆえにF(α^pk) =F(α)である.

(4)⇒(1)を示す. 補題3.11.1 より, 任意の自然数k≥1 に対して,F(α^pk) =F(α)が成り立つ. 特に,dをαの非分離指数 とすると,系 3.10.5によりα^pd はF 上分離的であり, 既に示した(1)⇒(3)より, F(α^pd) =F(α)は分離拡大なので,定義よ りαは分離的である.

α の F 上の最小多項式を f(X) とすると, 系 3.10.5 によりf(X) = g (

X^pd

) と書けて, g(X) は分離多項式である. 補 題 3.6.9 (3)より[F(α) :F]sは f(X)の異なる根の個数だから[F(α) :F]s= degg である. f(X)の形より

[F(α) :F] = degf =p^ddegg=p^d[F(α) :F]s

を得る. 2

有限次拡大について,次のような同様の定理が成り立つことは驚くべきことである.

定理 3.11.9. (有限次拡大と分離性) E/F は有限次拡大で, ch(F) =p̸= 0とする. このとき,次の4条件は同値である.

1) E/F は分離拡大である.

2) [E:F]_s= [E:F]

3) F 上分離的な有限個の元α₁, . . . , α_n∈E が存在してE=F(α₁, . . . , α_n)となる.

4) 有限部分集合S⊆E によってE=F(S)と書けるならば,ある自然数k≥1が存在して E=F(S^pk)

となる. (よって, 補題3.11.1 より,任意の自然数 k≥1に対して成り立つ.) もし,E/F が非分離拡大ならば

[E:F]s= 1 p^e[E:F]

となる自然数e≥1 が存在する.

証明. 1)⇒3) E/F は有限次拡大なので,命題3.4.3より,Sの有限部分集合S₀={α₁, . . . , α_n}によってE=F(S₀)となっ ている. E/F が分離拡大なので,α1, . . . , αn はF 上分離的である.

3)⇒2) 命題3.4.3より,F 上分離的な有限個の元α₁, . . . , α_n∈E が存在してE=F(α₁, . . . , α_n)であるとする. このとき F ⊆F(α1)⊆F(α1, α2)⊆ · · · ⊆F(α1, . . . , αn) =E

という拡大列を考えると,各 αi はF(α1, . . . , αi−1)上分離的である. なぜなら,αiは F 上分離的だからその拡大体の上でも分 離的である.³ よって,定理3.11.8により,

[F(α1, . . . , αi) :F(α1, . . . , αi−1)]s= [F(α1, . . . , αi) :F(α1, . . . , αi−1)]

がi= 1, . . . , nに対して成り立つ. 定理3.1.16, 定理3.11.6 により [E:F]s= [E:F] となる.

2)⇒1) 任意のβ ∈E に対して,拡大列

F ⊆F(β)⊆E を考えると,定理3.1.16, 定理3.11.6により

[E:F] = [E:F(β)][F(β) :F], [E :F]_s= [E:F(β)]_s[F(β) :F]_s

なので, もし, [F(β) :F]s<[F(β) :F] ならば[E :F]s= [E:F] とはならない. よって[F(β) :F]s= [F(β) :F]であり,定 理3.11.8よりβ はF 上分離的である.

1)⇒4) E の有限部分集合S があって,E=F(S)としよう. 任意のα∈S はF 上分離的なので, 定理3.11.8より F(α) =F(α^pd)⊆F(S^pk)

が任意の自然数k≥1に対して成り立つ. よって

F(S) =F(α1, . . . , αn)⊆F(S^pk) である. 逆の包含関係F(S^pk)⊆F(S)は自明である.

4)⇒ 1) 逆に,F(S^pk) =F(S) がある自然数k について成り立てば, 補題3.11.1より, 任意の自然数k≥1に対して成り立 つ. ここで,kを S に含まれる有限個の元の非分離指数dの中の最大のものになるようにとるとすべてのα∈S に対してα^pk はすべて分離的である.⁴ よってF(S^pk)は分離的な元によって生成されるからF 上分離的である. 2

定理3.11.10. (代数拡大と分離性) E/F は代数拡大で, ch(F) =p̸= 0 とする. このとき,次が成り立つ. (1) E/F は分離拡大であるための必要十分条件は分離的な元の集合S によってE =F(S)と書かれる.

(2) E/F が分離的でE=F(S)とすると,任意の自然数k≥1 に対してE=F(S^pk)が成り立つ.

証明. (1)を示す. E/F が分離拡大ならばEがF 上分離的な元で生成されることは自明である. 逆に,F 上分離的な元の集合 Sが存在して E=F(S)としよう. 任意のβ∈E に対して,命題3.1.6 (2)により,Sの有限部分集合S が存在してβ∈F(S0)

となる. よって,命題3.4.3により, F(S₀)/F は有限次拡大であり, 定理3.11.9により, 分離拡大である. よって, β は F 上分

離的である. ゆえにE/F は分離拡大である.

次に(2) を示す. 任意のα∈S と任意の自然数k≥1に対して定理3.11.8 (4) により F(α) =F(α^pk)⊆F(S^pk)

なので,F(S)⊆F(S^pk)となる. 逆の包含関係は自明なので, F(S) =F(S^pk)である. 2

3F⊆K⊆E とし,α∈EがF 上分離的であるとすると,αのF 上の最小多項式f(X)は重根を持たない. αのK上の最小多項式をg(X)とすると f(X)∈K[X]でf(α) = 0だから,系3.3.6よりg(X)|f(X)である.よってg(X)も重根を持たない.

4βがF 上分離的ならば,任意の自然数k≥1に対してβ^pk もF 上分離的である. なぜなら,βがF 上分離的ならば,定理3.11.8 (3)によりF(β)/F は分離拡大で,β^pk∈F(β)はF 上分離的である.