JI‑‑ 一 2

﹁川

川什

L口

H μ s +

円H

μv

d一

x

θ

n f げ

一 な

一︐fレ﹁lili‑‑

﹂ 一

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+ 巾

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ゲ一﹁

11

ル

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川 一

r

寸

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‑‑ J

民 お

ρ 

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川

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る 3一丸 t

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一

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V

﹁ ﹂

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λ

つ ノ

の 仰 下1一2l

︑ + ρ ι p  

て

‑ v

ハ ハ い

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v

山刀︿2一₂

i

山町

︐F一

A m

︐ 十 庁

・ 一 ふ ハ

N二 百 貝

¥ パ リ [‑ヲ

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¥  

第 勾

4 .  

L﹂

百 八

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¥1 11 1j ノ︑

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μ γ ν

ハ 一

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λ j i x

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一

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￨ 司 川

︑ ︑

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↑

2 d

一 み ぐ に

p ' ρ

︑

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二品

/IBI‑‑¥F/Illl¥‑

リ門

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﹂

オ 恥

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項 ド な

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2h

↑

t

つ

} v

つ‑ 一‑ 2 h

よ け

の

UY

の ん 門 辺 白 下 九 右 印 以 わ 式 叩 と 上 判 る

上 式 の 第 2項 の 被 積 分 関 数 は 次 の よ う に 変 形 さ れ る .

θI(̲ai  1 0 ρ

ゐi‑‑32ut

。

^1¥'

^a

^ノ

^aa 

^{''‑‑0 s t2} 

s (   p i

^ゐ1 月グ^U_i

a~ α~)

a 

^''‑‑0 s t² 

1 4 3  

̲  o ( ρ2  ρ ⁱ

^{ゐt t} 

A 2 5 U 

a ¥ ̲  

2a~)

a 

^'I‑"00t2 

0" ( ~.， ~ e'u 

~~Ul-ー I +ん てーす

α

。

^{¥ctノ ‑0 t‑ (A4‑4)} 

対 象 と す る 周 波 数 を

f

とすると， 時間 微 分 は fix2fず で あ る か ら 3 

2 [ ( djzFM) 2 U 3 + ^{山 ) 2}

^U 

し た が っ て 低 マ ッ ハ 数 で は 第 1項 は 無 視 で き て(A4‑4)は 次 式 の よ う に な る.

!

[ ( ト

^ρ

引 許 . J ト ト ド

^{z叩川pんO (A4‑5)} 

これを(A4‑3め)に代入すると次式が得られる.

付

P a ^{( X}

^，

^{t ) =} 古 市 手 ^{[ ( P 十 ) 2} ( ] ， 千 r ^{叫寸 j j J 2 4 干 L 2 4 1 }}

(A4‑6)  右辺の 2 つの項のオーダーを比較する.時間微分は -グ~27ずであるから

み 1 _f r，  ̲r ¥ 

2 

¹ ~ ^{T T}  

2 

^V . P 

n    " " (

^r ¥ 

2 

7lpa(x，

t )  

_{~ τα}

。

_{(2nfY ~ρ}^2'_。^V U^L._+r 

竿

_ao ^{(2nft¥ J  /  U~ r} 

V 1̲  ^¥2 U²  V 1̲  ~，2 U 

二 ^ρ

。ー

r ^{(27ず) 寸}Lαo ^+ρ。~(2nftr  ^~ ao  (A4‑7) 

こ こ で Uは 代 表 速 度，

v

は 音 源 の 体 積 ， で あ る . 式(4‑7)か ら 低 マ ッ ハ 数 の 場 合 に は ， 第 1項 は 第 2項 に 比 較 し て は る か に 小 さ い こ と が わ か り ， こ れ は 第 1項 が 4重 極 子 ， 第 2項 が 双 極 子 音 源 で あ る た め と 考 え ら れ る

し た が っ て(A4^・

2 )

^{の 右 辺 第}

1

項 を 無 視 し て 次 式 を 得 る .

川町)=￡ m[(引 ^iY~(Y)

^(A4‑8) 

ま た は(A4‑め か ら 次 式 を 得 る .

ρo _III ^02U_i x_i ^‑Yi dV(y) 

4πPa(x，

t )

^{二 一} ₁₁₁^V~

_τ

一一一一一 (A4‑9) 

αo "'~"' a  r  r 

a .  ) 

^L ~ ^1J. 

(A4‑8)の 中 の ρー は単1ft体積当たりの流体の運動量の時間変化である

み

か ら ， 気 流 の 乱 れ と 物 体 が 近 接 し て い る 場 合 に は こ れ は 物 体 表 面 上 の 圧

力 に 等 し い . し た が っ て 物 体 近 傍 以 外 の 気 流 の 乱 れ が 十 分 に 小 さ い 場 合 には(A4‑8)の 積 分 は 物 体 近 傍 の み で 行 え ば よ く て ， 次 式 で 置 き 換 え ら れ る.

川 ? t ) = ‑ i q R ^{学 }}

^(A4‑10) 

こ れ は Curleの 理 論 に 他 な ら な い .

以 上 を 要 約 す る と ， 低 マ ッ ハ 数 で は Powellの 空 間 双 極 子 は(A4ーののよ う に 速 度 の 2階 時 間 微 分 に 帰 着 さ れ ， ま た 音 源 と な る 気 流 の 乱 れ が 物 体 近 傍 に の み 存 在 す る 場 合 に は 物 体 表 面 上 の 圧 力 ， す な わ ち Curleの 理 論 の 双 極 子 音 源 に 等 し く な る . し か し 物 体 か ら 離 れ て い る 空 間 に も 気 流 の 乱 れ が 存 在 す る 場 合 に は ， そ の 乱 れ も 双 極 子 と し て 無 視 で き な い も の で あ り ， そ れ は Curleの 式 で は 計 算 さ れ ず ) (A4‑9)に よ り 計 算 す る こ と が できる.

次に Powell‑Howeの 理 論 を ， 実 験 的 に 計 測 可 能 な 速 度 変 動 と 関 連 付 け る

Lを 渦 の ス ケ ー ル )^U'を 速 度 変 動 の rms値 と す る と ， 周 波 数 は 次 式 と な る.

f  Z 2  

速 度 変 動u'は 主 流 速 度 U。 に 比 例 す る の で 時 間 微 分 は 次 式 で 近 似 さ れ る .

jz2πf づ

^(A4‑11) 

(A4‑11)と(A4^・9)か ら 音 の 強 さ は ， 速 度 変 動 の 分 布 か ら 次 式 に よ り 近 似 的 に 推 定 で き る .

I 三 zL 二 α~(ρ - ρ。)2

_ぽ

I f

^u'6dV(y)  (A4‑12)  ρoa

。

ρo

C 

1 4 5  

A p p e n d i x  5 

数 式 の 変 形

1 .  (u

恥

ωxu+v(

シ ヤ 出 導

( 刃 tタ コ }

(u. V)u = 

l 

^u1

え

^{+U2 rU3}

^{友 j .}

^{(Ul'U2， U3)} 

二￨弘二ユ+仏竺2‑+仏ニユ li

¥ .

  • e玩I ^L d元2  ̲，&3) 

(  a

ι  &ム

ゐ入

+1 U守 一 ー と+U内一 一ニ+U内一一一.11 

¥.  " & 1   んじ元2 J a3jd 

f

弘 ふ

a ι X

+1 kA ^{u，一一二乙}

t h

+U^{， 一 一 一.}

L 

^，

a2J 

+U^{今 一 一 一}

aJ 

^.Ik

j  k 

dι  ゐ司

ωxu=

ニ ー ト

^み_{2 &3} 

一 一 ‑ ‑

U₁ 

ゐ1 ゐ3

&3  &1 

U₂ 

ゐ2 ゐ1

4玩₁ e^玩₂

U3 

=  { U

³⁽

三引イま‑討 } i

+{U1(

ま討ベ三一討 } j

+ {

 

^U2(

ま引

^{‑ U1(}

ま ‑ : : ) } k 

到 川

I

U + 久一久

u + 久一久

U 

/f il l‑

‑L

¥ 

¥1 11

l一2 u  ノ11 /1 11 1¥  

V  ‑冒

J L A

¥11111jJ¥1Illl‑ノ弘一久生み 3

u的

1￨/

+ + 2

L 

弘 司 仇

ι

内 一

ム 八

日 け

︼

町 内

V

+ + +  

A叫一ペ 川 町

久

一ペ

角

川

同 町

ω

/ l

l l

¥ f

i l

‑ ‑

¥ 一 一

‑

‑ u u 

v 

 

2. 

x微 分 の 時 間 微 分 へ の 変 換

す 川 F ( Y

^，t

一 心 平

三 三川 ^{[ F ]} 千

4~~]r-[F]子 二 則的

^{r内 ぱ !̲dV}

V 

4 1 ^{写 会}

^r‑

^{[ F ] 手}

二 郎

^{ω σ}

て

^{L ぱ !̲dV}

V 

空 ( ‑ 己 主 ^{L f Z L r ‑ I F l 千}

二 別

=

別 4L 宅 ^{l 一千[十}

^(A5・1)

被 積 分 関 数 の 中 の 2つ の 項 の オ ー ダ ー を 比 較 す る 対 象 と す る 周 波 数 を

f

と?

と す る と ， 時 間 微 分 は ー勾27ず で あ る か ら

み

第 1_{項 r}^̲ _~

二 一‑2nf₌ 2π^{一 二旦}=2π‑ 第2項 α

。 づ

_α

。

^{λ λ}

波 長 に 対 す る 遠 距 離 場 ;

r > >

え を 仮 定 す る と ， 上 式 は 1よ り は る か に 大 き い. し た が っ て ， 式(A5‑1)の 右 辺 の 被 積 分 関 数 の 第 2_{項が無視できて，}

次 式 を 得 る .

判 ^{F ( y}

^，t‑

己 手 ^{‑ L m T l 平子}

^{山 )}

さ ら に 音 源 の 大 き さ に 対 す る 遠 距 離 場

X > > y

を 仮 定 す る と ， 次 式 が 成 立 す る.

mM

一r

x t一

r '

利 一

d

m v 

l一h

v ア

パ 訂

ov u  

/l il t‑

¥ 

F 

m V 

3

一 次

t

(A5^・3)

1 4 7  

3. 

式 (A3‑12)の右辺第

1

項 の 変 形 関 数

F = F(y，t')二 F(y.t‑r /α。)

は xに関して独立とすると， Gaussの 定 理 を 用 い て 下 式 が 成 立 す る

I f   1 ，  I f L ^{S ( Y )   =  I f I}     :， ^{[ : } V (   ) Y}

= 中 l : ' l ^{叫‑却 i ? l d V ( y )}

市ld~(Y) 二却 iF1 41fiiF142i

^{山 4)}

右 辺 第 2項 の 積 分 に お い て ， 検 査 面 と し て 音 源 領 域 と 観 測 点 を 囲 む 閉 曲 面で， し か も そ の 面 は 音 源 か ら は る か に 遠 く 音 波 の 届 か な い 距 離 に あ る

と す れ ば ， そ の 積 分 値 は Oと な り ， 次 式 が 得 ら れ る .

I f I [  : .   y~(y) ニ却[F141i ^(A55) 

Blake ( ¹ ) の 式(2‑5 5)  こ こ で F =

ρ ( ω X U i )

と お い て 代 入 す る と 次 式 に なる.

I f

I l  :，  ^{{ p ( ω × 川平正 j j j [ ρ ( ω × 川 2 4 2 }}

^{山 6)}

4.  式 (A3‑12)の右辺第2項 の 変 形

式

( A 5

^・

4 )

で

F

の 代 わ り に oF/み と お く と 次 式 が 得 ら れ る .

m

_~J

l  _L ~，~ _{の tJr atv}  I ^{山 一 三 f f f 同 盟} _L

_み

_{i J}

_r ⁼

^f _マ ^{f l} _l ^{問 山}

_み

_{i J} ^{( A 5 ‑ 7 )}  

( A

ふりと

( A 5 ‑ 4 )

か ら 次 式 を 得 る .

j j j 間半二 ^{L j j j l F l} 叫+計

^l

^同 4 1 1 l i ま ] 学

( A 5

^・

8 )

上 式 の 右 辺 第

1

項を，

Appendix 5

の

2

節 を 用 い て ， 以 下 の よ う に 時 間 微 分 に 変 形 す る

山川

一r

F 

m v 

グ一 ゲ 1一2n吋

州 一

r

F 

即

v

n r

一 け は

t

(A5‑9) 

(A5‑9)を(A5‑8)に 代 入 し て 次 式 を 得 る .

j j j [ZJ4 2 二 長 ^{j j j i F l} 竿 ) + 三 り

^jl[F]

叫 f l ほ ^{y s ; y )}

(A5‑10) 

ここで F 三 p - ρc;+1 m 2 と置いて代入すると式 (A1 ・ 13) の第 2~4 項が得

u つ

られる.

式 (A3‑12)の 右 辺 第3項 の 変 形

り (i 引‑ザ ^{i m ; 1 4} 聞 い ^{( y )}

こ り { ‑ ; 問 ( ‑ _a ¹ _{J託 一千 [バ ] ~} + ; [ 訓 告 ド ^{S ( y )}

こ り { ‑ ; [ 学 ^jtl 一 千 ^{i m ; l l + ;} 問中 ^{S ( y )}

こ り l ; { ‑ ; [ 引一千 ^{[ p a n + ; [} 手 ] ド ^{( y )}

二 り i ! { ‑ :，  (;[p2 ~ ])

⁺ 

H 

これが式(A3・13)の 第 5項 で あ る .

6.  式 (A3‑14)の 第4項 の 変 形 運 動 方 程 式

ご ( 問 ) = 一 芸 ρ (

^UjUj+ 

P ) 

V 曲 一 .•

を用いる と マ ッ ハ 数 が 小 さ い 場 合 に は 以 下 の よう に 変 形 す る こ と が で き る.

VニU

コ

r︐d一u 

m 

+ 

f v  

θ

一 弘

汀 刀

s

vd一げペ一r︐G一

u 

ρ 

1一2+ p ﹁Il

li

‑‑

﹂

三 み

pi

‑‑

iFp﹀d

t ‑‑ d

r﹂

1 49 

二

一日 伯 ^{p u ， ) ]} 叫

二 一 出 ^{( p u . )} ] 叫

之

一日 [ 剖 叫

7.  式(3‑14)の第 5

，

6項 の 変 形

三 かい ~ ] 叫 ‑ U ( ; ぃ ; ] ) 

^dS(y) 

二

一 日 l d ; 川 必 ) ( Y ‑ l U it ^ト n ) 必 ^{( y )}

=    f f ¹ 正 (;川dS(y) ーか引い   ~ ) ]

^dS(y) 

=0 

参 考 文 献

(1) Blake ， W. K. ， Mechanics of Flow‑Induced Sound and  Vibration ，Volume 1 ， AcademIc Prθss， Inc.  (1986) 

(2) Powell ， A. ， Theory of vortex sound ， J. of AcoustIc Soc. Am. 36，  p177‑195 (1964) 

(3)  Curle ， N. ，The inf1uence of solid boundaries upon aerodynamic  sound， Proc. R. Soc. London ，A231 (1955) 

ドキュメント内 自動車の車体周りの気流による空力騒音に関する研 究 (ページ 153-162)