IBNR, RBNS

k

番目のクレームに対する支払総額を

U

k

= ∑

j≥1

X

k,j

,

時刻

t

までのクレーム件数を

N

tと書く．

IBNR(Incurred But Not Reported) claims C

t^IBNR

=

Nt

∑

k=1

U

k

1

_{{Tk≤t<Tk+Wk}}

RBNS(Reported But Not Settled) claims C

t^RBNS

=

Nt

∑

k=1

U

k

1

_{{Tk+Wk≤t<Tk+Wk+Sk}}

2006

年度より，地震・自賠責を除くすべての保険種目に対して，これらの統計的 予測値を支払備金として積み立てることが求められている．

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality

Stochastic reserving

Run-off 三角形

C

i,jは

i

年度に発生したもののうち

, j

年度報告分までの累積支払額．

報告年度

1 2 3 ... j ... I − 1 I

1 C

1,1

C

1,2

C

1,3

... C

1,j

... C

1,I−1

C

1,I

2 C

2,1

C

2,2

C

2,3

... C

2,j

... C

2,I−1

3 C

3,1

C

3,2

C

3,3

... C

3,j

...

... ... ... ... ... ...

i C

i,1

C

i,2

C

i,3

... C

i,j

発生年度

... ... ... ... ...

I − 1 C

I−1,1

C

I−1,2

I C

I,1

第

I

年度における累積支払額は

C

I^∗

:= ∑

i+j=I+1

C

i,jとなり，これらを予測していく．

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality

Stochastic reserving

さまざまな予測法

I

年度までに得られている情報

(

上三角

)

：

F

^I

:= σ(C

i,j

| i + j ≤ I + 1, 1 ≤ i, j ≤ I )

に対して，

{ C

i,j

| i + j > I + 1 }

^の部分

(

下三角

)

を予測したい．

C b

i,I

= E [C

i,I

|F

^I

] + θ · √

Var(C

i,I

|F

^I

) ρ(C

i,I

) = e.g., VaR

α

(C

i,I

|F

^I

)

など．

歴史的には様々な方法論が提案されている．

Chain-Ladder

法

(Mack model

，実務的

) Bornhuetter-Ferguson

法

Bayes

法

(Benktander-Hovinen

法

) GLM

法

Bootstrap

法

理論の詳細は

W¨ uthurichu and Merz (2008)

を参照．

R

に

“ChainLadder”

というパッケージがあります！

https://github.com/mages/ChainLadder#chainladder

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

死亡率予測の確率モデル

(

再掲：生命表

)

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

日本全体と静岡県の ( 対数 ) 死亡率曲線

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

実務上の有名モデル (Lee and Carter, 1992)

. Definition (Lee-Carter’s Age-Period model) ..

...

時点

t

における

x

歳の死亡率

m

x,tに対して，

log m

x,t

= a

x

+ b

x

· k

t

+ ϵ

x,t

,

ただし，

a

x

, b

x は

x

のみに依存するパラメータ，

k

tは

t

のみに依存するパラメー タ，

ϵ

x,tは

(x , t)

ごとに

IID

なノイズ．

a

x

:

観察期間の平均対数死亡率

k

t

:

各時点

t

における

a

xからの偏差水準．

(

制約条件

) ∑

T−1 t=0

k

t

= 0 b

x

: k

t への年齢効果．

(

制約条件

) ∑

x^∗

x=0

b

x

= 1

⇒

パラメータは最小二乗法で決定：

min

x^∗

∑

x=0 T−1

∑

t=0

ϵ

²x,t

= min

x^∗

∑

x=0 T−1

∑

t=0

| log m

x,t

− a

x

− b

x

· k

t

|

²

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

いくつかの問題点

死亡率データ

The Human Motality Database (HMD) http://www.mortality.org/

国立社会保障・人口問題研究所

(

日本版

HMD

，都道府県別

) http://www.ipss.go.jp/p-toukei/JMD/

データの欠測，誤植

(

？

)

⇒ 欠測データ解析？

人口の大小による経験死亡率のブレなど ⇒ 小地域推定，信頼性理論

Lee-Carter model

の問題点：コホート効果，

(0, 1)-valued

，国依存

,...

Aged-Period-Cohort model (Renshaw and Haberman, 2006) : log m

x,t

= a

x

+ b

x

· k

t

+ c

x

· γ

t−x

+ ϵ

x,t

Cairns-Blake-Dowd model (Cairns et al., 2006) : log m

x,t

1 − m

x,t

= k

t⁽¹⁾

+ k

t⁽²⁾

· x (+γ

t−x

) + ϵ

x,t

その他の共変量？？（疾病・喫煙率，経済・国情，気候

,...etc.

）

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

Lee-Carter model による死亡率の予測（日本）

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

Lee-Carter model による死亡率の予測（静岡県）

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. .

Conferences and journals Bibliography

Part IV

保険数理に関する国際会議・学術誌情報

. .

Conferences and journals Bibliography

代表的な学会

Insurance: Mathematics and Economics (IME)

毎年開催

(

今年は

Vienna

，来年は

Sydney)

．アカデミックの研究者による 大会．

Actuarial Research Conference (ARC)

毎年開催

(

今年は

Atlanta

，来年は

London in Ontario, Canada)

．アクチュ アリー実務と研究者混合会議．アカデミックも多数．

International Congress of Actuaries (ICA) (

国際アクチュアリー会議

)

4

年に

1

回

(

来年は

Berlin)

．アクチュアリー実務者とアカデミック混合では

最大の会議．

2026

年には日本で開催決定

!

その他：

日本保険・年金リスク学会

(JARIP)

International Actuarial Association (IAA)

主催の実務家向け会議 アクチュアリー年次大会

(

日本アクチュアリー会員限定

)

Y.Shimizu WASEDA Univ.

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Conferences and journals Bibliography

代表的な学術誌

Insurance: Mathematics and Economics (IME)

先の会議の母体．理論寄りも，実用的，意味のある研究を重視．

Scandinavian Actuarial Journal (SAJ)

理論寄り．分野問わず．

European Actuarial Journal (EAJ) 2011

年から刊行．理論寄り．

ASTIN Bulletin (ASTIN)

昔は理論寄り．今は非常に実務寄り．

North American Actuarial Journal (NAAJ)

実務寄り．

その他：通常の

(

応用

)

確率論，統計雑誌等も対象．

. .

Conferences and journals Bibliography

Bibliography I

[1] Artzner, P.; Delbaen, F.; Eber, J. M. and Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Math.

Finance, 9, (3), 203–228

[2] Asmussen, S and Albrecher, H. (2010). Ruin probabilities. 2nd. ed. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ.

[3] Cairns, A.; Blake, D. and Dowd, K. (2006). A two-factor model for stochastic mortality:

Theory and calibration. J. Risk and Insurance, 73, 687–718.

[4] Deniut, M.; Dhaene, J.; Goovaerts, M. and Kaas, R. (2005). Actuarial theory for dependent risks: Measures, Orders and Models. John Wiley & Sons, Ltd.

[5] Embrechts, P.; Kl¨ uppelberg, C and Mikosch, T. (1997). Modelling extremal events.

Springer-Verlag, Berlin.

[6] Feller, W. (1971). An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. Second edition, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney.

[7] F¨ ollmer, H. and Schied, A. (2004) Stochastic finance 2nd ed., Walter de Gruyter & Co., Berlin.

[8] Gerber, H. U. and Shiu, E. S. W. (1998a). On the time value of ruin; with discussion and a reply by the authors. N. Am. Actuar. J., 2, no. 1, 48–78.

Y.Shimizu WASEDA Univ.

. .

Conferences and journals Bibliography

Bibliography II

[9] Grandell, J. (1991), Aspects of risk theory, Springer-Verlag.

[10] Lee, R. D. and Carter, L. R. (1992). Modeling and forecasting U.S. mortality, J. American Statistical Association, 87, 659–671.

[11] Mikosch, T. (2009). Non-life insurance mathematics. 2nd. ed., Springer-Verlag, Berlin.

[12] Renshaw, A. and S. Haberman (2006) A cohort-based extension to the Lee-Carter model for mortality reduction factors, Insurance: Mathematics and Economics, 38, (3), 556–570.

[13] Rolski

，

Schmidli, Schmidt and Teugels (1999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, John Wiley & Sons.

[14] W¨ uthurichu, M. V., and Merz, M. (2008), Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance, John Wiley & Sons.

[15] Trufin, J.; Albrecher, H. and Denuit, M. M. (2011). Properties of a risk measure derived from

ruin theory. The Geneva Risk and Insurance Review. 36, 174–188.

. .

Conferences and journals Bibliography

最後に

保険数理には統計的に未熟な部分がたくさん残っていますし，保険独特の データ・問題も存在します．

実務アクチュアリーだけでなく，若い研究者に参入していただき，日本の保 険数理アカデミズムを活性化．

日本での産学連携を強化し，国際レベルに！

統計学会（

9

月）企画セッション：

「統計科学としてのアクチュアリアル・サイエンス：〜古典的な保険数学を 超えて〜」

Y.Shimizu WASEDA Univ.

ドキュメント内 講演ファイル(清水先生)pdf (ページ 35-50)