講演ファイル(清水先生)pdf

(1)

アクチュアリアル・サイエンスと統計的諸問題

清水泰隆

早稲田大学理工学術院応用数理学科

統計サマーセミナー2017

2017_年8_月5-8_日@_{日光鬼怒川温泉}

⃝Shimizu Lab.c

Y.Shimizu WASEDA Univ.

(2)

Part I

序章・アクチュアリアル・サイエンス

(4)

. . . Introduction

. . Value-at-Risks Actuarial Science

アクチュアリー ?

Actually? ̸= Actuary

アクチュアリー: problem solvers, strategic thinkers,share a love of maths, analyse data, evaluate financial risks, communicate data to non-specialists.

(5)

. . . Introduction

アクチュアリー数学

日本アクチュアリー会1次試験数学(確率・統計の基礎)

分布，期待値，極限定理，推定，検定，回帰分析，分散分析生保数理(期待値計算)

利息，死亡率，保険料，責任準備金，解約・給付等，災害・疾病に関わる保険年金数理(期待値と人口予測)

計算基礎率，原価率，人口論，財政方式，責任準備金，積立金，損益分析損保数理(確率過程とリスク評価)

クレーム分布，クラス料率，IBNR，保険料算出原理，破産理論，再保険会計・経済・投資理論(時系列，確率過程)

財務会計制度・理論，ミクロ・マクロ経済，ポートフォリオ理論，プライシング，デリバティブ，投資分析

⇒保険・金融に関わるリスク評価と将来予測(リスク管理)

(6)

. . . Introduction

アクチュアリアル・サイエンス？

保険数学・アクチュアリー数学(Actuarial Mathematics) 計算手法的側面を強調？

実務計算．古典的なアクチュアリーの技術．

保険数理(Insurance Mathematics)

理論的側面が強調される．保険数学のよりコアな部分が対象．よりアカデミックなニュアンス．

海外の大学教育：Department of Statistics and Actuarial Science

Actuarial Science

両者の複合的なニュアンス．

※近年はアクチュアリーの世界でもBig Data, AIといったキーワードが重視されるようになり (アクチュアリーの定義？)，伝統的なアクチュアリーの仕事だけでなく，もっと広範囲にデータ解析の(actualな)分野全体を指すこともある．

(7)

. . . Introduction

. . Value-at-Risks Insurance premiums

保険数理の基本的問題

.リスク管理 ..

...

Ω: 起こりうるシナリオ

X : Ω → R保険会社が将来支払うべきお金e.g.,保険金，運用損失，etc (正なら損失．負なら利益と解釈)

⇒^{将来の支払}^Xに備え，どれだけの準備が必要か？

Ex. 保険料の決め方(収支相等の原則): P:保険料(定数)，i番目の契約者への支払保険金Xi: IID, (i = 1, 2, . . . , N)

(収入) P · N ≈ X1+ X2+ · · · + X^N ⁽支出)

N → ∞と考えて，P = lim

N→∞

1 N

∑N i=1

Xi_{= E[X}1] a.s. (純保険料)

(8)

. . . Introduction

生保の保険料 ( 例：終身保険 )

(9)

. . . Introduction

保険料計算

予定利率をrとすると，割引率v = ¹ 1 + r^．

保険金額Z = 1000万円の終身保険の場合，x才の被保険者がK年後に死亡

するとすると，

純保険料P = E [(将来支払う保険金額の現価)]

= E[v^K^{Z ]}

問題はKが未確定であること(いつ死亡するのか？) P = E[v^K^{Z ]}

=

∑∞ k=1

v^kZ × P(K = k) < Z

P(K = k) (=k|qx)は“x才のk年後死亡率”_⇒推定・予測の対象！(後述) 死亡率には，厚生労働省やアクチュアリー会などが作成する生命表がある．

(10)

. . . Introduction

生命表

(11)

. . . Introduction

例： 1000 万円終身保険の一時払 ( 純 ) 保険料

厚生労働省・第20回(平成17年)生命表を使用．(予定利率r=3％の場合) 年齢(歳) 保険料(万円) 年齢(歳) 保険料(万円)

0 109.52 19 183.42

1 110.16 20 188.51

2 113.06 30 228.91

3 116.17 40 324.82

4 119.47 50 421.08

... ^... ^... ^...

17 173.50 90 875.15

18 178.41 100 926.83

But...実際には，純保険料だけでは確率1で破産！(⇒ “破産理論”) P = E[X¹^{] + ∆ (}^{付加保険料}⁾

∆ > 0は経費やリスクを適切に見積もって決定する！

(12)

. . . Introduction

. . Value-at-Risks Math framework

リスク計量化のための数学的枠組

(Ω, F): ^可測空間

ただし，F: Ωの部分集合からなるσ-加法族(数学技術上の理由)

M: F-可測関数(確率変数)の集合(“リスク”の集合)

X ∈ M: ^“^リスク^(risk)”^or^“^損失^(loss)”^と呼ぶ．

A ⊂ M: ^{許容できる損失の集合}(acceptance sets) (何らかの順序“⪯”が入っているとする)

0 ∈ A (損失0は許容的) X ∈ A, Y ⪯ X ⇒ Y ∈ A

(許容的なリスクX より“安全”なY は許容的)

(13)

. . . Introduction

何らかの基準により準備金を決める

保険料を集め，そこから_{C ≥ 0}をプールしておく(責任準備金，支払備金) 全てのシナリオω_{∈ Ω}に対して

X (ω) − C ≤ 0

となるなら，Cは準備金として十分．(正なら損失．負なら利益と解釈) 実際はこうはできない！

保険料ならばもらい過ぎ _⇒ 誰もこの保険を買わない．

準備金ならばCは会社にとって“負債”_⇒ あまり大きくしたくない． .Definition (Risk measure)

..

...

ρ: M → R ∪ {±∞},を以下の様に定める．

ρ(X ) = inf{c ∈ R | X − c ∈ A}

このような“リスク”M上の汎関数ρをリスク尺度(risk measure)という．

(14)

. . . Introduction

リスク尺度

リスク尺度の研究は数理ファイナンスで盛んに論じられている．

⇒^{公理論的アプローチ}^: Artzner et al. (1999), F¨ollmer and Schied (2004)

実はアクチュアリーが，保険料決定の文脈で古くから取り入れていた． B¨uhlman (1970)，Gerber(1980), etc.

純益条件(Net Profit Condition):

ρ(X ) > E[X ] 保険料が満たすべき最低条件．

(15)

. . . Introduction

保険料計算原理

以下の保険料はいずれも純保険料_{E[X ]}より大きくなっている． (以下，θ >0を定数とする)

期待値原理

ρ(X ) = (1 + θ)E[X ] 標準偏差原理

ρ(X ) = E[X ] + θ^√^{Var (X )} 指数原理

ρ(X ) = ¹ θ^{log E[e}

θX_]

Esscher原理

ρ(X ) = ^E[Xe

θX_]

E[e^θX] Wang原理

ρ_{(X ) = E} [

X exp (

θΦ⁻¹(FX_{(X )) −}

θ² 2

)]

※^θの水準を決めるには，許容できるリスク^Aを決める必要がある．

(16)

. . . Introduction

. . Value-at-Risks VaR

実務上よく用いられるリスク尺度

.Definition (Value-at-Risk, VaR) ..

...

リスク(損失額)X : Ω → Rの分布関数FX に対して， VaRα(X ) := inf{x ∈ R | F^X(x) ≥ α}

✲

✻

❜ r 1

VaRα(X ) x α

FX(x) ^分布^F^X ^の^α-^分位点

将来の損失Xをカバーする確率が α(以上)

P(X ≤ VaR^α(X )) ≥ α 確率_{(1 − α)}の希な事象は無視．実務的にはα= 0.99, 0.999など．

(17)

. . . Introduction

. . Value-at-Risks VaR

リスク尺度としての VaR

α_{≈ 1}に対して，確率(1 − α)くらいで損失が起こることを許すとする: (許容的リスク集合)

A = {X ∈ M | P(X > 0) ≤ 1 − α} とすると，

VaRα(X ) = inf{c ∈ R | X − c ∈ A} と書けるので，これはリスク尺度．

リスク尺度の整合性(coherency): Artzner et al. (1999) 単調性: X ≤ Y a.s. ⇒ VaR^α(X ) ≤ VaR^α^{(Y )} 並進性: c ∈ R ⇒ VaR^α(X + c) = VaRα(X ) + c 正同次性: c > 0 ⇒ VaR^α(cX ) = cVaRα(X )

劣加法性: VaRα(X + Y ) ≤ VaR^α^{(X ) + VaR}^α(Y ) ⇒

^×

不成立！ VaRは整合的(coherent)でない！

(18)

. . . . . Insurance risks

. . . . Inference

Part II

保険リスクの計量化と統計的推測

(19)

. . . . Inference Compound risks

複合保険リスク評価

代表的な保険リスク：累積クレーム額

S =

∑N i=1

Ui (複合分布)

Ui _{∼ F}U:正値IID, i番目の支払保険金， N：支払件数を表すr.v. (Ui’sと独立) リスク管理のためには

VaRα(S) = inf{x ∈ R | F^S(x) ≥ 1 − α} を推定したい．

複合分布の分布関数：

FS(x) =

∑∞ k=0

FU^∗k(x)P(N = k)

(20)

複合幾何リスク

Ex. 幾何分布: N ∼ Ge(p)

P(N = k) = (1− p)p^k^, (k = 0, 1, 2, . . . ) とすると，Sの分布=複合幾何分布:

FS(x) := P(S ≤ x) =

∑∞ k=0

(1 − p)p^k^FU^∗k(x)

再生(型)方程式(renewal-type equation)

FS(x) = pFU(x) + pFU∗ FS(x), _{x ≥ 0.} ただし，F ∗ G (x) =^∫₀^xF (x − y)G (dy).

(21)

Renewal Theory

.Theorem (Key Renewal Theorem) ..

...

Zに関する再生方程式

Z (x) = H(x) + G ∗ Z (x), x ≥ 0, に対して，Hは“直接Riemann可積分”とし，

G (∞) = 1, ^{0 < µ}^G ^:=

∫ ∞ 0

x G (dx) < ∞ とする．このとき，

Z (x) ∼ ¹ µ_G

∫ ∞ 0

H(x) dx, _{x → ∞.}

cf. Feller (1971), Mikosch (2009), Rolski et al. (1999) etc.

(22)

Lundberg 近似

再生方程式

FS(x) = pFU(x) + pFU∗ FS(x), _{x ≥ 0} にKey Renewal Theoremをうまく用いて以下を得る． .Theorem (複合幾何分布のLundberg近似)

..

...

Uの積率母関数mU_{(r ) = E[e}^rU¹]に対して， mU(γ) = ¹

p

なるγ >0が存在するとし，あるϵ >0でmU(γ + ϵ) < ∞とする．このとき， FS_{(x) ∼} ^{1 − p}

γ_{p · m}_U^′(γ)^e

−γx, _{x → ∞.}

γ >0: 調整係数(adjustment coefficient)

γは適当なモーメント条件の下で，一意に存在する．

(23)

保険リスクの VaR

連続型：S =

∑N i=1

Ui, FS(x) = P(S ≤ x)

Note: lim

α→1^F

−1

S (α) = ∞ (⇔ VaRα(S) → ∞)

α= 0.99 or 0.999などであるから，Lundberg近似を用いて 1 − α = F^S^(VaR^α(S)) ∼ ^{1 − p}

γ_{p · m}^′_U(γ)^e

−γVaRα(S)_, _α

→ 1.

α_{→ 1}のとき，

VaRα_{(S) ∼ −}

1 γ^log

[1 − α 1 − p^γ^{p · m}

′ U(γ)

] .

あとはパラメータp，γや，m^′_U(x)の推定問題に帰着する．

(24)

. . . . Inference Estimation of VaR

保険会社のクレームデータ

第i期のクレーム件数をNi，期内のクレーム額をUi ,1,Ui ,2, . . . ,Ui ,N_i とし，

Si=

N_i

∑

k=1

Ui ,k (第i期内の支払総額)

m期間で以下のようなデータが得られることになる．

1期目のデータ N1; (U1,1,U1,2, . . . ,U1,N1); S1

2期目のデータ N2; (U2,1,U2,2, . . . ,U2,N2^{); S}2

... ^...

m期目のデータ Nm; (Um,1,Um,2, . . . ,Um,Nm^{); S}m

U1,1^,U1,2^{, . . . ,}U1,N1^{; U}2,1^,U2,2^{, . . . ,}U2,N2; · · · ; Um,1^,Um,2^{, . . . ,}Um,N_m

⇒ ^V1,V2, . . . ,Vn, n = nm

と書きなおす．n → ∞ (m → ∞)

(25)

パラメータ等の推定 I

pの推定：N1^,N2^{, . . . ,}Nm: IIDサンプルP(N = k) = (1− p)p^k 対数尤度: ℓn(p) = m log(1 − p) + mN^m^{log p} MLE:_bpm= ¹

1 + Nm

漸近正規(有効)推定量:

√m(_bpm_{− p)}

−→ N(0, p(1 − p)),d m → ∞.

(26)

パラメータ等の推定 II

調整係数γの定義：Uの積率母関数mU_{(r ) = E[e}^rU¹]に対して，

mU(γ) = ¹

p ^⇒ ^{Z -}^推定：

1 n

∑n i=1

e^γ^bⁿ^Uⁱ = ¹ bp^m 漸近正規推定量:

√n(_bγn− γ)−→ N(0, σ^d γ²^), ^σ 2 γ⁼

mU_{(2γ) − [m}U(γ)]² [m_U^′(2γ)]²

(27)

パラメータ等の推定 III

m_U^′_{(γ) = E}^[U1e^γU¹^]の推定：^∀I ⊂ R(有界閉区間)

sup

r∈I

1 n

∑n i=1

Vie^rVⁱ_{− m}^′(r )

−→ 0 m → ∞.p

より， b

m^′U(_bγn) := ¹ n

∑n i=1

Vie^b^γⁿ^Vⁱ _{−→ m}^p ^′U(γ), _{m → ∞.} 以上により，VaRα(S)を以下で推定．

VaRdα_{(S) ∼ −}

1 bγⁿ^log

[ 1 − α

1 − bp^m^bγⁿ^bp^m^{· b}^m

′ U(_bγn)

]

, α_{→ 1.}

(28)

. . . . . Ruin theory

. . . . IBNR

. . . . Mortality

Part III

その他・統計的諸問題

(29)

. . . . IBNR

. . . . Mortality Ruin probability

Danish fire insurance claims

0 2 4 6 8 10

050100150200250

Danish fire insurance claims: 1980−1990

Time (for 11 years)

Claim size

(30)

. . . . IBNR

An insurance surplus

(31)

. . . . IBNR

アカデミックでは dynamic model が主流

保険サープラス(剰余金)：

Rt _{= u + ct −} N_t

∑

i=1

Ui

u > 0: 初期備金，c > 0: 保険料率，Ui: i番目の保険金請求(クレーム)， Nt: 時刻tまでのクレーム件数．

(32)

. . . . IBNR

破産確率とリスク尺度

破産確率:

ψ_{(u) = P(R}t <0 for some t > 0)

= P (

t>0inf^R^t ^<⁰ )

= P (

sup

t>0

(_N_t

∑

i=1

Ui_{− ct}

)

>u )

= P(S^∗^>^{u) = F}^S^∗^(u), ただし，S^∗:= sup_t>0^(∑^N_i=1^t Ui_{− ct}

).

S^∗で確率過程R = (Rt)t≥0のリスクを測定：十分小さなϵ >0に対して， A = {X ∈ M | P(X > 0) ≤ ϵ}

破産確率に基づくリスク尺度：

ρ(S^∗) = VaR1−ϵ(S^∗) =inf{u > 0 | ψ(u) ≤ ϵ}

(33)

. . . . IBNR

破産確率は複合幾何分布！

複合ポアソン過程 ^∑^N_i₌₁^t Ui: U1∼ FU; Nt ∼ Po(λt), 再生方程式: ψ(u) = FS^∗(u),

FS^∗(u) = ^λµ c

(FS^∗∗ GI

)(u) +^λµ c ^G^I^(u) ここに，GI(u) = ¹

µ

∫ u 0

FU(x) dx. Lundberg近似:

ψ(u) = FS^∗_{(u) ∼} ^{c − λµ}

λm^′_U_{(γ) − c}^e

−γu, _{u → ∞.}

ただし，γ >0 (調整係数)は次の方程式の正の解：

mX(γ) = ¹

p^, where X ∼ G^I^, ^{p =} ^λµ_c ^{(< 1)}

(34)

. . . . IBNR

. . . . Mortality Stochastic reserving

クレームはすぐに会社に報告されるわけではない！

ある時刻Tkにk番目の事故が発生(incurred)した場合，その事故の調査や損害額の査定等に時間を要することがある（自動車事故，震災等）．時間Wkが経過し，大体の調査が終わったころに保険会社に報告が来る (reported)．

保険金の支払いは1度で終わらない場合もあり(再発，後遺症，訴訟等)，支払完了(settled)まで時間Skを要することがある．

(35)

. . . . IBNR

IBNR, RBNS

k番目のクレームに対する支払総額をUk=^∑

j≥1

Xk,j, 時刻tまでのクレーム件数をNtと書く．

IBNR(Incurred But Not Reported) claims Ct^IBNR =

Nt

∑

k=1

Uk1_{T_k_≤t<T_k_+W_k_}

RBNS(Reported But Not Settled) claims Ct^RBNS=

Nt

∑

k=1

Uk1_{T_k_+W_k_≤t<T_k_+W_k_+S_k_}

2006年度より，地震・自賠責を除くすべての保険種目に対して，これらの統計的予測値を支払備金として積み立てることが求められている．

(36)

. . . . IBNR

Run-off 三角形

Ci ,jはi年度に発生したもののうち, j年度報告分までの累積支払額．報告年度

1 2 3 ... j ... _{I − 1} I

1 C1,1 C1,2 C1,3 ... C1,j ... C1,I −1 C1,I

2 C2,1 C2,2 C2,3 ... C2,j ... C2,I −1

3 C3,1 C3,2 C3,3 ... C3,j ...

... ... ... ... ... ...

i Ci ,1 Ci ,2 Ci ,3 ... Ci ,j

発生年度

... ... ... ... ...

I − 1 ^CI−1,1 CI−1,2

I CI ,1

第I年度における累積支払額はCI^∗:= ^∑

i+j=I +1

Ci ,jとなり，これらを予測していく．

(37)

. . . . IBNR

さまざまな予測法

I 年度までに得られている情報(上三角)：

F^I ^{:= σ(C}^{i ,j}| i + j ≤ I + 1, 1 ≤ i, j ≤ I ) に対して，_{Ci ,j| i + j > I + 1}^の部分⁽^下三角⁾^{を予測したい．}

Cbi ,I _{= E[C}i ,I_|FI_{] + θ ·}

√Var (Ci ,I_|FI) ρ(Ci ,I) = e.g., VaRα(Ci ,I_|FI)など．歴史的には様々な方法論が提案されている．

Chain-Ladder法(Mack model，実務的) Bornhuetter-Ferguson法

Bayes法(Benktander-Hovinen法) GLM法

Bootstrap法

理論の詳細はW¨uthurichu and Merz (2008)を参照． Rに“ChainLadder”というパッケージがあります！ https://github.com/mages/ChainLadder#chainladder

(38)

. . . . IBNR

. . . . Mortality Lee-Carter model

死亡率予測の確率モデル

(再掲：生命表)

(39)

. . . . IBNR

日本全体と静岡県の ( 対数 ) 死亡率曲線

(40)

. . . . IBNR

実務上の有名モデル (Lee and Carter, 1992)

.Definition (Lee-Carter’s Age-Period model) ..

...

時点tにおけるx 歳の死亡率mx,tに対して，

log mx ,t= ax+ bx_{· k}t+ ϵx ,t,

ただし，ax,bx はx のみに依存するパラメータ，ktはtのみに依存するパラメータ，^ϵx ,tは(x, t)ごとにIIDなノイズ．

ax: 観察期間の平均対数死亡率

kt: 各時点tにおけるaxからの偏差水準．(制約条件)^∑^T−1_t=0 kt = 0 bx: kt への年齢効果．(制約条件)^∑^x_x=0^∗ bx = 1

⇒パラメータは最小二乗法で決定： min

x^∗

∑

x=0 T−1∑

t=0

ϵ²x,t= min

x^∗

∑

x=0 T−1∑

t=0

|log m^x,t− a^x− b^x· k^t|²

(41)

. . . . IBNR

いくつかの問題点

死亡率データ

The Human Motality Database (HMD) http://www.mortality.org/

国立社会保障・人口問題研究所(日本版HMD，都道府県別) http://www.ipss.go.jp/p-toukei/JMD/

データの欠測，誤植(？)⇒ 欠測データ解析？

人口の大小による経験死亡率のブレなど ⇒ 小地域推定，信頼性理論 Lee-Carter modelの問題点：コホート効果，(0, 1)-valued，国依存,...

Aged-Period-Cohort model(Renshaw and Haberman, 2006): log mx ,t= ax+ bx· kt+ cx· γt−x+ ϵx ,t

Cairns-Blake-Dowd model(Cairns et al., 2006): log ^m^{x ,t}

1 − m^x,t ^{= k}

(1)

t + kt⁽²⁾· x (+γ^t−x^{) + ϵ}^{x ,t} その他の共変量？？（疾病・喫煙率，経済・国情，気候,...etc.）

(42)

. . . . IBNR

Lee-Carter model による死亡率の予測（日本）

(43)

. . . . IBNR

Lee-Carter model による死亡率の予測（静岡県）

(44)

. .

Conferences and journals Bibliography

Part IV

保険数理に関する国際会議・学術誌情報

(45)

. .

代表的な学会

Insurance: Mathematics and Economics (IME)

毎年開催(今年はVienna，来年はSydney)．アカデミックの研究者による大会．

Actuarial Research Conference (ARC)

毎年開催(今年はAtlanta，来年はLondon in Ontario, Canada)．アクチュアリー実務と研究者混合会議．アカデミックも多数．

International Congress of Actuaries (ICA)(国際アクチュアリー会議) 4年に1回(来年はBerlin)．アクチュアリー実務者とアカデミック混合では最大の会議．

2026年には日本で開催決定! その他：

日本保険・年金リスク学会(JARIP)

International Actuarial Association (IAA)主催の実務家向け会議アクチュアリー年次大会(日本アクチュアリー会員限定)

(46)

. .

代表的な学術誌

Insurance: Mathematics and Economics (IME)

先の会議の母体．理論寄りも，実用的，意味のある研究を重視． Scandinavian Actuarial Journal (SAJ)

理論寄り．分野問わず．

European Actuarial Journal (EAJ) 2011年から刊行．理論寄り． ASTIN Bulletin (ASTIN)

昔は理論寄り．今は非常に実務寄り． North American Actuarial Journal (NAAJ) 実務寄り．

その他：通常の(応用)確率論，統計雑誌等も対象．

(47)

. .

Bibliography I

[1] Artzner, P.; Delbaen, F.; Eber, J. M. and Heath, D. (1999). Coherent measures of risk. Math. Finance, 9, (3), 203–228

[2] Asmussen, S and Albrecher, H. (2010). Ruin probabilities. 2nd. ed. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ.

[3] Cairns, A.; Blake, D. and Dowd, K. (2006). A two-factor model for stochastic mortality: Theory and calibration. J. Risk and Insurance, 73, 687–718.

[4] Deniut, M.; Dhaene, J.; Goovaerts, M. and Kaas, R. (2005). Actuarial theory for dependent risks: Measures, Orders and Models. John Wiley & Sons, Ltd.

[5] Embrechts, P.; Kl¨uppelberg, C and Mikosch, T. (1997). Modelling extremal events. Springer-Verlag, Berlin.

[6] Feller, W. (1971). An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. Second edition, John Wiley & Sons, New York-London-Sydney.

[7] F¨ollmer, H. and Schied, A. (2004) Stochastic finance 2nd ed., Walter de Gruyter & Co., Berlin.

[8] Gerber, H. U. and Shiu, E. S. W. (1998a). On the time value of ruin; with discussion and a reply by the authors. N. Am. Actuar. J., 2, no. 1, 48–78.

(48)

. .

Bibliography II

[9] Grandell, J. (1991), Aspects of risk theory, Springer-Verlag.

[10] Lee, R. D. and Carter, L. R. (1992). Modeling and forecasting U.S. mortality, J. American Statistical Association, 87, 659–671.

[11] Mikosch, T. (2009). Non-life insurance mathematics. 2nd. ed., Springer-Verlag, Berlin. [12] Renshaw, A. and S. Haberman (2006) A cohort-based extension to the Lee-Carter model for

mortality reduction factors, Insurance: Mathematics and Economics, 38, (3), 556–570. [13] Rolski，Schmidli, Schmidt and Teugels (1999), Stochastic Processes for Insurance and

Finance, John Wiley & Sons.

[14] W¨uthurichu, M. V., and Merz, M. (2008), Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance, John Wiley & Sons.

[15] Trufin, J.; Albrecher, H. and Denuit, M. M. (2011). Properties of a risk measure derived from ruin theory. The Geneva Risk and Insurance Review. 36, 174–188.

(49)

. .

最後に

保険数理には統計的に未熟な部分がたくさん残っていますし，保険独特のデータ・問題も存在します．

実務アクチュアリーだけでなく，若い研究者に参入していただき，日本の保険数理アカデミズムを活性化．

日本での産学連携を強化し，国際レベルに！

統計学会（9月）企画セッション：

「統計科学としてのアクチュアリアル・サイエンス：∼古典的な保険数学を超えて∼」

(50)

. .

講演ファイル(清水先生)pdf

アクチュアリアル・サイエンスと統計的諸問題

Contents

Part I

序章・アクチュアリアル・サイエンス

アクチュアリー ?

アクチュアリー数学

アクチュアリアル・サイエンス？

保険数理の基本的問題

生保の保険料 ( 例：終身保険 )

保険料計算

生命表

例： 1000 万円終身保険の一時払 ( 純 ) 保険料

リスク計量化のための数学的枠組

何らかの基準により準備金を決める

リスク尺度

保険料計算原理

実務上よく用いられるリスク尺度

リスク尺度としての VaR

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Part II

保険リスクの計量化と統計的推測

複合保険リスク評価

複合幾何リスク

Renewal Theory

Lundberg 近似

保険リスクの VaR

保険会社のクレームデータ

パラメータ等の推定 I

パラメータ等の推定 II

パラメータ等の推定 III

Part III

その他・統計的諸問題

Danish fire insurance claims

An insurance surplus

アカデミックでは dynamic model が主流

破産確率とリスク尺度

破産確率は複合幾何分布！

クレームはすぐに会社に報告されるわけではない！

IBNR, RBNS

Run-off 三角形

さまざまな予測法

死亡率予測の確率モデル

日本全体と静岡県の ( 対数 ) 死亡率曲線

実務上の有名モデル (Lee and Carter, 1992)

いくつかの問題点

Lee-Carter model による死亡率の予測（日本）

Lee-Carter model による死亡率の予測（静岡県）

Part IV

保険数理に関する国際会議・学術誌情報

代表的な学会

代表的な学術誌

Bibliography I

Bibliography II

最後に

Thank you for your attention!

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