Haar 関数系

であり、

⟨ψj,k|ψj,k^′⟩L²=δkk^′

であることを確かめなさい。

■

これより、V1∋f1(x)がV0に直交するとき、f1は f1(x) =∑

ℓ∈Z

c2ℓψ(x−ℓ)∈W0=V₀^⊥

と表される。V1内の関数がV0に直交するのは、c2kを添字を付け替え改めてckとし て、その関数が∑

kckψ(x−k)と表されるときに限るのである。これより、

W0= cl {∑

k∈Λ

ckψ0,k(x)|ak∈R,Λは有限の整数集合 }

= span{ψ0,k(x)}k∈Λ

は、V1におけるV0の直交補空間V₀^⊥=W0、つまりV1=V0⊕W0が示された。W0

をスケール0の詳細空間という。この結果は次のように一般化される。

定理6.25 スケールjの近似空間Vjおよび詳細空間Wjを、それぞれコンパクトサ ポートをもつHaar wavelet関数系{ϕj,k(x)}^kおよび{ψj,k(x)}^{kが張る空間とする。}

Vj= cl {∑

k∈Λ

ckϕj,k(x)| ak∈R,Λは有限の整数集合 }

= span{ϕj,k(x)}^k∈Λ, (6.6) Wj= cl

{∑

k∈Λ

dkψj,k(x)| bk∈R,Λは有限の整数集合 }

= span{ψj,k(x)}^k∈Λ

(6.7) このとき、WjはVj+1におけるVjの直交補空間で、次式が成立する。

Vj⊥Wj, Vj+1=Vj⊕Wj.

証明 1)Wjの各関数はVjの全ての関数に直交し、逆に、2)Vjに直交するVj+1

の関数はWjに属することを示そう。

1)Wjの関数をg(x) =∑

kdkψj,k(x)、また、f∈Vjとする。このとき、

⟨g|f⟩L²=

∫ _∞

−∞

g(t)^∗f(t)dt=

∫ _∞

−∞

(∑

k

2^j/2dkψ(2^jt−k) )∗

f(t)dt= 0 を示せばよい。

さて、f(x)∈Vjより、定理6.16から、f(2^−jx)∈V0である。したがって、

0 =

∫∞

−∞

(∑

k

dkψ(t−k) )∗

f(2^−jt)dt （ψ(x)はV0に直交するから）

= 2^j

∫∞

−∞

∑

k

d^∗_kψ(2^jy−k)^∗f(y)dy （変数の置き換えy= 2^−jtより）

= 2^j/2

∫_∞

−∞

g(y)^∗f(y)dy.

これより、gはf∈Vjに直交することがわかり、1)が示された。

2)j= 0のときは既に命題6.24の後で示した。一般のjについても同様である。 ■

図6.1 スケールJのdyadic階段関数fJ（青線）とスケールJ−1のdyadic階段 関数fJ−1（赤線）。dyiadic^区間IJ−1,k=IJ,2k∪IJ,2k+1で、fJ−1(x)^は、fJ(x)^の IJ−1,kでの左右区間上の値cJ(2k)^とcJ(2k+ 1)^{の平均値1}₂(cJ(2k) +cJ(2k+ 1)) を取る。

定理6.25を繰り返し適用すると、次のようなVjの直交分解を得る。

系6.26

Vj=Wj−1⊕Vj−1

=W_j−1⊕W_j−2⊕V_j−2 . . .

=W_j−1⊕W_j−2⊕ · · · ⊕WJ⊕VJ

. . .

=W_j−1⊕W_j−2⊕ · · · ⊕W0⊕V0 (6.8) 演習6.27 この空間構造を多重化解像度解析（MRA: Multi Resolution Analysis） という。この空間構造をよく理解しなさい。Fourier基底で張られる関数空間の分解 と比較して検討してみなさい。ここでは、Haar関数系をつかってMRAを構成した わけだが、MRAを他の関数系を使って構成できるだろうかは、Wavelet解析におけ る中核的課題である。

定理6.25より次の補題が得られる。

補題6.28 (分割補題) fJ(x)をスケールJ のdyadic階段関数とする。このとき、

fJ(x)は次のように分割される。

fJ(x) =wJ−1(x) +fJ−1(x),

ここで、fJ−1(x)はスケールJ−1での平均化関数（approximated function）とい う。また、w_J−1(x)をスケールJ−1の平均化に相補的な詳細関数（detail function） といい、スケールJ−1のHaar waveletの関数

wJ−1=∑

k

d^J_k⁻¹ψJ−1,k(x), (6.9)

で表される。

証明 fJ(x)がスケールJのdyadic階段関数であることより、fJ(x)は区間IJ,k

で一定値cJ(k)を持つ、つまり、

fJ(x) =∑

k

c^J_kχIJ,k(x), c^J_k= 2^j

∫

I_j,k

f(t)dt

と表されると仮定する。各区間IJ−1,k =IJ,2k∪IJ,2k+1について、スケールJ−1

の平均化関数値fJ−1(x)を次で定義する。

f_J−1(x) = ñ

2^J−1

∫

I_J−1,k

fJ(t)dt ô

χI_J−1,k(x)

= ñ

2^J−1 Ç∫

IJ,2k

+

∫

IJ,2k+1

å fJ(t)dt

ô

χI_J−1,k(x)

=1 2

(c^J_2k+c^J_2k+1)

χI_J−1,k(x). (6.10)

図6.1に示したように、区間IJ−1,k上で、fJ−1,k(x)はIJ−1,kの左右区間上のfJ(x) の値の平均値を取る。

wJ−1(x) =fJ(x)−fJ−1(x)とする。注意6.6から、wJ−1もスケールJのdyadic 階段関数である。このとき、

∫

IJ−1,k

wJ−1(t)dt=

∫

IJ−1,k

fJ(t)dt−

∫

IJ−1,k

fJ−1(t)dt

= Ç∫

IJ,2k

fJ(t)dt+

∫

IJ,2k+1

fJ(t)dt å

−

∫

I_J−1,k

fJ−1(t)dt

=(

2^−Jc^J_2k+ 2^−Jc^J_2k+1)

−2^−(J−1)1 2

(c^J_2k+c^J_2k+1))

= 0

したがって、区間I_J−1,k上での詳細関数w_J−1(x)はHaar wavelet関数ψ_J−1,k(x) の倍数であらねばならず、(6.9)の形となる。 ■ 補題の証明から、fJ(x) =wJ−1(x) +fJ−1(x)は、解像度2^−Jの階段関数fJ(x)が 2倍幅の区間I_J−1,kで平均化して得られる階段関数f_J−1(x)と各区間I_J−1,kでの 平均値からのズレ（IJ−1,k=Ij,2k∪Ij,2k+1の左右区間でプラスとマイナスがある）

を表す詳細関数w_J−1(x)との和として表されることを示している。これがスケール J−1の平均化に付随する詳細関数wJ−1の意味である。

分割補題6.28を繰り返して適用すると、近似空間VJ 内の関数fJ は、スケール j(j < J)までの平均化操作によって近似化した空間Vj、および近似スケールjに至 るまでの詳細空間の列WJ−1, WJ−2, . . . , WjにfJを正射影して得られる関数の和

fJ(x) =w_J−1(x) +w_J−2(x) +· · ·+wj(x) +fj(x) . . .

=w_J−1(x) +w_J−2(x) +· · · ·+w0(x) +f0(x)

と表すことができる。ここで、wnはfj のHaar wavelet基底{ψn,k}^{で張られる} 詳細空間Wnへの正射影、fJ はfjのHaarスケーリング基底{ϕJ,k}^{で張られる} 近似空間VJへの正射影で得られる関数である。こうした分解をHaar分解（Haar decomposition）あるいはHaarウエーブレット変換（Haar Wavelet transformation） と言う。これについては節6.3の近似関数と詳細関数再訪、および、節6.4のWavelet 変換: 分解と再構成アルゴリズムで改めて取り上げる。

例6.29 例6.20では、χ[0,1/2)をϕj,kとψj,kを使って展開した。f(x) =χ[0,3/4)(x) の場合を考えよう。区間[0,3/4)はdyadic区間であり、実際、[0,³₄) =I1,0∪I1,1で ある。I0,0 = [0,1)以外ではf(x) = 0であるため、展開係数の候補となるのは区間 [0,1)内のDyadic区間上のϕj,kとψj,kとの内積に限られる。

⟨f|ϕ0,0⟩L² = 3/4、k ̸= 0について⟨f|ϕ0,k⟩L² = 0. また、Ij,k ⊂[0,3/4)およ びIj,k⊂[3/4,1)であるようなj, k、すなわち2≦jと0≦k≦2^j−1について

⟨f|ψj,k⟩L²= 0. したがって、⟨f|ψ0,0⟩L²= 1/4と⟨f|ψ1,1⟩L²= 2^−3/2だけが非零 である。結局、

χ[0,3/4)(x) = 2^−3/2ψ1,1(x) +1

4ψ0,0(x) +3 4ϕ0,0(x).

演習6.30 f(x) =χ_[0,11/16)(x)をHaar分解しなさい。

例6.31 f(x) =χ[0,2/3)(x)のHaar分解を考えよう。⟨f|ϕ0,0⟩L²= 2/3、j, k̸= 0に ついて⟨f|ϕ0,k⟩L²= 0. 区間[0,2/3)はdyadic区間ではないことに注意しよう。そ の結果、全てのスケールj≧0でψj,k(x)の係数があり得る。ただし、⟨f|ψj,k⟩L²が 非零となるのは、各スケールj≧0で2/3を含む唯一つのkjのdyadic区間Ij,kj だ けである。したがって

χ[0,2/3)(x) =

∑∞ j=0

cj(kj)ψj,k_j(x) +2 3ϕ0,0(x)

=

∑∞ j=0

c^j_k

jψ(2^jx−kj) +2

3ϕ(x), c^j_k

j= 2^j/2cj(kj) と表される。

演習6.32 f(x) =χ[0,2/3)(x)のHaar分解において、cj(kj)およびc^′_j(kj)の値を j= 0,1,2,3,4,5について求めなさい。

近似空間{Vj}^{および詳細空間}{WJ}の直交性は次の定理として表される。

定理6.33 (Haar系の正規直交性)

(1) WJを張るスケールJのHaar wavelet系{ψJ,k(x)}k∈ZはWJの正規直交系 である。

(2) VJおよびWJを張るスケールJの組{ϕJ,k, ψJ,k^′}k,k^′∈ZはR^{上の正規直交系} で、VJ⊥WJ.

(3) {Wj}^{を張る各スケール}jのHaar wavelet系{ψj,k(x)}k∈ZはR^{上の正規直} 交系で、j̸=j^′について互いにWj⊥Wj^′.

(4) スケールJのHaar系{ϕJ,k, ψj,k^′(x)}j≧J,k,k^′∈ZはR上の正規直交系である。

VJを張るHaarスケーリング基底のスケールはJ、一方、wavelet基底のス ケールjはJ以上（J≦j）であることに注意。

証明 1)まず、与えられたスケールJでの直交性を示す。k, k^′ ∈ Z^に対する dyadic区間IJ,k, IJ,k^′について

IJ,k∩IJ,k′=

®0, k̸=k^′ IJ,k k=k^′ であることより

⟨ψJ,k|ψJ,k^′⟩L²=













∫

R

ψJ,k(t)^∗ψJ,k^′(t)dt= 0 k̸=k^′

∫

R|ψJ,k(t)|²dt= 1 k=k^′. 2)定理6.25である。

3)スケール間の直交性を示す。k, k^′∈Z, j > j^′のとき、補題6.3から、次の3通り を考えればよい。

(1) Ij,k∩Ij^′,k^′ =ϕのとき

⟨ψj,k|ψj′,k′⟩L²= 0.

(2) Ij,k⊂I_j^ℓ′,k^′のとき、I_j^ℓ′,k^′上でψj′,k′= 1. よって、

⟨ψj,k|ψj^′,k^′⟩L²=

∫

Ij,k

ψj,k(t)^∗ψj^′,k^′(t)dt=

∫

Ij,k

ψj,k(t)dt= 0.

(3) Ij,k⊂I_j^r′,k^′のとき、I_j^r′,k^′上でψj^′,k^′=−1. よって、

⟨ψj,k|ψj′,k′⟩L²=

∫

Ij,k

ψj,k(t)^∗ψj′,k′(t)dt=−

∫

Ij,k

ψj,k(t)dt= 0.

(4) j≧Jについて、ϕJ,k(x)とψj,k(x)のdiadic区間をしらべることによって、

命題6.24や3)と同様にして、k, k^′∈Z,j≧Jに対して

⟨ϕJ,k|ψj,k^′⟩=

∫

R

ϕJ,k(t)^∗ψj,k^′(t)dt= 0.

■

ドキュメント内 i 3 Mathematica Fourier Fourier Dirac Dirac Fourier Haar 7.4 (MRA) 8 R L 2 {V j } j Z j Z V j V j+1 j Z V j = L 2 (R) f(2x) V j+1 f( (ページ 178-185)