Thm 7.4 (Minkowskiの不等式). p≥1とする．次の不等式が成り立つ．
{∫
X
|f+g|pdµ }1/p
≤ {∫
X
|f|pdµ }1/p
+ {∫
X
|g|pdµ }1/p
∀f, g∈ Lp(µ).
Proof. p= 1のときは三角不等式|f+g| ≤ |f|+|g|と積分の正値性より明らか．
p > 1とする．∫
X|f +g|pdµ = 0のとき不等式は自明であるから，∫
X|f + g|pdµ >0と仮定する．さらに(a+b)p≤2p(ap+bp) (a, b≥0)という不等式に 注意すれば，
0<
∫
X
|f+g|pdµ≤
∫
X
(|f|+|g|)pdµ <∞. q=p/(p−1)とすれば，H¨olderの不等式より，
∫
X
(|f|+|g|)pdµ=
∫
X
|f|(|f|+|g|)p−1dµ+
∫
X
|g|(|f|+|g|)p−1dµ
≤ {∫
X
|f|pdµ }1/p{∫
X
(|f|+|g|)(p−1)qdµ }1/q
+ {∫
X
|g|pdµ }1/p{∫
X
(|f|+|g|)(p−1)qdµ }1/q
.
(p−1)q = pであり，|f +g|p ≤ (|f|+|g|)p であるから，両辺を{∫
X(|f|+
|g|)pdµ}1/p
6
= 0で割れば {∫
X
|f+g|pdµ }1/p
≤ {∫
X
(|f|+|g|)pdµ }1/p
≤ {∫
X
|f|pdµ }1/p
+ {∫
X
|g|pdµ }1/p
.
Thm 7.5 (完備性). p≥1，fn∈ Lp(µ) (n= 1,2, . . .)とする．
lim
n,m→∞
∫
X
|fn−fm|pdµ= 0 (7.1) となることが，
nlim→∞
∫
X
|fn−f|pdµ= 0 (7.2)
となるf ∈ Lp(µ)が存在するための必要十分条件である．
Proof. f ∈ Lp(µ)が存在し，(7.2)が成り立つとする．Minkowskiの不等式より，
{∫
X
|fn−fm|pdµ }1/p
≤ {∫
X
|fn−f|pdµ }1/p
+ {∫
X
|fm−f|pdµ }1/p
→0 (n, m→ ∞)
となり，(7.1)が従う．
逆に(7.1)が成り立つとする．まずf を構成する．自然数列n(1) < · · · <
n(k)< n(k+ 1)< . . . を
∫
X
|fn−fn(k)|pdµ <2−pk, ∀n≥n(k) (7.3) となるように選ぶ．Minkowskiの不等式を繰り返し応用すれば
{∫
X
(∑m k=1
|fn(k+1)−fn(k)| )p
dµ }1/p
≤
∑m k=1
{∫
X
|fn(k+1)−fn(k)|pdµ }1/p
となる(帰納法)．m→ ∞とすれば単調収束定理と(7.3)より
{∫
X
(∑∞ k=1
|fn(k+1)−fn(k)| )p
dµ }1/p
≤∑∞
k=1
{∫
X
|fn(k+1)−fn(k)|pdµ }1/p
≤∑∞
k=1
2−k <∞ となる．したがってA∈ Eで，µ(A) = 0かつ∑∞
k=1|fn(k+1)(x)−fn(k)(x)|<∞ (∀x /∈A)となるものが存在する．
f(x) =
fn(1)(x) +
∑∞ k=1
(fn(k+1)(x)−fn(k)(x)), x /∈A,
0, x∈A
とおく．
次に，(7.2)が成り立つことを示す．fn(k)(x)→f(x) (∀x /∈A)かつ
|f−fn(k)|p≤ ( ∑∞
j=k+1
|fn(j+1)−fn(j)| )p
≤ (∑∞
j=1
|fn(j+1)−fn(j)| )p
≤2p{|fn(1)|p+|f|p}
であるから，Lebesgueの優収束定理より lim
k→∞
∫
X
|fn(k)−f|pdµ= 0. (7.4) Minkowskiの不等式と(7.3)より，n≥n(k)ならば，
{∫
X
|fn−f|pdµ }1/p
≤ {∫
X
|fn−fn(k)|pdµ }1/p
+ {∫
X
|fn(k)−f|pdµ }1/p
≤2−k+ {∫
X
|fn(k)−f|pdµ }1/p
.
したがって 0≤lim sup
n→∞
{∫
X
|fn−f|pdµ }1/p
≤2−k+ {∫
X
|fn(k)−f|pdµ }1/p
. k→ ∞とすれば，(7.4)より
lim sup
n→∞
{∫
X
|fn−f|pdµ }1/p
= 0.
したがって
nlim→∞
∫
X
|fn−f|pdµ= 0.
演習問題
基本的に測度空間(X,E, µ)で考察する．RN が現れたときはLebesgue測度空間 を考えているものとする．
Q7.1. (i)f, g∈ L2(µ)とする．積f gは可積分であることを示せ．
(ii)µ(X)<∞とし，f ∈ L2(µ)とする．このときfは可積分であることを 示せ．
(iii) f ∈ L2(µ)が必ずしも可積分とはならない測度µおよびそのようなf の例を挙げよ．
Q7.2. p1, . . . , pn>1は∑n
i=1(1/pi) = 1を満たすとする．非負可測関数f1, . . . , fn: X →[−∞,∞]に対し，∞ ≤ ∞を許して
∫
X
|f1. . . fn|dµ≤
∏n i=1
(∫
X
|fi|pidµ )1/pi
が成り立つことを証明せよ．
Q7.3. p≥1，fn∈ Lp(µ)とする．Sn=∑n
i=1fiとおく．
(i)Sn∈ Lp(µ)となることを示せ．
(ii) ∑∞
i=1
(∫
X|fi|pdµ )1/p
< ∞とする．このときS ∈ Lp(µ)が存在し，
∫
X|Sn−S|pdµ→0となることを証明せよ．
Q7.4. (N,2N, µ)を
µ(A) = #A=Aの元の個数
で与えられる測度空間とする．この空間上のH¨older，Minkowskiの不等式 を援用して，an, bn ∈R，n= 1,2, . . .，に対し，次の不等式が成り立つこ
とを示せ．
¯¯¯¯∑∞
n=1
anbn
¯¯¯¯≤ (∑∞
n=1
|an|p
)1/p(∑∞
n=1
|bn|q )1/q
(∑∞
n=1
|an+bn|r )1/r
≤ (∑∞
n=1
|an|r )1/r
+ (∑∞
n=1
|bn|r )1/r
. ただし，p, q >1，(1/p) + (1/q) = 1，r≥1．
Q7.5. C0(RN)で連続関数f :RN →RでA >0が存在し|x|> Aならばf(x) = 0 となるものの全体を表す．C0(RN)がLp(λ)で稠密であること，すなわち，
任意のf ∈ Lp(λ)とε >0に対し∫
RN|f−g|pdλ < εを満たすg∈C0(RN) が存在することを証明せよ．
Q7.6. p, q >1は 1p +1q = 1を満たすとし，f ∈ Lp(λ)，g ∈ Lq(λ)とする．この とき
RN 3y7→
∫
RN
f(x+y)g(x)λ(dx) は連続写像であることを証明せよ．
Q7.7. H ⊂ L2(µ)は
(a)a, b∈R，f, g∈Hならばaf+bg∈H，
(b)fn ∈H，∫
X|fn−f|2dµ→0ならばf ∈H という性質を満たすとする．f ∈ L2とし，c >0を
c2= inf {∫
X
|f−g|2dµ¯¯
¯¯g∈H }
と定義する．
(i)fn∈H でlimn→∞∫
X|fn−f|2dµ=c2となるものが存在することを確 かめよ．
(ii) (i)のfnに対し
n,mlim→∞
(∫
X
¯¯¯¯f−fn+fm
2
¯¯¯¯2dµ )1/2
=c, lim
n,m→∞
∫
X
(f−fn)(f−fm)dµ=c2,
n,mlim→∞
∫
X
(fn−fm)2dµ= 0 となることを示せ．
(iii)f ∈Hが存在し，∫
X|f −f|2dµ=c2となることを示せ．
(iv)∫
X(f−f)gdµ= 0 (∀g∈H)となることを示せ．
Q7.8. f ∈ L2(µ)に対し次の等式を証明せよ．
{∫
X
|f|2dµ }1/2
= sup {∫
X
f gdµ¯¯
¯¯g∈ L2(µ),
∫
X
|g|2dµ≤1 }
. Q7.9. −∞< a < b < ∞とする．f : R→RはLebesgue可測で，[a, b]上では
f : [a, b]→Rは有界かつ連続であるとする．M = supx∈[a,b]|f(x)|とおく．
(i)fX[a,b]∈ Lp(λ) (∀p≥1)となることを証明せよ．
(ii) ε > 0に対し，Aε = {x ∈ [a, b]| |f(x)| ≥ M −ε}とおく．Aε ∈ F， λ(Aε)>0であり，∫
R|f|pX[a,b]dλ≥(M−ε)pλ(Aε)となることを証明せよ．
(iii)(∫
R|f|pX[a,b]dλ )1/p
→M (p→ ∞)となることを証明せよ．
Q7.10. fn ∈ L2(µ)は∫
Xfnfmdµ=δnm を満たすと仮定する(このような{fn}∞n=1
を正規直交系という)．∑∞
n=1a2n < ∞なる任意の実数数列{an}∞n=1に対 しSN =∑N
n=1anfn とおけば，S ∈ L2(µ)が存在し∫
X|SN −S|2dµ→0 (N → ∞)，∫
XSfndµ=an (n= 1,2, . . .)となることを証明せよ．
(このSを∑∞
n=1anfnと表す)．
Q7.11. {fn}∞n=1を正規直交系とする．f ∈ L2(µ)ならば，Besselの不等式
∑∞ n=1
(∫
X
f fndµ )2
≤
∫
X
f2dµ が成り立つことを証明せよ．
Q7.12. {fn}∞n=1を正規直交系とする．次の条件は同値であることを証明せよ．
(a)f ∈ L2(µ)が∫
Xf fndµ= 0 (n= 1,2, . . .)を満たせば，f = 0 a.e.
(b)任意のf ∈ L2(µ)に対し，
f =
∑∞ k=1
(∫
X
f fndµ )
fn. (右辺はQ7.10を参照)
(c)任意のf ∈ L2(µ)に対し，Parsevalの等式
∑∞ n=1
(∫
X
f fndµ )2
=
∫
X
f2dµ が成り立つ．
(d)任意のf ∈ L2(µ)，ε >0に対し，N ∈N，an ∈Rが存在し，
∫
X
¯¯¯¯f−
∑N n=1
anfn¯¯
¯¯2dµ < ε となる．
Q7.13. (Legendre多項式)n= 0,1,2, . . .，x∈[−1,1]に対し Pn(x) = 1
2nn!
dn
dxn(x2−1)n とおく．
(i)Pn(x) =
[n/2]∑
k=0
(−1)k(2n−2k)!
2nk!(n−k)!(n−2k)!xn−2k となることを証明せよ．
(ii) (R1,F)上の測度µをµ(A) =λ(A∩[−1,1])と定義する．
∫
R
PnPmdµ= 0 (n6=m)となることを示せ．
Q7.14. (Hermite多項式)n= 0,1,2, . . .，x∈Rに対し Hn(x) = (−1)nex2 dn
dxne−x2 とおく．
(i)Hn(x) =
[n/2]∑
k=0
(−1)kn!
k!(n−2k)!(2x)n−2k となることを示せ．
(ii) (R1,F)上の測度µをµ(A) =
∫
A
e−x2λ(dx)と定義する．
∫
R
HnHmdµ(dx) = 0 (n6=m) となることを示せ．
Q7.15. (Laguerre多項式)α >−1とする．n= 0,1,2, . . .，x >0に対し Lαn(x) =exx−α
n!
dn dxn
(e−xxn+α)
とおく．
(i)Pn(x) =
∑n k=0
Γ(n+α+ 1) Γ(k+α+ 1
(−x)k
k!(n−k)! となることを証明せよ．
(ii) (R1,F)上の測度µをµ(A) =∫
A∩(0,∞)xαe−xλ(dx)と定義する．
∫
R
LαnLαmdµ(dx) = 0 (n6=m) となることを示せ．