Deligne の原理 A

本小節では，定理3.9^{の証明の第}3段階で得られる結果，すなわち「CM^アーベル 多様体の場合には定理 3.9 の主張が正しい」という定理を紹介する．ここで扱う内 容については，証明を省いて結果のみを述べるものも多い．興味のある読者は，原著 [DMOS82, Chapter I, §§3–5] を参照して頂きたい．

Deligneは「考えているコホモロジー類が絶対Hodgeサイクルかどうかを群作用

の言葉で与えられた条件で判定できる」ということを主張する，“Principle A"^と呼ば れる定理を証明した．

事 実 3.15^{（ 原 理} A, Deligne [DMOS82, Chapter I]^） Λ を 有 限 集 合 と す る ． {Xα}α∈A を C上の滑らかな射影的代数多様体の族とする．各 α ∈ Λ に対して，

部分集合Mα⊆Z∩[0,2 dimXα]^{を固定する．}I を空でない有限集合とし，各i∈I に対して，テンソルTi∈T^と絶対Hodge^サイクルti∈Tiが与えられているとする．

G^を直積群 ∏

α∈Λ

∏

m∈Mα

GL(H^m(Xα(C),Q))×Gm

に於ける{ti}i∈I の固定化部分群とする^*15．t^をTに属するテンソルの元とし，更に t^はGの作用で不変であると仮定する．このとき，t^は絶対Hodge^{サイクルである．}

事実 3.16^（Deligne [DMOS82, Chapter I, §5]^） Λ^{を有限集合とする．}{Xα}α∈Λ

をC^上のCMアーベル多様体の族とし，T :=T({(Xα,{1})}α∈Λ) ^とおく．T^に属

*15ただし，(α, n)6= (β, m)^{のとき，群}GL(H^m(Xα(C),Q))^はQ(r)^及びH^m(Xβ(C),Q)^に自明 に作用するものとする．一方，各ν∈GmはH^m(Xβ(C),Q)^{には自明に作用し，}Q(r)^にはν^−r 倍写像で作用しているとする．

するテンソル内の埋め込みid^に関するHodge^{サイクル全体の集合を}CH(T)^とおき，

絶対Hodge^{サイクル全体の集合を}CAH(T)^とおく．GH 及びGAH をそれぞれ，直

積群 ∏

α∈Λ

GL(H1(Xα(C),Q))×Gm

に於けるCH(T)^とCAH(T)の固定化部分群とする．このとき，GH =GAH が成り 立つ．

事実3.16の証明の概要 定義より，GH ⊆GAHであることは明らかなので，GH ⊇ GAH であることを示せばよい．GHとGAH は共に「Aαたちの自己準同型」という

絶対Hodgeサイクルを固定するので，どちらもトーラスであることが分かる．従っ

て，余指標群^*16の包含関係Y(GH) ⊇Y(GAH)が成立することを示せばよい．これ は以下で述べる定理3.18^{を用いて具体的な絶対}Hodgeサイクルを構成して，それら への作用を見ることで示すことが出来る．

ここで，「分裂するE^反線型Hermite形式」という概念を定義しておこう．

定義 3.17^{（分裂する}Hermite^形式） d^{を正の整数，}V ^をd^次元E ^{ベクトル空間，}

H ^をV ^{上の非退化}E ^反線型Hermite^{形式とする．}E ^{の最大総実部分体を}F ^と書 く．各埋め込みσ:F ,→R^{に対して，}Hermite^形式H^からC=E⊗F (R, σ)^上の ベクトル空間Vσ := V ⊗F (R, σ)^の上のC^反線型Hermite^形式Hσが定まる．Hσ

の符号を(aσ, bσ)^{とおく．また，}Hermite^形式H^から1^次元E^{ベクトル空間}∧d EV 上のE ^反線型Hermite^形式∧H^{が定まる．基底を}1^{つ固定して，}∧d

EV ^をE ^と同 一視すると，あるf ∈F^{×が存在して，任意の}x, y∈E^に対して

∧H(x, y) =f x¯y

が成立する．このようなf のF^×/N_E/F(E^×)における像をdisc(H)と書き，Hの 判別式と呼ぶ．尚，disc(H) ^は∧d

EV の基底の取り方に依らない．以上の設定の下 で，(V, H)^{に関する次の}2条件は同値であることが示せる([DMOS82, Chapter I, Corollary 4.2])^．

(1) ^{任意の埋め込み}σ:F ,→R^に対してaσ =bσが成立し（従ってd^{は偶数である} ことに注意），更にdisc(H) = (−1)^{d/2が成り立つ．}

*16G^{を代数群とするとき，}Y(G) := Hom(Gm,G)^をG^{の余指標群と呼ぶ．}

(2) H^に関するd/2次元の完全等方部分空間が存在する．すなわち，V ^のd/2^次元 E^部分空間W ^{で，任意の}w∈W ^に対してH(w, w) = 0となるものが存在する．

(V, H)^{がこの同値な}2^{条件を満たすとき，}Hermite^形式H^{は分裂するという．}

例 d^{を正の偶数とし，}E^d上のE ^反線型Hermite^形式H0を H0((xi)i,(y)i) :=

∑d/2

i=1

(xiy¯_i+^d

2 +x_i+^d

2y¯i)

で定めると，H0は分裂する非退化E^反線型Hermite形式である．実は，分裂する 非退化E ^反線型Hermite^{形式を持つ}E ^上d^{次元の任意の}Hermite^空間(V, H)^は (E^d, H0)^{と同型になる}([DMOS82, Chapter I, Proposition 4.1, Corollary 4.2(^の証 明)]^{を参照せよ})^．

定理 3.18^（[DMOS82, Chapter I, Theorem 4.8]^） A ^を C^{上のアーベル多様} 体 ，E ^を CM ^{体 と し ，}v: E −→ End(A) ⊗Z Q を 環 準 同 型 写 像 と す る ．d :=

dimEH¹(A(C),Q) ^{とおく．次の}2 ^{条件を満たす} A ^の偏極 θ ^{が存在すると仮定} する．

(a) θ^のRosati^対合はEの複素共役と一致する．

(b) ^分裂する H¹(A(C),Q) ^上のE ^反線型Hermite^形式φ^とf¯= −f ^{を満たす元} f ∈E^{×が存在して，}ψ(x, y) := TrE/Q(f φ(x, y))^が偏極θ^{に対応する}Riemann 形式になる．

このとき，H^d(A(C),Q)の部分Q^{ベクトル空間}Ä∧d

EH¹(A(C),Q)ä

(d/2)の全ての

元は絶対Hodge^{サイクルである．}

証明 定理3.18^{の証明は，前節の定理}2.4の証明と全く同様な，連結志村多様体を 用いた議論で示される．

n:= [E :Q]^とおき，OEのZ^{加群としての基底}e1, . . . , enを固定する．各e∈ OE

に対して，OEにおける「e倍写像」の基底e1, . . . , enに関する表現行列をM(e)と 書く．

V :=H¹(A(C),Q)^とおき，

h0:C−→End_R(V ⊗QR) = End_R(Lie(A/C))

を A^{の複素構造から定まる}R代数の準同型とする．条件(a), (b)^{を満たす偏極}θ をとる．G0をE ^上のHermite^形式φ^を保つResE/QSL(V;E)^{の部分群とし，}X₀⁺ を h0 のG0(R)共役類とする．このとき，組(G0, X₀⁺) は連結志村データになる．

‹G0:= Sp(V;ψ)^とおき，h0のG‹0共役類をX‹₀^{+とおく．}N ∈Z≥3とし，V ^のZ^格 子L:= H1(A(C),Z)^に関するG0(Q)^と‹G0(Q) ^の法N 合同部分群をそれぞれ，Γ, Γeとおく．このとき，連結志村データの埋め込み(G0, X₀⁺),→(‹G0,X‹₀⁺)により，連 結志村多様体の埋め込み

S := ShΓ(G, X)−→Sh_Γe(‹G,X)‹ ⊆ AdimA,K(N)

が定まる．この射で普遍アーベル多様体を引き戻すことで，S^{上のアーベルスキーム} π:X −→S が定まる．このアーベルスキームについて次が成立する．

(i) h0∈X₀^{+の像となる}S^の点をs0とおくと，Xs0 'A^{が成立する．}

(ii) ^任意の点s∈ S(C)^{に対して，}Xs は埋め込みE −→ End(Xs)⊗ZQ^と条件 (a), (b)^{を満たす偏極を持つ．}

(iii) ^ある点s1∈S^{が存在して，}Xs1 'A0⊗ OE が成立する．ただし，A0はd/2 次元のアーベル多様体であり，A0⊗ OEはA0のn^{個の直積に}e∈ OE の作 用をidA0⊗M(e) で定義したアーベル多様体である^*17．

φ^{は分裂する}Hermite^{形式なので，}V ⊗E⁺ R^{上の符号は}(d/2, d/2)^{である．これに} 注意すると，W := HomE(V, E)とおくとき，自然な同型

(2πi)^d/2

∧d E

W '(2πi)^d/2

∧d E

H¹(A(C),Q)⊆H^d(A(C),Q)(d/2)∩H^d/2,d/2(A) が成立する．定義より，(2πi)^d/2∧d

EW ^には群Γ⊆SL(V, E)が自明に作用するので，

定理2.13の証明と同様な議論により，任意の元t∈(2πi)^d/2∧d

EW ⊆∧d

C(W ⊗EC) はGauss–Manin接続について水平な大域切断et∈Γ(S,∧d

EH¹(X/S))(d/2) ^にのび る．更に次の主張が示せる．

主張 3.19 ts1はA0⊗ OE/C^の絶対Hodge^{サイクルである．}

*17このような点s1の存在は，E^{ベクトル空間}V ^のHermite^形式φに関する直交基底を取れば，命 題2.15^{の証明における「}CM楕円曲線の直積と同種なアーベル多様体に対応する点の存在の証明」

と同様な議論で示せる．

主張3.19^の証明 B :=A0⊗ OE とおく．σ:C,→Cを任意の埋め込みとする．こ のとき，自然な写像による可換図式

H^d(σA0(C),Q)(d/2)⊗QE //

'

H_A^d(σA0/C)(d/2)⊗QE

'

Ñ ∧d E⊗(C×Af)

H¹(σB(C),Q) é

(d/2) //

Ñ ∧d E⊗(C×Af)

H_A¹(σB/C) é

(d/2)

 _

H_A^d(σB/C)(d/2)

が成立する．これらの可換図式から埋め込みι:C_AH^d (A0)⊗QE ,→ C_AH^d (B)^が定 まる．A0はd/2次元の射影的代数多様体なので，C_AH^d (A0) ' H^d(A0,Q)(d/2)^が 成り立つ．実際，これは次の議論から確かめられる．x ^を A0 の任意の閉点とす るとき，C_AH^d (A0) ^{はサイクルの像} [x] 6= 0 ^{を含むので，}C_AH^d (A0) 6= 0 ^である．

C_AH^d (A0) ^{は定義より，自然に}H^d(A0,Q)(d/2)^の Q部分ベクトル空間と見做せ，

dim_QH^d(A0,Q)(d/2) = 1^なので，C_AH^d (A0) 'H^d(A0,Q)(d/2)^{が従う．このこと} から，

ts1 ∈

Ñ ∧d E⊗(C×Af)

H_A¹(B/C) é

(d/2) =ι(C_AH^d (A0)⊗QE)⊆C_AH^d (B) が成り立つことが分かる．これで，主張3.19^{が示された．}

以上の議論により，定理3.13^{が適用でき，}t=ets1 も絶対Hodge^{サイクルである} ことが分かる．これで，定理3.18^{の証明が完了した．}

事実3.15^と事実3.16^{から次の系が従う．}

系 3.20 ^事実3.16 の仮定と記号設定のもとで，CH(T) =CAH(T)^{が成り立つ．}

系 3.21 X^をL^上のCMアーベル多様体とする．このとき，任意のp≥0^と任意 の埋め込みσ:L ,→C ^{に対して，}C_H^2p(X/L;σ) =C_AH^2p (X/L) ^{が成り立つ．}