絶対 Hodge サイクルと周期

本小節では，定理3.9^を用いてp=q^{の場合の定理}2.4 の別証明を与える．すなわ ち，次を示す．

「p ^{を正の整数とし，}(A,Φ)^を (p, p) ^型の o^{乗法を持つ} Q^{上の任意のアー} ベル多様体とする．ω, ν ∈ H_dRⁿ (A/Q) \ {0} ^{をそれぞれ，}Φ ^{から誘導さ}

れる k^{× の作用に関する指標} χⁿ, χ¯ⁿ の固有ベクトルとする．このとき，

P(ω)∼P(ν)∼(2πi)^{p が成立する．」}

証明 V^∗ := Homk(H1(A(C),Q), k) ^とおき，{ξi}ⁿi=1 をV ^のk^{基底とする．この} とき，2^つの(p, p)^形式

Ω : =ξ1∧ · · · ∧ξp ∈H^p,p(A_C) Ω : = ¯ξ1∧ · · · ∧ξ¯p ∈H^p,p(A_C)

が定まる．定義よりΩ^とΩ^{はそれぞれ指標}χⁿ,χ¯ⁿの固有ベクトルであり，

(2πi)^p(Ω + Ω),(2πi)^p

√−d (Ω−Ω)∈C_H^2p(X/C; id_C)

が成り立つ．従って，(2πi)^pΩ^と(2πi)^pΩ^はC_H^2p(X/C; id_C)⊗Qk^{に属するので，定} 理 3.9^と事実3.10^より，

(2πi)^pΩ,(2πi)^pΩ∈C_AH^2p (A/C)⊗Qk=C_AH^2p(A/Q)⊗Qk⊆H^2p(A/Q) が成立する．よって，

P(ω)∼P(2πiΩ)∼(2πi)^p P(ν)∼P(2πiΩ)∼(2πi)^p が得られる．

注意 3.22 ^{上記の証明の鍵は，}C^{上で解析的に構成した}(2πi)^p(Ω + Ω)^{というコホ} モロジー類が「Hodgeサイクルである」というC上の解析的な話だけで確認可能な 条件で，実はQ^{上で定義された}de Rhamコホモロジー類であることが分かったと いう部分である．

付録 A De Rham コホモロジー

本付録ではde Rhamコホモロジーの理論の復習と補足を行う．A.1^{節で，代数多} 様体，複素解析的多様体の上のde Rhamコホモロジーの定義を復習する．A.2^節で はHodge分解について復習する．A.3^{節では，代数曲線の}de Rham^{コホモロジーを} 第二種微分形式と呼ばれる有理微分形式を用いて記述する．この第二種微分形式を用 いた記述は，付録C^でFermat曲線の周期を計算する際に用いられる．

A.1 De Rham 複体と de Rham コホモロジー

まず，（代数的な）de Rhamコホモロジーの定義を思い出そう．

定義 A.1 F ^{を任意の体とし，}X^をF 上の滑らかな射影的代数多様体とする．この とき，de Rham^複体Ω^•_X/F ^{の超コホモロジー}

H_dRⁱ (X/F) :=Hⁱ(X,Ω^•_X/F) を代数多様体X/F ^のde Rham^{コホモロジーと呼ぶ．}

注意 A.2 超コホモロジーに伴う第1^{スペクトル系列}

E₁^p,q=H^q(X,Ω^q_X/F) =⇒H^p+q(X,Ω^•_X/F) =H_dR^p+q(X/F)

を Hodge to de Rham ス ペ ク ト ル 系 列と 呼 ぶ ．こ の ス ペ ク ト ル 系 列 か ら H_dRⁱ (X/F)に下降フィルトレーションF^•H_dRⁱ (X/F)が定まる．このフィルトレー ションはHodgeフィルトレーションと呼ばれている．A.2^{節で紹介する}Hodge^分 解の帰結として，このフィルトレーションはE1退化することが分かる．従って，自 然な同型

gr^pH_dR^p+q(X/F) :=F^pH_dR^p+q(X/F)/F^p+1H_dR^p+q(X/F)'H^q(X,Ω^p_X/F) が成立する．

注意 A.3 定義A.1の状況で，F =Cとする．このとき，正則微分形式の層のなす 複体Ω^•_Xan ^{を用いて，解析的な}de Rham^{コホモロジー}

H_dRⁱ (Xan) :=Hⁱ(Xan,Ω^•_Xan) が定義できる．代数的なHodge to de Rham^{スペクトル系列}

E₁^p,q =H^q(X,Ω^q_X/C) =⇒H_dR^p+q(X/C) から解析的なHodge to de Rham^{スペクトル系列}

E₁^p,q=H^q(Xan,Ω^q_Xan) =⇒H_dR^p+q(Xan)

への自然な射が存在する．今，Xは射影的な代数多様体であるため，Serre^のGAGA の原理により，各E₁^{p,q項は同型になる}([Ser56])^{．従って自然な同型}

H_dRⁱ (X/C)'H_dRⁱ (Xan)

が成り立つ．本稿では，この同型により代数的なde Rhamコホモロジーと解析的な

de Rhamコホモロジーを同一視する．

X^をC^{上の滑らかな}n次元射影的代数多様体とする．各点x∈Xanに於いて，正 則な局所座標近傍

(z_x⁽¹⁾, . . . , z_x⁽ⁿ⁾) :Ux −→Cⁿ

を固定しておく．Xan上のC^値C^{∞級関数の層を}CX^∞と書き，C^値C^{∞級微分形式} の層なす複体をA^•Xと書く．1^{次微分形式の層}A¹Xは直和分解

A¹X =A^1,0X ⊕ A^0,1X

を持つ．ここでA^1,0_X ^は各点x^{の近傍において，}∑n

j=1f dzx^(j)(^各fiはC^∞級関数)^と いう形をした微分形式のなす層であり，A^0,1X は各点x^{の近傍において，}∑n

j=1f d¯z^(j)x

(^各fiはC^{∞ 級関数}) という形をした微分形式のなす層である．各p, q∈ Z≥0に対 して，

A^p,qX :=

∧p CX^∞

A^1,0X ⊗C^∞X

∧q C^∞X

A^0,1X

と定める．このとき，各r∈Z≥0に対して直和分解 A^rX = ⊕

p+q=r

A^p,qX

が得られる．A^•_X^,•は2方向の微分射

∂^p,q:A^p,qX −→ A^p+1,qX ; ω7−→dω^のA^p+1,qX 成分

∂^p,q:A^p,qX −→ A^p,q+1X ; ω7−→dω^のA^p,q+1X 成分 により二重複体をなす．次の事実が知られている．

事実 A.4 ^任意のi∈Z≥0に対して，自然な同型

H_dRⁱ (Xan)'Hⁱ(Xan,A^•C)'Hⁱ(Γ(Xan,A^•X))'Hⁱ(X(C),C)

が成立する．ここで，Hⁱ(Γ(Xan,A^•X))^はC^{ベクトル空間の複体}Γ(Xan,A^•X) ^のコ ホモロジーである．

証明の概要 CX^∞はXanの任意の開被覆に対して1^{の分割をもつので，各}A^p,qX とA^rX

は Xan 上の細かい層 (fine sheaf, ^例えば [Voi02, Definition 4.35])^{である．従っ} て，これらの層は大域切断をとる関手Γ(Xan,−) ^{について非輪状}(acyclic) ^である ([Voi02, Proposition 4.37])^{．この事実と}Poincaré^{の補題により，複体}A^•Xは定数層 Cの非輪状な対象による分解を与えるので，同型Hⁱ(Γ(Xan,A^•X))'Hⁱ(X(C),C) が成立する^*19．また，A^•X は二重複体 A^•X^,• の全複体(total complex)^{であること} と，Dolbeault ^複体 A^0,X^• が完全列であること ([Voi02, Proposition 2.36])^から，

Ω^•_Xan −→ A^•_X^{,• は解析的}de Rham 複体の分解を与えていることが分かり，同型 H_dRⁱ (Xan)'Hⁱ(Γ(Xan,A^•X))が得られる．

定義 A.5 微分形式によるサイクルの積分

Hⁱ(Γ(Xan,A^•X))×Hi(X(C),Z)−→C; (η, γ)7−→

∫

γ

η により，双加法的写像

H_dRⁱ (Xan)×Hi(X(C),Z)−→C (A.1) が誘導される．

注意 A.6 ^写像(A.1)^{から誘導される写像}

H_dRⁱ (Xan)−→Hom_Z(Hi(X(C),Z),C)'Hⁱ(X(C),Z)

は事実 A.4 の同型写像と一致する．（この事実の詳細については，例えば [Voi02, Remark 4.48]^{を参照せよ．）}