Cauchy の 4 面体と Cauchy 応力の物理的意味

そこで,一般にnとして基底ベクトルe₁,e₂,e₃ をとったときの応力ベクトルを, それぞれt₁,t₂,t₃ とする. そしてt₁,t₂,t₃ を基底で分解したときの成分をT_ij であ らわす.

t₁ =T₁₁e₁+T₁₂e₂+T₁₃e₃ (6.3) t₂ =T₂₁e₁+T₂₂e₂+T₂₃e₃ (6.4) t₃ =T₃₁e₁+T₃₂e₂+T₃₃e₃ (6.5) 総和規約を使って表現すると

t_i =T_ije_j (6.6)

このT_ij の意味については後述するが,言葉の定義として, T₁₁, T₂₂, T₃₃ を垂直応力, T₁₂, T₂₁, T₂₃, T₃₂, T₃₁, T₁₃ をせん断応力と呼ぶ.

注 6.1. 注 6.0材料力学で学んだ垂直応力は,軸に直交する断面,すなわち法線が軸に平行な断 面でで切断したときの単位面積当たりの力なので, 式(6.2)は感覚的にも理解できる. また、せん 断応力は,軸に平行な法線で切断したとき、法線方向の荷重が0で,面内にのみに力が作用してい るということで,式にすれば以下のようになると考えられるが,第2式は実は成立しない. この理 由については後述する。

断面法線:n=e₁ t₁= 0·e₁+ 1·e₂+ 0·e₃

断面法線:n=e₂ t₂= 0·e₁+ 0·e₂+ 0·e₃ · · · ?

断面法線:n=e₃ t₃= 0·e₁+ 0·e₂+ 0·e₃ · · · ? (6.7)

T_ij にテンソルとしての基底 e_i⊗e_j をつけた

T =T_ije_i⊗e_j (6.8)

を Cauchy 応力テンソルと呼ぶ. Cauchy 応力テンソルもテンソルなので座標変換

ができる. また後述するCauchy の第2運動法則によって,対称テンソルであるこ とが証明でき, したがって, 固有値はすべて実数である. この固有値のことを主応 力, 対応した固有ベクトルのことを主応力方向と呼ぶ.

6.3. Cauchyの 4 面体と Cauchy 応力の物理的意味 51 と同値である. すなわち式(6.15) を応力の定義と考えたとき, ある基底で分解した T の成分は

t_i =T_ije_j (6.10)

の関係式を満たすと考えたほうがすっきりする. 今回は式(6.10)を定義として,式 (6.15) を導いてみよう.

以下のような微小 4 面体 (Cauchy の4面体)が静止しているとして, 力の釣り 合いを考える. 面ABCの重心の法線ベクトルを nとして, 応力ベクトルを t_n と する. 厳密に言うとt_nは三角形ABCの内部で変化するが,微小なので一定値をと るとする. すなわち面積をΔsとして,

ABC

t_ndS =t_nΔs (6.11)

である. また, 平面の法線ベクトルを −e₁,−e₂,−e₃ として三角形ABCの重心 を通るように切断した際に得られる応力ベクトルを−t₁,−t₂,−t₃とする. やはり 厳密に言うと異なるが微小なので,これらは三角形OCB, OAC, OBAの重心にお ける応力ベクトルとみなすことができ,さらに三角形OCB, OAC, OBAの面積を Δs₁,Δs₂,Δs₃とすると

OCB

t₁dS =t₁Δs₁,

OAC

t₂dS =t₂Δs₂,

OBA

t₃dS =t₃Δs₃ (6.12)

x₁ x₂

x₃

−t₁

−t₂

−t₃ t_n

Δs Δs₁

Δs₂ Δs₃

A C B

O

密度をρ,体積をΔv,物体の加速度a,作用している体積力をgとすると, Cauchy の4面体に作用する力のつりあいは以下のように表すことができる.

ρ(a−g)Δv =t_nΔs−t₁Δs₁−t₂Δs₂−t₃Δs₃ (6.13)

ただし, この式は上述のように微小な場合のみ成立する. 厳密には, 4つの三角形 の内部でそれぞれ応力ベクトルも分布し, 4面体の内部では体積力や加速度が分布 する. 全体を Δs で割ると, Δv/Δs →0 である. 注6.3 に示す計算により下式を 示すことができる.

Δs_i/Δs =n_i (6.14)

以上より, n=n_ie_i から

t_n =t₁Δs₁

Δs +t₂Δs₂

Δs +t₃Δs₃ Δs

=t_in_i

=T_ije_jn_i

=T_ij(e_j ⊗e_i)n_ke_k

=T^T ·n (6.15)

これを Cauchy の公式と呼ぶ. これは,T^T が任意のnをその面に作用する応力ベ

クトル t_n に変換することを示している. これをCauchy 応力の定義とする教科書 もある.

注 6.2. 式(6.15)を導くときには, (e_i⊗e_j)·e_k =δ_jke_i を利用して、

t_n=t_in_i

=T_ije_jn_i

=T_ije_jδ_ikn_k

=T_ij(e_j⊗e_i)n_ke_k

=T^T ·n

注 6.3. A, B, Cのそれぞれの座標を{a,0,0},{0, b,0},{0,0, c}とする．また記述の簡略化のため に−→

CA=a,−−→

CB=bとする．nは，a,bの外積を正規化して得られる．即ち，

a×b=

⎧⎨

⎩ a 0

−c

⎫⎬

⎭×

⎧⎨

⎩ 0 b

−c

⎫⎬

⎭=

⎧⎨

⎩ bc ca ab

⎫⎬

⎭, n= 1

√b²c²+c²a²+a²b²

⎧⎨

⎩ bc ca ab

⎫⎬

⎭ (6.16)

側面の面積はΔs₁= ¹₂bc,Δs₂= ¹₂ca,Δs₃= ¹₂ab ,また斜面の面積はΔs=¹₂|a×b|なので, Δs= 1

2

%

b²c²+c²a²+a²b² (6.17) これより，

n₁=Δs₁

Δs, n₂=Δs₂

Δs, n₃= Δs₃

Δs (6.18)

が得られる．