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電力をつくる。通常，交流の起電力は，
E
b またはv B により，直流の起電力はE
e で作られる。クーロン電界については(3-8)より閉路での線積分値が 0 になるから，(3-4)の
E
all E
c E
ncを 用いてe all
V
CE tdl
(3-17)と表すこともできる。図3-4に起電力の積分路を示す。
E
ncはE
allでもよい。C
c b
0
E E E
となる。孤立した導体に外部から電界
E r
1( , ) t E
c E
bを加えると，導体の自由電子は導体表面に移動 して，導体内の電界を0にする。導体内に少しでも電界が残っていると自由電子に⑤の力が働き 動くからである。電界E r1( , ) t
はオームの法則が成立する範囲で時間的に変化しても良い。これを 静電誘導（もともと時間的に変化しない静電界の場合に使われる言葉であるが）という。E1
E1
E1
E2
E2 1 20
E E E1
E2
図3-5 静電誘導
導体の性質2 導体の電位
非クーロン電界
E
ncが0であれば，(3-18)よりクーロン電界E
c 0
となる。導体上の点Aと点 B間の電圧はクーロン電界を用いて⑩よりBA B c
0
V
A E tdl
(3-19)となる。よって，非クーロン電界
E
ncが0であれば，クーロン電界も0となるので導体は至る所 で同電位である。図 3-1 (b)の電気回路では，素子と素子の間の導線は至る所で同電位と考える。同電位と考えてはいけない場合としては，数 m の電線では周波数がおよそ 1MHz 以上の場合が ある。この場合電気回路では分布定数回路として取り扱う。これは誘導電界
E
bが無視できなくな るためで，導線もインダクタンスをもつ。また導体が動く場合も同電位と考えてはいけない。導体の性質3 導体の内部の電荷
導体の内部に何らかの方法で電荷を持ち込んだとしても，互いに反発して，電荷は導体表面に 集まる。すなわち導体の内部の電荷はたとえ電流が流れていても0と考えてよい。
仮に，導体中の自由電荷密度が時間
t
0
で ( , 0) r
に分布しているとし，時間が経過すればど うなるか調べてみよう。ただし，非クーロン電界E
ncは0, よってE E
cとする。⑥より，
D E
cで（
は一定と仮定），これを①に代入して div E
c ( , ) r t
となる。⑧ よりi E
cだから，( / ) div i ( , ) r t
となる。これを，⓪に代入して
( , )
( , ) t 0
t t
r r
これを解いて，
( , ) ( , 0)
t
t e
r
r ただし，時定数
(3-20)金属の誘電率は測定できず，およそ真空中の誘電率
0に等しいと考えられている。表2-1より，50
銅では
1.54 10
19となる。極めて短い時間で導体内の電荷は 0となることを意味する。しかしながら，前提となるオームの法則
i E
cが成立するのに10
14s
よりも十分大きい時間が必要 と言われている(12)。よって，電荷が再配置するのに必要な時間は10
10s
程度と考えれば十分であ ろう。なお，(3-20)はわずかでも電流が流れるなら絶縁物においても成立するので，(3-20)の時定 数で長くなるがいずれ絶縁物内部の電荷も0になる。導体の性質4 導体表面の電界
(2-64)で述べたように完全導体の表面では，電界は面に垂直であり，ガウスの法則①’は常に成 立するから，その大きさは
E
/
あるいはD
である（第 4 章で詳しく述べる）。ここで[C/m ]
2
は境界面の面自由電荷密度である。○ 抵抗
次に図 3-1の抵抗に成り立つオームの法則を説明する。抵抗は回路につながれて，電流I が流 れているとする。抵抗の断面積を
S [m ]
2 ，長さをl [m]
とする。抵抗の両端 A,B には，自由電荷 があり，抵抗の中に一様なクーロン電界E
cを作っていると考えられる。抵抗も金属であり，抵抗 の中の自由電荷密度
は0である。E
cにより負の電荷（ e
）をもつ電子が力 e E
cを受ける（⑤より）。電子の質量を
m [kg]
とすると加速度は e E
c/ m
となる。加速度が一定の場合，速度は時 間に比例して増加するが，自由電子は熱振動している陽イオンと衝突を繰り返すため，平均時間T
ごとに図3-6の様に変化するとしよう(25)。平均速度は
v e E
cT /(2 ) m
となる。自由電子が単位 体積当りn
個あるとすると，電荷密度はen
であるから，伝導電流密度iは次式となる。2
2
cen e Tn
m
i v E
(3-21)となる。導電率
Rを2 R
2
e Tn
m
(3-22)とすると
i
RE
c (3-23)が成り立つ。これは⑧のオームの法則に相当する。
A点から見たB点の電圧は，⑩より
B
c c
V
A E tdl
El
(3-24)となる。A→Bの積分路を抵抗の中にとると，
t
はE
cと逆方向である。電流密度については，面S
と垂直の向きにnをとると，電流密度iの向きと一致するので
I
S i ndS
iS
(3-25)である。(3-23)の大きさを考え，(3-24)，(3-25)を代入すると
R
V l I
S
(3-26)となる。これはオームの法則に他ならない。抵抗は次式で与えられる。
R
R l
S
(3-27)電磁気学では，⑧もオームの法則と呼ぶ。
Εc
l
S
vi Εc
Εc
I
V
t
A
B
T
v 3 T
0 2T
時間速度（絶対値）
eEc
m T
図3-6 オームの法則の説明
○ 電源と抵抗の接続
最後に電源と抵抗の接続について考える。
まず，図3-7(a)に示すように，スイッチSをオフして電池だけを考える。
電池を簡単なモデルとして考えよう。電池は＋極から－極に，電池の中の電子を動かす働きが ある（あるいは正電荷を－極から＋極に動かす働きがあると考えても良い）。すなわち，電池は起 電力という力を電子に働かせる。これは化学的に電子に及ぼす力で，非クーロン電界
E
eを作っ て，電子に力を及ぼすと考えることができよう。この結果，－極には電子が増加し，その分＋極 には電子が少なくなって＋に帯電される。しかし，電子の移動がずっと続くことはない。なぜな ら，両極にたまった電荷によって，電池の中にクーロン電界E
cがE
eと逆向きに生じるからであ る。最終的にはc
e
E E 0
(3-28)で電子の動きは止まる。このとき，電池の－極から見た＋極の端子電圧は⑩より
B c
V
A E tdl
(3-29)である。電圧はクーロン電界に対して定義されていることに注意しよう。一方，起電力について は，⑩より
e e B e
C A
V
E tdl
E tdl
(3-30)である。本来起電力は閉曲線での積分だが，
E
eは電池の中しかないので，その部分だけでよい。(3-30)に(3-28), (3-29)を用いると
V
e V
(3-31)52
が成り立つ。つまり起電力
V
eと端子の電圧V
は等しい。図3-1(b)で，抵抗を接続しない場合には 電流が流れないからR I
0 0
で，(3-31)が成り立ち，モデルが妥当であることが判る。ここで，V
eにつけた矢印は，起電力を測る
t
の向きを表すものである。ところが，(3-31)が成立つので回路の 電圧につける矢印（矢印の先端の電位から根の電位を引く）とみなすこともできる。次に，スイッチSをオンし時間が経過した図3-7 (b)の場合を考える。
電流が流れる回路に沿って，
E
allの線積分を考える。電線は完全導体と仮定すると，(3-18) より導体中のE
allは0
と考えて良いので，その線積分は0になる。従って，積分路Cを図3-7(c) に示すように選ぶと次式が得られる。B
( )
Aall e c e e
C
dl
C dl
dl
V
E t
E E t
E t （
CE tcdl
0
より） (3-32)一方， B A'
A
( )
B'all e c c
C
dl
dl
dl
E t
E E t
E tB A '
A B'
R
dl dl
i t i t
⑧よりR I
0R I
(3-33),
R
はそれぞれ電源と抵抗の導電率である。抵抗は(3-27)と同様に考え，R
0は電源の内部抵抗で ある。 (3-32), (3-33)が等しいので次式が得られる。電池 抵抗
＋極
ー極
電子
S
Εc Εe
電池 抵抗
＋極
ー極
電子
S
Εc Εe
Εc