第 4 章 数値解法 82
4.4 乱流モデル
4.4.2 Baldwin-Lomax モデル
(b) 渦粘性係数(乱流粘性係数)の導出
この章の始めに述べたが，このモデルでは渦粘性係数を求めるのに，境界層の内層(inner layer)と 外層(outer layer)に分けて次のように考える．
内層 : Prandtl-Van Driestの公式 外層 : Clauserの公式の改良
ここでは，乱流モデルの主問題となる渦粘性係数の導出の方法を説明する．乱流の影響は，渦粘性係 数(turbulent viscosity)µtの項において評価され，輸送方程式の粘性項における粘性係数は，混合長 理論より，µl+µtに置き代える事ができる．Baldwin-Lomaxモデルでは渦粘性係数µtを次の２層領 域に分け考えられる．
µt=
(µt)inner yn≤ycrossover
(µt)outer ycrossover < yn
但し，ynは壁からの垂直方向の距離，ycrossoverは，内領域(inner)外領域(outer)の各式から得られ るそれぞれの値が一致するときの ynの最小値である．
(b-1) 内層
内領域ではPrandtl-Van Driestの公式が使われる．すなわち，
(µt)inner= ¯ρl2|ω| 但し，
l=κynf f = 1−exp
Ã
−y+ A+
!
lは混合距離，fは壁面補正(減衰関数)を，またA+は定数，κはカルマン定数を示している．更に，
|ω|は渦度の大きさで，
|ω|=
¯¯
¯¯
∂u˜
∂y −∂v˜
∂x
¯¯
¯¯
また，y+はいわゆる壁法則(law of the wall)である．すなわち，
y+= ρ¯wuτyn µw =
√ρ¯wτw
µw yn (uτ = rτw
¯ ρw) 但し，添字wは壁の値を表わし，uτは摩擦速度(friction velocity)である．
(b-2) 外層
次に外領域ではClauserの公式をKlebanoffの間欠関数(intermittency function)FKLEB(yn)で補 正した次式が用いられる．
(µt)outer =KCCP·ρ¯·FWAKE·FKLEB(yn) (4.88) 但し，KはClauser定数，CCPは補正定数を示している．FWAKEは次式で示される．
FWAKE= min Ã
ymaxFmax , CWK·ymax
UDIF2 Fmax
!
(4.89)
ymaxとFmaxは次式の最大値より決定される．即ち，
F(yn) =yn|ω|{1−exp Ã
−y+ A+
!
} (4.90)
Fmaxとは，ある縦断面で発生するF(yn)の最大値のことであり，ymaxとは，その時のynの値を表 す．伴流域(wake area)において，式(4.90)の輸送項は零にセットされる．
また，間欠関数FKLEB(yn)は次式のように与えられる．
FKLEB(yn) = (
1 + 5.5
µCKLEB
ymax yn
¶6)−1
UDIFはその縦断面における速度の最大値と最小値の差である．即ち，
UDIF= (pu˜2+ ˜v2)max−(pu˜2+ ˜v2)min
UDIFの第2項は，伴流域を除いて通常零とする．外領域の公式(4.88)，(4.89)は，境界層に続く領 域および隔てた領域のみならず伴流域にも用いることができる．要するに，渦度の分布が長さ決定の ために使われることになる．従って，境界層（または伴流域）外縁を定める必要がなくなるわけであ る．なお，渦粘性係数の導出の諸関係式に現れる定数を次にまとめて示す．
κ = 0.41
A+ = 26.0 CCP = 1.6 CKLEB = 0.3 CWK = 0.25
K = 0.0168
CMUTM = 14.0
(c) 基礎方程式の変形
このBaldwin-Lomaxモデルにおいて，圧縮性流体解析の基礎方程式は次のように変形される．混
合長理論より，応力項での各応力テンソルにレイノルズ応力が加算される式は，単純に次のようにお ける．ここでは，粘性応力τij−lとレイノルズ応力を合わせて全体の応力τijとする．
τij =τij−l−ρu”v” = (µg l+µt)(∂uei
∂xj +∂ufj
∂xi −2 3δij∂ufk
∂xk)
このことより，基礎式は以下の様になる．また，各物理量でρ, pはレイノルズ平均値，その他u, Tに 関してはファーブル平均値である．
・連続の式
∂ρ
∂t + ∂(ρu)
∂x +∂(ρv)
∂y = 0
・運動量の式
[x方向] ∂(ρu)
∂t +∂(p+ρuu)
∂x +∂(ρuv)
∂y = ∂τxx
∂x + ∂τxy
∂y
[y方向] ∂(ρv)
∂t + ∂(ρuv)
∂x +∂(p+ρvv)
∂y = ∂τyx
∂x +∂τyy
∂y
・エネルギーの式
∂(ρe)
∂t + ∂
∂x((ρe+p)u) + ∂
∂y((ρe+p)v)
= ∂
∂x(uτxx+vτxy+cp³ µl P rl + µt
P rt
´∂T
∂x) + ∂
∂y(uτxy+vτyy+cp
³ µl
P rl + µt
P rt
´∂T
∂y)
この式に対して，無次元化と一般座標変換を行う．一般座標変換は，乱流モデルの有無に関わらず，
規則通り変換される．無次元化も特に注意すべきことはなく，新たにあらわれる物理量渦粘性係数µt の影響は全くない．
また，圧力を全エネルギーから求める際，必要な1/2ug00iu00i(=k)は，このBaldwin-Lomaxモデル でのRijのモデル化は，ρ¯ug00iu00i = 0となる．つまりk= 0であるため，乱流モデルの無い場合の圧力 の導出方法のまま使用される．
このように，乱流モデルを組み込んだことによる，無次元化の変更個所は全くなく組み込み前の場 合と同じになる．ここで，唯一の新たな物理量である渦粘性係数µtの無次元化は，まず全ての物理 量を有次元にし，有次元で計算を行い算出する．その後，算出されたµtを代表粘度µ0で除算し無次 元化を行う．