収束性の比較

初めに，クローンの数がn= 1298に対してクローンがポジティブである 事後確率を計算するアルゴリズムの収束性を比較する．n= 1298はKnill ら[35]による実験のシミュレーションと比較できるように選んだが，Knill ら[35]のプーリングデザインはunique collinearity conditionを満たして いない．ここで，任意の2つのプールG, H ∈ G ^に対して|G∩H| ≤1 が 成り立つときプーリングデザイン(C,G)はunique collinearity condition を満たすという．まず，本節のシミュレーションではBNPDアルゴリズム が収束することを期待して，unique collinearity conditionを満たすプー リングデザインを用いる．

(v, k)-packing は定義より unique collinearity condition を満たしてい る．すなわち，どの2 つのクローンも高々1 つのプールにしか含まれて いなく，このデザインのタナーグラフは長さ 4 の閉路を持たない．した がって，どのブロック (クローン) もk−1 個以下のブロックの和集合の 部分集合になっていない．つまり，(v, k)-packing から得られるプーリン グデザインの結合行列は (k−1)-disjunct である．

n = b = 1298 で k = 4 の packing design を用いると，式 (2.26) よ り m = v ≥ 125 でなければならない．(m, k)-packing にはさまざまな 構成法があるが，m が素数なら，有限体GF(m) から packing design を 生成する簡単な方法を用いることができる (Colbourn [14] などを参照)． m= 131とすると，m は素数である．(131,4)-packingは，下記の10 個 の各ブロックに 1を加えながら 131で割った余りを計算することにより 生成することができる．

{0,1,3,7},{0,70,79,97},{0,28,53,109},{0,32,42,126}, {0,13,43,58},{0,8,19,48},{0,20,36,85},{0,31,55,90},

{0,12,51,74},{0,33,54,71}.

この packing designは1310個のブロックを持つので，12 個のブロック を取り除いて1298個のブロックを用いる．したがって，このプーリング デザインは n = 1298 個のクローンとm(= v) = 131 個のプールを持つ

(v,4)-packing であり，3-disjunctである．つまり，プールに対する観測 値が 2 値で誤りがないなら，組合せ論的なグループテストアルゴリズム を用いると，3個のポジティブクローンまで識別できるプーリングデザイ ンである．

Knillら[35]はPCR (polymerase chain reaction)法を用いたDNAラ イブラリスクリーニングにおける偽ポジティブ・偽ネガティブの確率を実 際の観測値から次のように設定している．

p(0|0) = 0.871, p(0|1) = 0.05, p(1|0) = 0.016, p(1|1) = 0.11, p(2|0) = 0.035, p(2|1) = 0.27, p(3|0) = 0.078, p(3|1) = 0.57.

(P1)

ただし，P(s|z) =P(SG=s|ZG=z) である．観測値 SG は測定され た蛍光の強さをネガティブ(0)，弱ポジティブ(1)，中ポジティブ(2)，強 ポジティブ (3)に分類して得られており，分類の際のしきい値の設定によ りp(s|z)の値は異なる．

まず，ポジティブクローンの数をd= 1とし，誤り確率(P1)を用いて，

単独のシミュレーションを行った．BNPD，CCPD，およびMCPD の収 束性を図 3.1 に示す．各図は 2 個のクローンに対する事後確率の推定値 の収束性を示している．No. 336のクローンは事後確率の推定値が最大の クローンで，もう1 個は無作為に選んだクローンである．図3.1(1)より BNPDは数回の反復で収束していることがわかる．これは，周辺事後確 率 P(X_c = 1|S =s) の推定値がタナーグラフでクローン cからの距離 が近いプールとクローンのみに依存して主に決まることを意味している．

図 3.1(2) よりCCPD は約 30 回の反復で収束している．図 3.1(3) より MCPD は 2000 回前後の反復で安定してきているが，10000回の反復後 でも完全には収束していない．Knill ら[35] によるMCPD のプログラム の既定の反復数は 10000に設定されている．

次に，クローンの数が約 10000の場合を考え，プーリングデザインに

BIB design を用いてシミュレーションを行った．ここでは，クローンの

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

事後確率

アルゴリズムの繰り返し数 (t) Clone No. 336 Clone No. 768

(1) BNPDの場合

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

事後確率

アルゴリズムの繰り返し数 (t) Clone No. 336 Clone No. 768

(2) CCPDの場合

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 2000 4000 6000 8000 10000

事後確率

アルゴリズムの繰り返し数 (t) Clone No. 336 Clone No. 768

(3) MCPDの場合

図 3.1: n= 1298 (d= 1)のときの収束性

数が n = 10121 であるような (349,4)-design を用いる．したがって，

(n, m) = (10121,349)の場合を考える．

n= 10121の場合の BNPD，CCPD，およびMCPDの収束性は図3.2 のようになる．n= 1298の場合と同様にBNPDは数回，CCPD は約40 回，およびMCPD は3000から 10000回の反復で収束している．この値

はn= 1298の場合と大きな差はなく，したがって，どのアルゴリズムの

反復数もクローンの数には依存しないことがわかる．

次節では，packing design およびBIB design を用いたシミュレーショ ンにより，BNPDとMCPD のスクリーニング能力を比較する．