zn／＜a・，＿，am＞ニzn／〈b1，＿，bm＞
証明 行列ATはAに列基本変形を次々と行った行列である。そこで、
T・Tl…Tp（T1，＿，Tpは基本行列）とし、 AにTlからTiまでを順に右 からかけた行列を、
ATi …Ti 一 （aii），．．．， a，S（S））
と表すことにする。
このとき、（aii），＿，a卿）＝（aii−1），＿，a鏡一1））Tiより、（alの，．．．，a幻）は、
（aii−1），．．．，a鋤1））の縦ベクトルを並び替えたものか、1つの縦ベクトルの 符号を変えたもの、または補題2．5．2のように1つの縦ベクトルにほかの ベクトルのスカラー倍を加えたものである。
よって、補題2．5．2の式（2．11）より、
〈ai 一1），＿，・Sri）〉＝＝〈ai ），．．．，・鋤
であるから、
〈ai，・一．，a．〉 ＝〈aSi），．．．，afi（i）〉
一 〈ai2），．．．， aA ）〉
一〈aiP），．．．，ashP）〉 ＝ 〈bi，…，bm＞
である。以上より、zn／〈al，… ， a．〉＝zn／〈b1，＿，bm＞が示せた。 □
補題2．5．4整数n次正則行列で、行列式が土1であるものをAとする。
このとき、次の写像！は同型である。
f：zn 一〉 zn
x H一〉 f（x） ＝ Ax （x E Z ）
第2章 タイルホモロジー群 32 証明 ！が準同型であることは明らかなので、！が全単射であることを示 す。写像が全単射であることと、写像に対して逆写像があることは同値 であることから、！の逆写像があることを確かめる。、4−1が整数n次正則 行列であれば、次の写像gが定まる。
g：Zn 一〉 zn
x H g（x） ＝＝ A−ix （x E z ）
実際、n次単位行列をEn、 Aの行列式をdetA、 Aの余因子行列をAと
すると、
AA 一 （det A）En であることから、
1 ．．
AA ＝ En （det A）
となるので、
l r A−1＝
（det A）
となる。
detA ＝士1であり、Aは整数n次行列であるから、（ 1det A）Aは整数n次 正則行列である。よって、！には逆写像！一1＝・ gが存在するので！は全単 射である。
以上から、！は同型であることが示された。 □ 補題2．5．5a1，．．．，amをそれぞれznの元とする。このとき、同型な写像 f：Zπ一→Zηによって定まる、次の写像は同型である。
f ： z ／〈ai ， ． ． ． ， a．〉 一 Z ／〈f（ai）， ． ． ． ， f（a．）〉
［X］ H ［f（X）］
証明 まず、
［x］ ＝ ［y］ ＝＝〉 x−y E （al，．．．，am＞
一〉 f（x） 一 f（y） E 〈f（ai），．．．，f（a．）〉
一〉 ［f（x）］ 一 ［f（y）］ E Z ／〈f（ai），．．．，f（a，n）〉
であるから、この写像はWell−Definedである。
また、！が同型であることから、この写像は明らかに準同型であり、全 射である。
第2章 タイルホモロジー群 33
よって、この写像が単射であること、つまり！の核が｛［0］｝であること がいえれば、この写像が同型であるといえる。！の核の任意の元国につ
いて、
f（［x］） 一 ［o］ ｝ ［f（x）］ ＝＝ ［o］
一〉 f（x） E 〈f（ai），．．．，f（a．）〉 （2．12）
＝〉 xE 〈ai，．．．， a．〉 （2．13）
＝〉 ［x］ ＝ ［O］ （ Zn／〈al，．．．，a．〉
であることから、fの核は｛［0】｝である。式（2．12）から式（2．13）への変形 は、f一1を用いている。
以上より、この写像が同型であることは示された。 □ 補題2．5．3から補題2．5．5までを用いて次の定理を導く。
定理2．5．6m個のznの元（縦ベクトル）を並べたn行m列の整数行列
A＝（a1，＿，am），B＝（b1，．．．，bm）について、整数基本行列のnc S， Tを 用いて
B ＝ SAT
が成り立つとき、群zn／＜a1，．．．，am＞とzn／〈b1，．．．，bm＞は同型である。
証明 0＝ATとおき、0＝（c1，．．．，Cm）とすると、 Tは基本行列の積な ので、補題2．5．3より
Zn／〈ab．．．，am＞ ＝＝ Zn／〈cl，．．．，cm＞
が成り立つ。
次に、整数基本行列の行列式は±1なので、それらの積であるθも行列 式は土1であり、補題2．5．4よりSは、
f：zn 一一〉 zn
xH sx （x E zn， sx E zn）
である同型写像！を導く。
さらに、補題2．5．5より、この！によって定まる写像
f ， zn／〈c，， ． ． ． ， c．〉 一 zn／〈f（ci）， ． ． ． ， f（c．）〉
［X］ H ［f（X）］ ＝一 ［SX］
第2章 タイルホモロジー群 34
は同型である。ここでB＝SCより、
bj 一 f（ci） （1 SiS m， 1 S 2」 〈一 m，iE Z， 2 E Z）
なので、以上をまとめて
zn／〈a1，＿，。m＞一Z・／〈C15＿，。m＞ 工Z・／〈b、，＿，bm＞
［x］N［x］ 4［sx］
であるから、上の写像は同型である。 〔コ これらのこと及び定理2．4．2の単因子論から、次の定理を得る。
定理2．5．7n行m列の整数行列A＝（a1，．．．，am）について、 Aの単因子
がbl，＿， brならば、
Z ／〈ai ， ． ． ． ， a．〉 or Z／biZ × ・ ・ × Z／ brZ × IZ一）．S一：〈． EZIX Z
n−r個 が成り立つ。
証明 定理2．4．2により、整数基本行列の積S，T（θはn行n列、 Tはm
7imi」iJ） ：｝rHivN cs sAT ＝ （ i5
b．
理2．5．6より
Z ／〈ai，．．．，a．〉 ＝ Zn／〈bi，．．．，b，〉
が成り立つ。ただし、
b，X ／O O I lb，
i・ 1 1 o
bi ＝ 1 1 1，b2 ＝ 1 1 1 一，br ＝
ol XO
s〕一・定
0⁝0砺0⁝0
第2章 タイルホモロジー群 35
である。
Z・ ・） 」Eを縦に並べたベター
i1）と表すとき・これ対応する
z・／〈b・，…，b・〉の元を
m1］と一のとき・z・／〈b・，…，br＞の2元
［1］，［1］に一次一
［Z ：． ］ ＝＝ ［11 ／ ＝ （11． ） 一 （／／ 1） E 〈bi b ＞
klbl
⇔じ）お
6
Zl E wl （mod bl）
Zr iii IVr （MOd br）
O
Zr十1 ＝ Wr十1
Zn ＝ Wn であるので、
zi （mod bi）
z ／〈ai，．．．，a．＞D
m1 i］HIZr （．M，i．O，dbr）1Ez／bizx xZ／b ZxZ−z ltirtafE一一Z一 i．ma×Z
垢
第2章 タイルホモロジー群 の写像は同型である。
36
D
2．6 タイルホモロジー群の計算
例2．3．4ではタイルタイプ集合Σ；1＝コ】Rのタイルを用いてRl，R2を
定めた。
このように、タイルタイプ集合Σ＝［Ti，．．．，剛に対して、次のような R1，R2（∈B（Σ））を定められるときのタイルホモロジー群の一般的な計算 について述べる。すなわち、Rl，R2とは整数p， q， r， sを用いて
Ri ＝ ap，q 一 ao，o R2 ＝ ar，s ao，o
（ただし・（1）と（りは1次七一η≠・）とする）
（2．14）
と表されるようなB（Σ）の元である。
以後この節では、B（Σ）が式（2．14）のようなRl，R2を含むことを仮定
する。
開﹁
：，
o s xx
飼A ロβ
／
図2．2：平行四辺形OABC
このとき、図2．2のように点O、A、 B、 Cを定め、境界を含めた平行 四辺形OABCから、辺AB、辺BC及び頂点A、 B、 Cを除いた領域を、
Sと定義する。さらに、セルαi、，ゴ、，．嚇α扁nを、各セルの左下の格子点が
Sに含まれるようなセルとする。また、群Kを
K ＝（（：），（g）＞CZ2
第2章 タイルホモロジー群 37 とおく。また例2．3．4における表記と同様に、R1，R2及びそれらを平行移 動させたもので生成されるAの部分群を〈Rl，R2＞Tと表す。
補題2．6．1群A／〈Rl，R2＞Tは、［ai1，ゴ、］，＿，［αi。，ゴn］で生成される。つまり、
商群A／〈R1，R2＞Tの任意の元［α］は［α］＝Σ；L1副α吻」（kt∈Z）と表さ れる。
証明 Rl，R2の定義により［ai＋p，ゴ＋q］＝［α嗣＝回＋瑠＋。］であるので、
面一の船医潤につ・・て・ @一￠）・Kであれば
［ai，」］＝［α乞 ，ノ］ （2．15）
である。格子領域にあるどのセルについても、図2．2におけるAOベクト
ルとGOベクトルの平行移動を用いてS内のセルへと移動させることが
できるので、［α嗣は［ai、，ゴ、］，＿，［α砺，ゴ。］のいずれかと等しいことが分かる。
つまり、［α］は必ず［αi、，ゴ、］，＿，［αi。 ，jn］を用いて表すことができる。よって、
A／＜Rl，R2＞Tは、［αi、，」、］，＿，［ai。，ゴ。］で生成される □
Aの元α一臥緬に対して・ 早j一（S・i）・Kと鰍・の和を
［Vt（t＝1，．．．，n）と表す。このCtはai、，ゴtのセルを、 Kの元に沿って平行
移動したセルの係数の和である。よって、このとき
la］ ＝ Xl ［ail，o 1］ ＋ ＋ Xn ［ain，j n］
となる。このXl，．．，Xnを用いて、次の補題を得る。
補題2．6．2Aの元α＝Σ勾砺％に対して、上のように定めたZl，．．．，Xn を考えると、［α］；［0】∈A／＜Rl， R2＞Tであれば、ω1；一一・＝Xn＝0（i＝
1，．．．，n）である。
証明 ［α］＝［0］ならばα∈〈Ri，R2＞Tであり、αはRl， R2及びそれを平行 移動した元の1次結合で表される。Ri，R2の定義より、 Rl，R2及びそれ
を平行移動したものは、明らかにω1＝…＝Xn＝0を満たすので、αに
おいてもXl＝…＝Xn＝0を満たす。 □
補題2．6．3．4／〈R1，R2＞Tの元は一意的にkl［αi、，ゴ、1＋…＋kn［ai。 ，ゴ。］と表さ れる。
第2章 タイルホモロジー群 38
証明 A／〈R1，R2＞Tの元は、補題2．6．1によりkl［％ゴ、］＋…＋副％，ゴ。1と 表される。このように表された2元について、
kl［aii，ji］ ＋ ＋ kn ［ai． ，」．］一kl［・・、，ゴ、］＋…＋藍［・in，ゴ。］
とすると
（k一kl）［α、、，ゴ、1＋…＋（k。 一 kA）［α縣］一［0］∈A／〈R・，R・＞T
となる。
補題2．6．2により、k1−kS＝0，＿，砺一紘＝0であるので、 k1＝
昧＿，砺＝監である。 □
定理2．6．4群．4／〈Rl，R2＞Tは、次の写像によりznと同型である。
A／〈li｛li， R2＞T D S．， xt［ai，，」，］ e （1．1） E Z
証明 上で定まるzn→A／〈R1，R2＞Tの写像は明らかに準同型である。ま た、補題2．6．1により全射であり、補題2．6．3により単射であることが分 かる。 □ 定理2．6．4により、A／〈Rl，R2＞T ny znである。また、式（2．15）により、
群Kの元で互いに平行移動されるようなΣの元T，T「に対して、［T］＝
［T ］∈A／〈Rl，R2＞Tである。 B（Σ）／〈Rl，R2＞Tはすべてのタイルで生成さ れるA／〈Rl，R2＞Tの部分群であるが、実際には［T］＝［T ］の関係から、有 限個のタイルで生成されることが分かる。すると、
H（￡） E1i！ （A／〈Ri， R，＞T）／（B（2）／〈Ri， R2＞T）
により、H（Σ）はzn／〈a1，＿，am＞の形で表されることとなり、B（Σ）が式
（2．14）のようなRl，R2を含む場合には、定理2，5．7によってタイルホモロ ジー群を単因子の計算で決定することができる。
上記の方法による、タイルホモロジー群の具体的な計算例をあげる。
例2・6・5タイルタイプ難一 m［∵よって符号付きタイリング
可能であるための格子領域Rの条件を求める。
第2章 タイルホモロジー群
R1＿ lae・o I 2：0＿
R2 ＝
2
o
・！・煽二日11ヨ
I I
I I I L ． ＿一一一一 ．一 一
・」 ：ll田
・ 1一日
図2．3：R，， R2の定め方
39
Σのタイルを用いて、図2．3のようにR1，R2を定める。このとき、Ri＝
α2p一αo，o、 R2＝αo，2一αo，oであり、領域Sは図2．4の白い部分となる。ま た、S内に左下の格子点を含むセルはα0，0，α1ρ，αO，1， al，1となる。
群．4／〈Rl，R2＞Tにおいて、補題2．6．1の式（2．15）により
［ai＋2，」・］ ＝ ［ai ・］
［ai， ・，＋2］ ＝ ［ai，，」v］
であり，A／〈Rl，R2＞Tの任意の元［α］は
［ctz］ ＝＝ ki［ao，o］ ＋ k2［ai，o］ ＋ k3［ao，i］ ＋ k4［ai，i］
と表される。このとき、定理2．6．4より次のことが成り立つ。
A／〈Ri， R2＞． r一 一 z4
（2．16）
（2．17）
（2．18）
これを図で表すと、A／〈Rl， R2＞Tにおいては、［α］は図2．4のαo，o，α1，0，αo，1，α1，1
の部分のセルの和で代表されるということである。
図2．4：αはこの図の白い部分のみで代表される
［ヨの置き方は、場所を櫨に入れな1ナれば図2．5の8通りである．
第2章 タイルホモロジー群 40
EgVEF G
ロコ『［ヨ』
図2．5：タイルの置き方
菰。・
raZ，
国﹈﹃
9｝o：Lauo，o
﹄ ﹄
図2．6：セルαo，oを含むタイルの置き方
第2章 タイルホモロジー群 41 そこで、この8通りの置き方でセルαo，oを含む、図2．6のようなタイル
を考える。
このとき、図2．6のタイルをA／〈Rl，R2＞Tの元として考えると、式（2．16）、
（2．17）により、これらは．4／〈Rl， R2＞Tの中ですべて、2［αo，o］＋［α1，0］＋［αo，1］
と表される。つまり、この8通りのタイルはすべて．4／〈Rl， R2＞Tの中では 等しいといえるので、次の式が成り立つ。
閏一円一固一門
一トー円一圃一「司・A／〈一
よって、置く向きは1種類だけ考えればよいことがわかる。つまり、
ao．I
@I
@，ESi I ，ao111，aln■ の4つについて考えれば、タイ ルタイプ集合Σのすべての元について、対応するA／〈Rl，R2＞Tの元を考えたことになる。これらは、．4／〈Rl， R2＞Tの中では
in］ ．一 2［a，，，］ ＋［ai，o］ ＋［ao・i］ e（1）
FL ］ 一一 ［ao，o］ ＋2［ai，o］ ＋［ai，i］ e（）
臼一圃咽祠一／〕
岬］一鞭祠一①
第2章 タイルホモロジー群 42
であるので、式（2．18）の同型によりA／〈Rl，R2＞TをZ4と同一視すれば、B（￡）／〈R，，・R・〉・…
q①，（1川！〕〉
と表される。以上により、タイルホモロジー群H（Σ）は、
H（Z） ＝＝ A／B（￡） ＝ （A／〈R，， R，〉．） ／（B（Z）／〈Ri， R2＞T）
畝〔i〕，〔州，①〉
として計算することができる。
θ一概1〕，T一（1糧
を用いて、
s〔■〕T一儲1〕
というように、単因子の行列に基本変形できる。
このことから、定理2．5．7より、
H（：） ；i Z／Z × Z／Z × Z／4Z ×Z
2Z／4Z×Z
である。
） ei ， g」ZN ti i」 iJ OER 6N 2E S 2i， 6 ti i」 ［J
ユ ユ
ー︻﹇1
（2．19）
第2章 タイルホモロジー群 43 ここで、式（2．19）の同型を与える写像について整理する。つまり、格
子領域Rについて、［珂＝＝XO，O［α0，0］＋X1，0［α1，0］＋XO，1［αO，1］＋Xl，1［α1，1］∈
．4／〈Rl，R2＞Tのとき、 R∈H（Σ）に対応する元を各群において考える。
・（A／〈R1，R2＞T）／（B（Σ）／＜Rl，R2＞T）において対応する元は、＠o，o［αo，o］＋
Xl，O［α1，0］十XO，1［aO，1］十C1，1［α1，1D十B（Σ）／〈Rl，R2＞Tである。
・蝋〔i川｝），〔i）〉一一・
cx／；？）＋〈c／）・O・OC／）〉
である。
・一一一 ﾖゼ∵蕗∫㌦〕
である。
つまり、H（Σ）ny Z／4Z×Zの対応で、上記のRに対応するZ／4Z×Zの
元は、（一2xo，o−xl，o＋ωo，1（mod 4），xo，o−xl，o 一 xo，1＋ω1，1）である。
これより次のことがいえる。
定理2．6．6値が0または1であるs，tに対し、格子領域Rの中の、乞≡8
（mod 2）》≡t（mod 2）となるセルαi，ゴの数をx。，tとおくと、 Rがタイル タイプ集合Σ一
m［乱で符号付タイリングされるため噸＋分条
件は、
｛
2xo，o 十 3xl，o 十 xo，1 E O （mod 4）
カ、っ （2．20）
XO，O 十 Xl，1 ＝ Xl，O 十 XO，1
である。特に式（2．20）は、Σでタイリングされるための必要条件である。