Alice が不正をする場合

Aliceが不正を行なって，b⊕b = 0とできる確率を求める．ここでいうAliceの 不正とは，本来Bobに送信する状態|φとは異なった状態|ψ を送り，観測時に Bobに|ψを|φであると納得させることをいう．なお，全く同じ議論がb⊕b = 1 とする場合についても成り立つ．このとき，Aliceのバイアスについて以下が成り 立つ．

補題 5 AliceのバイアスAliceについて，以下が成り立つ：

_Alice = 1 4+

3

4− 1 1 +X

, (4.6)

ただし，X =t/n，nは量子状態の次元数，tはAliceが選ぶ量子状態すべてに共通 する基底の数である．

Proof 文献[3]のLemma 6と同様の方法により，Aliceがプロトコルの(1)で使 用する状態ρに対し，同じ不正成功確率で以下のようなρもBobに送信すること ができる．

ρ =

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝ δ₀

δ₁

0

0 . ..

δ_n−1

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

;

n−1

i=0

δi = 1.

このρは以下のように生成できる．以下の条件を満たすn×nの対角行列U_i (i= 0, . . . ,2ⁿ⁻¹)を用意する．

1. 対角成分a_iiは，aii ∈ {1,−1}．

2. i=jならば，Ui =U_jかつU_i =−U_j． このような行列U_iは，以下の性質を持つ．

1. 任意のU_i (1 ≤ i ≤ 2ⁿ⁻¹)と|φ_b,x (b ∈ {0,1},0 ≤ x ≤ 2^h−1 − 1)に対し，

|φ_b,x=U_i|φ_b,xとなるようなx (0≤x ≤2^h−1−1)が存在する．

2. U_i^†=U_i． 3. U_i² =I． 4. U_iU_jU_i =U_j．

Uiを用いることで，0か1が得られる確率が同じまま，Aliceがプロトコルの(1) で使用する状態|φb,xを，Ui|φb,xに置き換えることができる．以上から，Aliceに よって送られる状態の密度行列は，次の式で与えられる．

ρ = 1 2ⁿ⁻¹

2ⁿ⁻¹

i=1

U_iρU_i^†. (4.7)

よって，ρを以後の解析に用いる．まず，以下の補題6, 7を証明する．

補題 6 AliceがBobに対し，b= 0と納得させる確率は高々F(ρ, ρ⁰)である．

Proof AliceがBobに対し，b = 0であるという不正を行うために選択した状態 ρを純粋化すると4.8式になるとする．

|ψ=

i

a_i|i|ψ_i (4.8)

ここで，AliceはBobに対してb= 0であるという不正を行うので，|φ_0,0···00,· · ·，

|φ_0,1···11のいずれかであると納得させることになる．次に，|ψ_iと|ψ_j = U_k|ψ_i が同じグループになるようにグループ分けを行う．このグループについて以下が 成り立つ．

1. |ψ_iと|ψ_jが同じグループに含まれている場合，ai =a_jである．

2. |ψ_i=U_k|ψ_iと|ψ_j=U_k|ψ_jについて，ψ_i|ψ_i=ψ_j|ψ_jが成り立つ．

以上から4.8式は以下のように変形できる．

|ψ=

i

ai 2^h−1−1

j=0

1

2^h−1|i, j|ψi,j. (4.9) ここで|ψ_i =|φ_iと置くと，|ψ_iを|ψ_iとしてBobに受理される確率は，|ψ_i|ψ_i|²

で与えられる．従って，Bobが受理する確率の合計は，

i

|a_i|² 1 2^h−1

2^h−1−1 j=0

|ψ_j|ψ_j|². (4.10)

である．

次に，|ϕ_iと|ϕ_iを次のように表す．

|ϕ_i=

2^h−1−1 j=0

1

2^h−1|i, j|ψ_i,j. (4.11)

|ϕ_i=

2^h−1−1 j=0

1

2^h−1|i, j|ψ_i,j . (4.12) このとき以下の式が得られる．

ϕi|ϕ_i= 1 2^h−1

2^h−1−1 j=0

ψj|ψ_j=ψi,k|ψ_i,k (0≤k ≤2^h−1−1). (4.13)

よって4.10式は以下の式に変形できる．

i

|a_i|²|ϕ_i|ϕ_i|². (4.14) 次に，ρiを確率1/2^h−1で状態|ψ_i,j (0≤j ≤2^h−1 −1)を取る密度行列とすると，

ρ =

i|a_i|²ρ_iが成り立つ．|ϕ_iと|ϕ_iは，ρiとρ₀を純粋化したものであるので，

|ϕ_i|ϕ_i|² ≤F(ρ_i, ρ⁰)が得られ，次式が得られる．

i

|ai|²|ϕi|ϕ_i|² ≤

i

|ai|²F(ρi, ρ⁰). (4.15) 最後に忠実度の凹性[36]より，次式が得られる．

i

|a_i|²F(ρ_i, ρ⁰) ≤ F(

i

|a_i|²ρ_i, ρ⁰)

= F(ρ, ρ⁰). (4.16)

同様に以下が成り立つ．

補題 7 AliceがBobに対し，b= 1と納得させる確率は高々F(ρ, ρ¹)である．

以上を使用すると，文献[3]のLemma 8より，Aliceが, b⊕b = 0とできる確率 は高々(F(ρ, ρ⁰) +F(ρ, ρ¹))/2であることが示されているので，補題2より，

F(ρ, ρ⁰) =

Tr

ρρ⁰ ρ

₂

=

δ₀

h +. . .+

δ_t−1

h +

δ_t h

+

δ_t+2

h +. . .+

δ_n−2 h

₂

. (4.17)

F(ρ, ρ¹) =

Tr

ρρ¹ ρ

₂

=

δ₀

h +. . .+

δ_t−1

h +

δ_t+1 h

+

δ_t+3

h +. . .+

δ_n−1 h

₂

. (4.18)

ここで_n−1

i=0 δ_i = 1である．

従って，

1

2(F(ρ, ρ⁰) +F(ρ, ρ¹))

= 1

2h

δ₀+. . .+ δ_t−1

+

δ_t+

δ_t+2+. . .+ δ_n−2

₂ + δ₀+. . .+

δ_t−1

+

δ_t+1+

δ_t+3+. . .+ δ_n−1

₂

;

n−1

i=0

δ_i = 1 (4.19)

4.19式はδ₀ =δ₁ =. . .=δ_t−1 = 4/(n+3t)，δ_t=δ_t+1 =. . .=δ_n−2 =δ_n−1 = 1/(n+

3t)のとき，(n+ 3t)/(4h) = (n+ 3t)/(2(n+t)) = 1/2 +t/(n+t) = 1/2 +X/(1 +X) で最大になる．以上からAliceのバイアス_Aliceは，以下のようになる．

_Alice = X

1 +X

= 1 4+ (3

4− 1

1 +X) (4.20)

ドキュメント内 量子理論を用いた安全なプロトコルに関する研究 (ページ 44-48)