とおく．Aの固有方程式は
y2 一 trace（A）y 十 det（A） ＝ O
であるから，判別式は
（trace（A））2−4 det（A） ＝ （an十a22）2−4（ana22−ai2a2i） ＝ （an−a22）2十4ai2a2i JE O
となり，Aは相異なる固有値α，βをもつ．従って，補題3．6より，ある正則行列
9により
9一 Ag一圏
と変形できる．これより，ノ∈qMat2（C）］σL（2・c）に注意すると
f（A） ＝ f（aii， ai2， a2i， a22） ＝： f（g一 Ag） ＝ f（a， O， O， 6） ＝＝ F（a， fl） ＝ O
となり，ノ（α11，α12，α21，α22）≠0であったことに矛盾が生じた．ゆえにノ（X）＝O が示されたので，φは単射である． 腫
系3．11GL（2，（C）不変式はtrace（X）およびdet（X）の多項式として一意的に表され る．すなわち，不変式環qMat2（C）］σL（2・c）はtrace， detを生成元とする2変数多項式環 である．
C［Mat2（〈C）］GL（2 C） ＝ C［trace（X）， det（X）］
【証明】 定理2．5よりS（x，y）＝＝qe1，e2］が成り立つこと，前述の定理3．10
より
gA（traceX） ＝ei ＝x十y， gA（det X） ＝ e2 ＝＝ xy
をみたす同型
pA ： C［Mat2（C）ICL（2・C） 一一〉 s（x，y）
の存在が示されたことから，系の主張が導かれる． 璽
系3．11により，不変二二はqtrace（X），det（X）］に一致し，斉次式で生成されることが示さ れた．これよりqMat2（C）］GL（2，c）が次数付きベクトル空間であることがわかる．
系3．12不変式環qMat2（C）］GL（2・c）のポアンカレ級数は次式で与えられる．
1p（（c［Mat2（c）］G （2 C）；t）＝：at−ris？i 一：一iii5−t）（i−t2）
【証明】 定理3．10より，qMat2（C）］GL（2・c）とS（x，y）は次数まで込めて同型 である．従って，定理220（p．27）より
1
p（〈c［Mat2（（c）IGL（2・C）； t） ＝ p（s（x， y）； t） ＝：
（1 一 t）（1 一 t2）
が成り立つ， 璽
GL（2， C）の1次元多項式表現
定義3．13写像！：（7L（2，C）一→C＊＝C一｛0｝で
f（9ig2） ＝ f（gi）f（g2） （gi，g2 E GL（2， C））
をみたすものをGL（2， C）の1次元表現という．
qMat2（C）］の0でない多項式！（X）が
f（AB）一f（A）f（B） （A，BEMat2（C）） （3．6）
をみたすとする．ここで！（E）＝Oと仮定すると
f（X） 一＝ f（XE） 一 f（X）f（E） ＝＝ O
となり，仮定に反するので，f（E）≠0が得られる．これよりg∈GL（2， C）に対して
f（g）f（g−i） 一 f（gg−i） ＝ f（E） ＃ O
となることから，！（g）∈C＊を得る．従って，定義3．13より，ノ（X）はGL（2，C）の1次元表 現を引き起こす．このような！（X）をGL（2， C）の1次元多項式表現という．1次元多項式 表現∫（X）は
f（g−iXg） ＝＝ f（g一 ）f（X）f（g） ＝ f（X）f（g−i）f（g） ＝ f（Xg ig） 一 f（X）
よりGL（2， C）不変式になる．次に（］L（2，C）の1次元多項式表現をすべて決定することに
する．
補題3．14G（sx， ty）＝G（s， t）C（x，y）をみたす0でないC（x， y）∈C［x， y］はG（x，y）：
xM
凾獅ﾆ表される．【証明】 x，yの辞書式順序によるG（x， y）の最高次の項をexmyn，これより 低次の項の和をg（x，y）とすると
c（sx）m（ty）n 十 Q（sx， ty） ＝＝ a（s， t）（cxmyn 十 （？（x， y））
となるので最高次の係数を比較してG（s，t）＝ sMtnが成り立つ． s，tは任意の 複素数であるから，C（x， y）＝xMynが得られる． ■
定理3．15GL（2，C）の1次元多項式表現は（det g）nと表される
【証明】 ノ（X）∈qMat2（C）］を（？L（2，C）の1次元多項式表現とする．上述 のことからノ（X）∈qMat2（C）］σL（2・c）が成り立つ．ここで定理3．10の同型写像
φによるノ（X）の像をF（x，y）とすると
F（・x，・ty）一ノ（淵）＝＝ f（［89］［ll］）
一f（圏）ノ（［翻］）＝＝ F（s，t）F（x，y）
が成り立つ．従って，補題3．14よりF（x，y） ＝：（xy）nとなるので
f（x） ： 4）一 （F（x，y）） ＝ gb一一i（（xy）n） ＝ det（x）n
が導かれる． ■
不変式環」＝qMat2（C）］GL（2・c）の定数項がない多項式全体を」＋とおく．」＋はtraceと detで生成されたイデアル（trace， det）で
J＋＝ （trace， det） ＝ （itL．．， ai」・ （trace）i（det）」） （ai2・ EC）
と表される．次に，」＋の零点がべき零行列全体になることを証明する．
定義3．16あるn∈Nに対してAn ＝ oとなるA∈Mat2（C）をべき零行列という．ま
た，べき零行列全体をNで表す．定理3．17A∈Mat2（C）に対して次は同値である．
（1）A∈N，すなわちAはべき零行列である．
（2）A2＝0が成り立つ．
（3）f（A）＝・ O（∀ノ∈J＋）が成り立つ．
【証明】 （2）⇔（3）については
」＋ ＝ J・ trace十J・ det
であることと，Cayley−Hamiltonの定理に注意すると
f（A） ＝＝O （Vf E J ） o trace（A） ＝＝ det （A） ＝＝O o A2 ＝o
より導かれる．次に（1）⇔（2）について示す．（1）e（2）はべき零行列の定義
（定義3．16）より明らかである．（1）⇒（2）については，
An ．． o， An−i 7L O
をみたすnを選ぶ．n＞2と仮定してよい． det A＝Oに注意して， Cayley−
Hamiltonの等式
A2 一 trace（A）A ＝ O の両辺にAn−2をかけると
A 一 tra￡e（A）A 一i ＝＝ 一trace（A）A ti ＝ o
となるが，An−1≠0よりtrace（A）＝＝ Oを得る．これより A2 一 trace（A）A ＝ A2 ＝ O
が導かれる． 量
3．2 （7L（2，（C）の既約表現
補題3．18次の写像はGL（2，C）のC［x， y］への作用を定める．
CL（2， ￠） × C［x， y］ ） （g， f） H p（g）f E C［x， y］
（［2S ，！（・，・y））一掴ゆ＋吻）
【証明】 定義1．6の条件（1）が成り立つこと，すなわち，次の写像が線形写像 であることは明らかである．
P（9）：q：r，y］∋f（x，y）ト→ノ（ax十吻， bx十dy）∈i c［x， y］
条件（2）の成り立つことも次のように確かめられる．
p（E）f（x， y） ＝ f（1 ・x十〇・ y，O・x十1 ・ y） ＝ f（x， y）
条件（3）の成り立つことは次の計算からわかる．ただし
9・一
m！剖，92一［鴇］，9・92一［町纏：警綴：］
とする．
（p（gi） （P（g2 ）f） ） （x， y） ： （p（g 2）f） （aix ＋ ciy， bix ＋ diy）
： f（a2（aix ＋ ciy） ＋ c2（bix ＋ diy）， b2（aix ＋ ciy） ＋ d2（bix ＋ diy））
一ノ（（・・a・＋・b・…）・・＋・（・・a2＋輪＠わ・＋・b・d2）針慨＋鯛
一（（p（gig2）f） （x， y） 1
定義3．19ρ：G∋g→ρ（g）∈GL（V）が群Cからベクトル空間Vの正則な線形変換
のなす群GL（V）への群準同型であるとき，すなわち次の条件をみたすとき，（ρ， V）を Gのγ上の表現という．ただし，右辺の積はGL（V）における線形変換の合成である．P（gig2） ＝P（gi）P（92） （gi，g2 E G）
・単にρをCの表現ということがある．
・群Gがベクトル空間Vに作用しているとき，g∈GにVの正則な線形変換が対応
するが，この対応は，定義1．6の条件（3）より準同型となる．従ってGのV上の表現 が得られる．逆にGのV上の表現（ρ，V）に対して，写像（］×1／∋（9，V）ト→ρ（9）V∈V
はGのVへの作用となる．
定義3．20（ρ，V）は群aの表現であるとする．．次の条件をみたすVの部分空間Wを 表現（ρ，V）の不変部分空間，または単に不変部分空間という．
gEG，wEW ＝＝〉 p（g）wEW
このとき
σ∋9トー〉ρ（9）IW∈CL（Vレつ
からCのW上の表現（ρ，W）が得られる．これを部分表現という．
以下
P ＝＝ c［x， y］， IPk＝IPIe（x， y）
とおく．定理1．9（p．10）より次が成り立つ．
P一㊥IPk
k＝0補題3．18より（ρ，P）はGL（2，C）のア上の表現である．
補題3．211）kはPの不変部分空間である
【証明】9一團∈σ⑳胸）一Σ調→∈醐し・，
補題3．18より
ん
ρ（9）f（x，〃）一ノ（ax・＋・eg， b・＋dy）一Σ・i（・x＋・eg） （bx・＋・dy）k一 ∈IPIe
i＝0
が成り立つ．従って，定義3．20より1？leはCPの不変部分空間である． ■
Pkの元は
h k−1
k−1 k ∬，∬ 〃， … ，∬〃 ，〃
のk＋1個の単項式の1次結合で表される．従ってdim A＝k一←1である．これより不変
部分空間IPkは有限次元部分表現（ρ， IPk）を誘導する，一方c・［x，・y］一P一㊥A k；0
とIPが不変部分空間IPkに直和分解される，このとき，表現（ρ， P）が部分表現（ρ， IPk）に 直和分解されるという．以上を定理として述べておく．
定理3．22GL（2，C）のC［x，yl上の表現（ρ，P）は次のように部分表現に直和分解さ
れる．
（ρ，P）一㊥（ρ， Pk）
k；O
定義3．23群CのV上の表現（ρ，V）において，0とV≠O以外に不変部分空間が
存在しないとき，（ρ，V）を群Gの既約表現という．
・（ρ，V）が既約表現のとき，単にρが既約であるということもある．
次に（ρ，IPIe）がGL（2，C）の既約表現であること，すなわち，定理3．22の直和分解が既約分 解であることを示すことにする．まず次の補題を示す，
補題3．241Ple⊃σを不変部分空間とする．
た
∫（x，雪）一Σ・、吻鳶一ゴ∈砿 ゴ＝0
このとき，次が成り立つ．
αr≠o⇒吻た一「∈σ
【証明］h一
m89］・GL（2・C）・・le・f（・，y）∈σに作用させると
た た
ρ（ん）ノ（・，〃）一Σ・掴）ゴ（哲〃）鳶一LΣ…ゴ押吻ゐ一ゴ∈σ 」＝o ゴ篇0
が得られ，t＝s『1とすると
ρ（h）f（x，y）一紘轡・∈σ ←）
となる．ここでzのk次多項式F（x，y，勾を た
F（x，〃，・）一Σ・・吻允一ゴ・」
ゴ＝0 と定めると
た
F（x，y，・2）一Σ・ゴ吻鳶一ゴ82ゴー8鳶ρ（h）ノ（x，・y）∈σ
ゴ＝0 が成り立つ．次に
ゐ ん
F（x，y，・2）一Σ・・吻た一ゴ82ゴーΣ・ゴ（・，〃）・2ゴ （・、（x，y）∈Cμ，〃］）
ゴ＝0 ゴ＝0
ゐ
π（の一H（z一（i＋1）2）
・綱一
曹e二品亭）諜票、アー書噛ド（bi （x， y） E （C ［x， y］）とおく．このとき，任意の複素数Xo，yoに対して，ラグランジュの補間公式（定 理1．14）より
F（xo， yo， s2） ＝ C （xo， yo， s2）
が成り立つ．これより
ae （xo， yo） ＝ be（xe， yo） （1 ＝ O， 1， ．．．， k）
を得る．Xo，yoは任意に選べるから定理1．15（p．12）より
ae（x， y） ＝ be（x， y） （1 ＝ O，1，．．．， k）
が得られる．従って
F（x， y， s2） ＝ G（x， y， s2）
が示された．ここで
F綱一書F睾縞亭）・諜摯1）2
におけるs2「の係数を比較すると
噛…喜辮轟轟篇のs…CD係数）
i＝o が得られる．
。t（（￠圭、）、）（、、碧、）、の・・rの係数）
が複素数であることに注意されたv・・ 一JEi， ii e （＊）で臨一
h蕩］
に置き換えると
F（x， y， （i ＋ 1）2） ＝ （i ＋ 1）2kp（hi＋i）f（x， y）
となることから，a。x yk一「はρ（hi＋1）f（x， y）∈σの複素係数一次結合である．
従ってα．x「yk一「∈σである．特にar≠0のときは吻た一「∈σとなる． ■
定理3．25（p， 7）k）はGL（2，C）の既約表現である．
【証明】 σ⊆Pkを0でない不変部分空間とする．σが7Pkに一致すること
を示せばよい．仮定よりσは0でないノ（x，y）を含むゐ
ノ（・，〃）一Σ・・吻トゴ ゴ＝O
とおくと，ある係数arは0でないので，補題3．24よりx yle一「∈Uが得られる．
r＝kのときはxk∈Uとなり， r〈kのときは
・＋一H，u一一H
とおくと
ρ（u＋）x yk一「＝ゴ（x＋y）h一「
一・r（C♂）・k−r＋（ヤ）・k一・一 y＋…＋（1＝；）〃㎞）
一C6り・k＋Cτり凸＋…＋（1＝；）・・yk−r
一♂＋（k−r）♂『1〃＋…＋x yk 「∈ひ
となることから，が∈σが得られる．さらに♂にρ（ゼ）を作用させると
桶川一書（1）が・u
となり，補題3．24より，IPkの基底
xiyk i∈σ （o≦i≦k）
がUに含まれるので，U・Pkが示された． ■
定義3．26（ρ1，Vl），（ρ2，V2）を群Gの2つの表現とする．次の条件をみたす線形同型T：
Vl→V2が存在するとき，（ρ1，Vl）と（ρ2，V2）は同値であるといい（ρ1，Vl）C （ρ2，V2），
ρ1 cv M，またはVl r V2と表す．
Tpi （g） 一 p2 （g）T （Vg E G）
補題3．27（ρ，V）をGL（2，C）の表現とする．このとき
p（ic） （g） ＝ （det g）hp（g） （k E Z）
とおくと，次が成り立つ．
（1）（ρ（k），γ）もCL（2，C）のV上の表現である．
（2）ρが既約ならばρ㈹も既約である．
（3）k≠0ならρとρ㈹は同値でない。
【証明】 （1）定義3．19の条件をみたすことを確かめる．ρ㈹（g）はρ（g）の0 でない定数倍であるから，Vの正則な線形変換である．また
p（k）（gi）p（k）（g2） ＝＝ （det gi）lep（gi）・（det g2）kp（g2）
＝ （det gig2）kp（gig2）
．． p（k）（gig2）
が成り立つことから，（p（k），V）はGL（2，C）のV上の表現である．
（2）σ⊆γを表現（ρ㈲，V）の0でない不変部分空間とする． u∈U， g∈
GL（2，C）に対して
1
p（k） （g）u E U p（g）u 一
（det g） le
となるので，σは表現（ρ，V）の0でない不変部分空間となるが，（ρ，V）は既約 であるからσ＝Vが得られる．ゆえに（ρ（k），γ）も既約である．
（3） 2つの表現（ρ，γ）と（ρ㈹，V）が同値であると仮定すると，線形同型T：
V→Vが存在して，任意のg∈GL（2，C）に対して
Tp（g） ＝ p（le）（g）T ＝ （det g）kp（g）T
が成り立つ．従ってv∈VをTの固有値λに属する固有ベクトルとすると
Tp（g）v＝（det g）icp（g）Tv ：A（det g）lep（g）v
が成り立つ．これよりλ（det g）kはTの固有値となるが， k≠0より，λ（det g）k は（g∈（］L（2，C）を任意に選べることから）無限の値をとり得ることになり，矛
盾が生じる． ■
定理3．25と補題3．27より，（ρ（m），7）ll）はGL（2， C）の既約表現である． k≠」のとき，
dim 7）le≠dim 7）jより（ρ（m）， Pk）と（ρ（e），P」）は同値でない．また，補題3．27より，m≠eの とき（ρ（m），1？k）と（ρ（e），Pk）も同値でない．従って
｛（ρ（m）ア訓m∈z，k≧o｝
は互いに同値でない（］L（2，C）の既約表現からなる集合である．逆に，次の定理3．28が成り
立つ．
定理3．28CL（2， C）の既約な有理表現は次の集合のいずれかの既約表現に同値である．
Irr（CL（2， 〈C）） ＝ ｛ （p（M）， 7）ic） 1 m E Z， k SI O ｝
有理表現の定義は省略するが（cf．［1，§3．4．1D，本論文に現れる（7L（2， C）の表現がすべて有 理表現であることを注意しておく．定理3。28は有限次元ベクトル空間V上の一般線形群 CL（V）の既約な有理表現が， Vのあるテンソル積空間VX kの部分表現と1次元表現det のべきとのテンソル積表現に同値であるという定理（cf．［1，定理3．41｝）と， dim V＝2とい う特殊事情から導かれるがその証明は割愛する
定義3．29GL（2， C）の表現（T， V）が次のように既約表現の直和に分解できるとき，完 全可約であるという．
（7， V） ＝ （｛D M．，h（p（M）， cPle）
m，h
ここでMm，kは非負整数で，（ρ（m）， Pk）の重複度という．
次の定理の証明も定理3．28と同様に割愛する（c￡【1，定理3．39］）．
定理3．30（］L（2，《C）の有理表現は完全可約である
以下，定理328と定理3．30を認めて議論を進めることにする．
既約分解の計算方法
定義3．31（7が群のとき，次の集合をGの中心という．
｛gEGIgx ＝＝ xg VxEG｝