91 は

2

1の2乗，

x

^は 2 2 1×

×

x ^なので，

4

2 −x+1

x ^＝

2

2 1



 

 −x

(2)

9

1 3

2

+ 2 x +

x

^で，

x

^2は

x

^の2乗，

9 1

は

3

1

の2乗，

x 3

2

は

2

3 1 ×

×

x

^なので，

9 1 3

2 + 2x+

x ^＝

2

3 1



 

 +x

(3)

x

²

+ 10 xy + 25 y

^2で，x^2は

x

^の2乗，

25y

^2は5y^の2乗，10xy^はx×5y×2 なので，

x

²

+ 10 xy + 25 y

^2＝

(

x+5y

)

²

(4)

x

²

− 20 xy + 100 y

^2で，x^2は

x

^の2乗，

100 y

^2は10y^の2乗，20xy^はx×10y×2 なので，

x

²

− 20 xy + 100 y

^2＝

(

x−10y

)

²

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) 25x² −30x+9 (2)

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

²

(3)

9 x

²

+ 30 xy + 25 y

² [解答欄]

[解説]

(1) 25x² −30x+9^で，25x^2は5x^の2乗，9は3の2乗，30x^は5x×3×2^なので，

9 30

25 x

²

− x +

^＝

(

⁵x−³

)

²

(2)

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

^2で，

4x

^2は2x^の2乗，

9 y

^2は3y^の2乗，12xy^は2x×3y×2 なので，

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

^2＝

(

2x+3y

)

²

(3)

9 x

²

+ 30 xy + 25 y

^2で，9x^2は3x^の2乗，

25 y

^2は5y^の2乗，30xy^は3x×5y×2 なので，

9 x

²

+ 30 xy + 25 y

^2＝

( ^{3 x} + ^{5 y} )

²

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

x

²

+ 10 xy + 25 y

² (2)

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

²

(3) 9x² +6x+1 (4) a² −6a+9

(5)

9 x

²

− 12 xy + 4 y

² (6)

25 x

²

− 30 xy + 9 y

² [解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

[解答](1)

(

^x+5y

)

² (2)

(

^2x+3y

)

² (3)

(

^3x+1

)

² (4)

(

^a−3

)

² (5)

(

^3x−2y

)

²

(6)

(

5x−3y

)

²

[解説]

(1)

x

²

+ 10 xy + 25 y

^2で，

x

^2は

x

^の2乗，

25y

^2は5y^の2乗，10xy^はx×5y×2 なので，

x

²

+ 10 xy + 25 y

^2＝

( x + 5y )

²

(2)

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

^2で，4x^2は2x^の2乗，

9 y

^2は3y^の2乗，12xy^は2x×3y×2 なので，

4 x

²

+ 12 xy + 9 y

^2＝

(

2x+3y

)

²

(3) 9x² +6x+1^で，9x^2は3x^の2乗，1は1の2乗，6x^は3x×1×2^なので，

9x² +6x+1^＝

(

3x+1

)

²

(4) a² −6a+9^で，a^2は

a

^の2乗，9は3の2乗，6a^はa×3×2^なので，

a² −6a+9^＝

(

a−3

)

²

(5)

9 x

²

− 12 xy + 4 y

^2で，9x^2は3x^の2乗，

4 y

^2は2y^の2乗，12xy^は3x×2y×2 なので，

9 x

²

− 12 xy + 4 y

^2＝

(

3x−2y

)

²

(6)

25 x

²

− 30 xy + 9 y

^2で，25x^2は5x^の2乗，

9 y

^2は3y^の2乗，30xy^は5x×3y×2 なので，

25 x

²

− 30 xy + 9 y

^2＝

(

^5x−^3y

)

²

【】(x＋a)(x＋b) [問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) x² +7x+6 (2) x² −9x+20

[解答欄]

(1) (2)

[解答](1)

( x + 1 )( x + 6 )

(2)

( x − 4 )( x − 5 )

[解説]

乗法公式：

( x + a )( x + b ) = x

²

+ ( a + b ) x + ab

^{を逆にすると，}

因数分解の公式：

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{が成り立つ。}

例えば，

( x + ² )( x + ³ )

^＝

x

²

+ ( 2 + 3 ) x + 2 × 3 = x

²

+ 5 x + 6

^{であるが，}

これと逆に，x²+5x+6を因数分解するためには，かけて6^，加えて5^になる 2 数を見つけ ればよい。かけて6^になる2 つの整数は，1 と 6，2 と3 などである。このうち，加えて 5 になるのは2と3の組み合わせである。

したがって，

x

²

+ 5 x + 6 = ( x + 2 )( x + 3 )

^{と因数分解できる。}

(1) かけて6^，加えて7^になる2数は1, 6^なので，

x

²

+ 7 x + 6 = ( x + 1 )( x + 6 )

(2) かけて20^，加えて−9^になる2数は−4^と−5^なので，

x

²

− 9 x + 20 = ( x − 4 )( x − 5 )

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

y

²

+ 10 y + 21

(2) x² −9x+14

(3) a² +5a+6 [解答欄]

(1) (2) (3)

[解答](1)

( y + 3 )( y + 7 )

(2)

( x − 2 )( x − 7 )

(3)

( a + 2 )( a + 3 )

[解説]

(1) かけて21^，加えて10^になる2数は3, 7^なので，

y

²

+ 10 y + 21 = ( y + 3 )( y + 7 )

(2) かけて14^，加えて−9^になる2数は−2, −7^なので，

x

²

− 9 x + 14 = ( x − 2 )( x − 7 )

(3) かけて6^，加えて5^になる2数は2, 3^なので，

a

²

+ ⁵ a + ⁶ = ( a + ² )( a + ³ )

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) x² +5x−24 (2) x² −10x−24

[解答欄]

(1) (2)

[解答](1)

( x + 8 )( x − 3 )

(2)

( x − 12 )( x + 2 )

[解説]

(1) かけて−24^になる2数は＋と－である。かけて−24^，加えて5^になる2数は8, −3^なの で，

x

²

+ 5 x − 24 = ( x + 8 )( x − 3 )

(2) かけて

− 24

^，加えて−10^になる2数は

− 12

^と

2

^なので，

( 12 )( 2 )

24

2

− 10 x − = x − x +

x

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) x² +4x−12 (2) x² −4x−60

(3) x² +x−20 [解答欄]

(1) (2) (3)

[解答](1)

( x + 6 )( x − 2 )

(2)

( x + 6 )( x − 10 )

(3)

( x + 5 )( x − 4 )

[解説]

(1) かけて−12^，加えて4^になる2数は6, −2^なので，

x

²

+ ⁴ x − ¹² = ( x + ⁶ )( x − ² )

(2) かけて−60^，加えて−4^になる2数は6, −10^なので，

( 6 )( 10 )

60

2

− 4 x − = x + x −

x

(3) かけて−20^，加えて+1^になる2数は5, −4^なので，

x

²

+ x − 20 = ( x + 5 )( x − 4 )

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) x² −8x+15 (2) x² −6x−27

(3) a² +13a+30 (4)

x

²

+ 7 xy − 18 y

²

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4)

[解答](1)

( x − ³ )( x − ⁵ )

(2)

( x − ⁹ )( x + ³ )

(3)

( a + ³ )( a + ¹⁰ )

(4)

( ^x + ^{9 y} )( ^x − ^{2 y} )

[解説]

(1) かけて15^，加えて−8^になる2数は−3^と−5^なので，

x

²

− 8 x + 15 = ( x − 3 )( x − 5 )

(2) かけて−27^，加えて−6^になる2数は−9^と3^なので，

x

²

− 6 x − 27 = ( x − 9 )( x + 3 )

(3) かけて30^，加えて13^になる2数は3, 10^なので，

a

²

+ ¹³ a + ³⁰ = ( a + ³ )( a + ¹⁰ )

(4) かけて

− 18 y

^{2，加えて}7y^になる2数は9y^と−2y^なので，

( x y )( x y )

y xy

x

²

+ 7 − 18

²

= + 9 − 2

[問題](1学期期末)

2−ax−24

x を因数分解した結果が，

( ^x + 3 )( ^x − ^b )

^{であるとき，}

a, b

^{の値を求めよ。}

[解答欄]

[解答]a=5, b=8 [解説]

2 −ax−24

x を因数分解した結果が，

( x + 3 )( x − b )

^{であるので，}

2 −ax−24

x ^＝

( x + 3 )( x − b )

2 −ax−24

x ^＝

x

²

+ ( 3 − b ) x − 3 b

両辺の

x

の係数，定数項は同じなので，

b a= −

− 3 ^，−24=−3b^{が成り立つ。}

b 3 24=−

− ^よりb=8 b

a= −

− 3 ^にb=8^{を代入すると，}

− a = 3 − 8 , − a = − 5 , a = 5

ゆえに

a = 5 , b = 8

【】いろいろな因数分解 [最初に共通因数のくくりだし] [問題](2学期中間)

次の式を因数分解せよ。

2x² −6x−8 [解答欄]

[解答]

2 ( x − 4 )( x + 1 )

[解説]

＊因数分解で共通因数がある場合は，最初に共通因数をくくり出す。

8 6

2x² − x− ^＝

² ( ^x

²

^{− 3 x − 4} )

かけて−4^，加えて−3^になる2数は−4, 1^なので

( ^{3 4} )

2 x

²

− x −

^＝

² ( x − ⁴ )( x + ¹ )

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) 3x² −18x+27 (2) 5a²−45a+100

(3) −3x² +15x−12 (4) 36m²−9n²

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4)

[解答](1) ³

(

^x−3

)

² (2)

5 ( a − 4 )( a − 5 )

(3)

− 3 ( x − 1 )( x − 4 )

(4)

9 ( 2 m + n )( 2 m − n )

[解説]

(1) 3x² −18x+27=3

(

x² −6x+9

) (

=3x²−x×3×2+3²

)

=3

(

x−3

)

²

(2)

^{5 a}

²

^{− 45 a + 100 = 5} ( ^a

²

^{− 9 a + 20} )

かけて20^，加えて−9^になる2数は−4, −5^なので，

( 9 20 ) 5 ( 4 )( 5 )

5 a

²

− a + = a − a −

(3)

^{− 3 x}

²

^{+ 15 x − 12 = − 3} ( ^x

²

^{− 5 x + 4} )

かけて4^，加えて−5^になる2数は−1, −4^なので，

^{− 3} ( ^x

²

^{− 5 x + 4} )

^＝

^{− 3} ( ^{x − 1} )( ^{x − 4} )

(4) ^{36m2−9n2 =9}

(

^{4m2 −n2}

)

⁼⁹

( ( )

^{2m 2 −n2}

)

⁼⁹

⁽

^2m+n

⁾⁽

^2m−n

⁾

＊^36m2−⁹ⁿ² =

( ) ( ) (

^{6m 2} − ^{3n 2} = ^6m+³ⁿ

)(

^6m−³ⁿ

)

ではまだ因数分解は不完全。

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) 3x² +15x−18 (2) −3x² +18x−27

(3) mx² −5mx+4m (4)

9 x

²

y − 30 xy + 25 y

(5)

2 x

²

y − 2 xy − 12 y

(6) a²x−9ax+8x

(7) 6a²b−24b (8)

2 x

²

y + 4 xy − 30 y

(9)

y − x

²

y

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

[解答](1)

3 ( x − 1 )( x + 6 )

(2) −3

(

x−3

)

² (3)

m ( x − 4 )( x − 1 )

(4) y

(

3x−5

)

²

(5)

2 y ( x + 2 )( x − 3 )

(6)

x ( a − 1 )( a − 8 )

(7)

6 b ( a + 2 )( a − 2 )

(8)

2 y ( x + 5 )( x − 3 )

(9)

y ( x + 1 )( − x + 1 )

[解説]

(1) 3x² +15x−18^＝

³ ( ^x

²

^{+ 5 x − 6} )

^{かけて−6，加えて5になる}2数は−1, 6^なので，

( ^{5 6} )

3 x

²

+ x −

^＝

³ ( x − ¹ )( x + ⁶ )

(2) −3x² +18x−27=−3

(

x² −6x+9

) (

=−3x² −x×3×2+3²

)

=−3

(

x−3

)

²

(3)

^mx

²

^{− 5 mx + 4 m = m} ( ^x

²

^{− 5 x + 4} )

^{かけて4，加えて−5になる} 2 数は−4, −1^なので，

( ^x

²

^{− 5 x + 4} )

m

^＝

m ( x − 4 )( x − 1 )

(4) ^{9x2y−30xy+25y=y}

(

^9x2−30x+25

)

^{= y}

( ( )

^{3x 2 −3x×5×2+52}

)

^{= y}

⁽

^3x−5

⁾

²

(5)

^{2 x}

²

^{y − 2 xy − 12 y = 2 y} ( ^x

²

^{− x − 6} )

^{かけて−6，加えて−1になる} 2 数は−3,2^なので，

( 6 ) 2 ( 2 )( 3 )

2 y x

²

− x − = y x + x −

(6)

^a

²

^{x − 9 ax + 8 x = x} ( ^a

²

^{− 9 a + 8} )

^{かけて8，加えて−9になる 2 数は−1, −8なので，}

( a

²

− ⁹ a + ⁸ ) = x ( a − ¹ )( a − ⁸ )

x

(7)

6 a

²

b − 24 b = 6 b ( a

²

− 4 ) ( = 6 b a

²

− 2

²

) = 6 b ( a + 2 )( a − 2 )

(8)

^{2 x}

²

^{y + 4 xy − 30 y = 2 y} ( ^x

²

^{+ 2 x − 15} )

^{かけて−15，加えて2になる} 2 数は5,−3^なので，

( ^{2 15} ) ² ( ⁵ )( ³ )

2 y x

²

+ x − = y x + x −

(9)

y − x

²

y = y ( 1 − x

²

) ( = y 1

²

− x

²

) = y ( 1 + x )( 1 − x ) ( = y x + 1 )( − x + 1 )

[文字のおきかえなど] [問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

( x + 2 )

²

− 3 ( x + 2 ) − 4

[解答欄]

[解答]

( x + 3 )( x − 2 )

[解説] M

x+2= ^{とおくと，}

(

x+2

)

² −3

(

x+2

)

−4^＝

M

²

− 3 M − 4 = ( M + 1 )( M − 4 ) ( + 2 + 1 )( + 2 − 4 ) ( = + 3 )( − 2 )

= x x x x

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

(

x+3

)

² −7

(

x+3

)

+10 (2)

(

a+b

)

² +5

(

a+b

)

+6 [解答欄]

(1) (2)

[解答](1)

( x + 1 )( x − 2 )

(2)

( a + b + 2 )( a + b + 3 )

[解説]

(1) x+3=M^{とおくと，}

(

x+3

)

² −7

(

x+3

)

+10=M² −7M +10=

(

M −2

)(

M −5

) ( + 3 − 2 )( + 3 − 5 ) ( = + 1 )( − 2 )

= x x x x

(2) a+b=M ^{とおくと，}

(

a+b

)

² +5

(

a+b

)

+6=M²+5M +6=

(

M +2

)(

M +3

) (

= a+b+2

)(

a+b+3

)

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) a² −4a+4−b² (2)

x

⁴

− y

⁴

[解答欄]

(1) (2)

[解答](1)

( a + b − 2 )( a − b − 2 )

(2)

( x

²

+ y

²

) ( x + y )( x − y )

[解説]

(1) 少し難しい問題。a² −4a+4=

(

a−2

)

²になることに気づけば解ける。

( )

^{2 2}

2

2 4a 4 b a 2 b

a − + − = − −

M

a−2= ^{とおくと，}(式)＝

^M

²

− ^b

²

= ( ^M + ^b )( ^M − ^b )

−2

=a

M ^{を入れると，}(式)＝

( a − ² + b )( a − ² − b ) ( = a + b − ² )( a − b − ² )

(2)

^x

⁴

− ^y

⁴

= ( ) ( ) ( ^x

^{2 2}

− ^y

^{2 2}

= ^x

²

+ ^y

²

)( ^x

²

− ^y

²

) ( = ^x

²

+ ^y

²

) ( ^x + ^y )( ^x − ^y )

【】因数分解全般 [問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

x

²

+ 5 xy

(2) 2ax−ay+a

(3) x² +6x+5 (4) x² −6x+8

(5) x² −10x+25 (6) x² −36

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

[解答](1)

^x ( ^{x + 5 y} )

(2)

^a ( ^{2 x − y + 1} )

(3)

( ^{x + 1} )( ^{x + 5} )

(4)

( ^{x − 4} )( ^{x − 2} )

(5)

( x − ⁵ )

²

(6)

( x + 6 )( x − 6 )

[解説]

＊(1)，(2)は共通因数のくくりだし。

(1)

x

²

+ 5 xy = x × x + x × 5 y = x ( x + 5 y )

(2)

² ax − ay + a = a × ² x + a × ( ) − y + a × ¹ = a ( ² x − y + ¹ )

＊(3)，(4)は

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

(3) かけて5^，加えて6^になる2数は1^と5^なので，

x

²

+ 6 x + 5 = ( x + 1 )( x + 5 )

(4) かけて8^，加えて−6^になる2数は，−4^と−2^なので，

x

²

− ⁶ x + ⁸ = ( x − ⁴ )( x − ² )

(5) a² −2ab+b² =

(

a−b

)

^{2の公式を使う。}

x

²

− 10 x + 25

^で

x

^2は

x

^の2乗，25は5の2乗，10x はx×5×2^なので，x²−10x+25=

(

x−5

)

²

(6)

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

( ⁶ )( ⁶ )

6 36

^{2 2}

2

− = x − = x + x −

x

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1) 4ax−2a (2) 9x² −1

(3) x² +14x+49 (4)

16 y

²

+ 40 xy + 25 x

²

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4)

[解答](1)

2 a ( 2 x − 1 )

(2)

( 3 x + 1 )( 3 x − 1 )

(3)

(

x+7

)

² (4)

(

4y+5x

)

²

[解説]

(1)＊共通因数のくくりだし。

4 ax − 2 a = 2 a × 2 x − 2 a × 1 = 2 a ( 2 x − 1 )

(2)＊

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

( )

3 1

(

3 1

)(

3 1

)

1

9x² − = x ² − ² = x+ x−

(3)，(4)は^a2+^2ab+^b2 =

(

^a+^b

)

^{2の公式を使う。}

(3) x² +14x+49^で，x^2は

x

^の2乗，49は7の2乗，14x^はx×7×2^なので，

( )

²

2+14x+49= x+7 x

(4)

16 y

²

+ 40 xy + 25 x

^2で，

16 y

^2は4y^の2乗，25x^2は5x^の2乗，40xy^は

4 y × 5 x × 2

^なので，

^{16 y}

²

+ ^{40 xy} + ^{25 x}

²

= ( ^{4 y} + ^{5 x} )

²

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

6 x

²

y − 12 xy

²

+ 3 xy

(2)

x

²

− 4 x − 12

(3)

4 x

²

− 9 y

² (4)

9 x

²

+ 30 x + 25

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4)

[解答](1)

3 xy ( 2 x − 4 y + 1 )

(2)

( x + 2 )( x − 6 )

(3)

( 2 x + 3 y )( 2 x − 3 y )

(4)

(

3x+5

)

²

[解説]

＊(1)は共通因数のくくりだし。

(1)

6 x

²

y − 12 xy

²

+ 3 xy = 3 xy × 2 x + 3 xy × ( − 4 y ) + 3 xy × 1 = 3 xy ( 2 x − 4 y + 1 )

＊(2)は

^x

²

+ ( ^a + ^b ) ^x + ^ab = ( ^x + ^a )( ^x + ^b )

^{の公式を使う。}

(2) かけて−12^，加えて−4^になる2数は2, −6^なので，

^x

²

^{− 4 x − 12 =} ( ^{x + 2} )( ^{x − 6} )

＊(3)は

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

(3) ^4x2 −^9y2 =

( ) ( ) (

^{2x 2} − ^{3y 2} = ^2x+^3y

)(

^2x−^3y

)

＊(4)はa² +2ab+b² =

(

a+b

)

^{2の公式を使う。}

(4) 9x^2は3x^の2乗，25は5の2乗，30x^は3x×5×2^なので，

( )

²

2 30 25 3 5

9x + x+ = x+ [問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

[解答](1)

ab ( ³ a − ² b + ¹ )

(2)

( x − ⁷ )( x − ⁸ )

(3)

⁴ ( x − ¹ )( x − ² )

[解説]

(1)＊共通因数のくくり出しを行う。

( ^{2 1} )

2

3 a

²

b − ab

²

+ ab = ab a − b +

＊(2)，(3)は

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

(2) かけて56^，加えて−15^になる2数は，−7, −8^なので，

( 7 )( 8 )

56

2

− 15 x + = x − x −

x

(3) ＊共通因数があるときは，まず共通因数のくくり出しを行う。

( ^{3 2} )

4 8 12

4 x

²

− x + = x

²

− x +

^かけて

2

^，加えて−3^になる2数は

− 1 , − 2

^なので，

( ^{3 2} )

4 x

²

− x +

^＝

4 ( x − 1 )( x − 2 )

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) ax−bx (2)

x

²

y − 2 xy + xy

²

(3)

36 − y

² (4) −4x+x²+3

(5)

2 ax

²

− 2 ax − 12 a

(6)

− 9 a

²

+ 6 ab − b

² [解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

[解答](1)

x ( a − b )

(2)

xy ( x + y − 2 )

(3)

( y + 6 )( − y + 6 )

(4)

( x − 3 )( x − 1 )

(5)

2 a ( x + 2 )( x − 3 )

(6) −

(

3a−b

)

²

[解説]

＊(1)，(2)は共通因数のくくりだし。

(1)

^ax − ^bx = ^a × ^x − ^b × ^x = ^x ( ^a − ^b )

(2)

x

²

y − 2 xy + xy

²

= xy × x + xy × ( ) − 2 + xy × y = xy ( x − 2 + y )

^＝

xy ( x + y − 2 )

(3) ＊

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

( ⁶ )( ⁶ ) ( ⁶ )( ⁶ )

6

36 − y

²

=

²

− y

²

= + y − y = y + − y +

(4) ＊

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

3 4 3

4 + ²+ = ² − +

− x x x x

かけて3^，加えて−4^になる2数は−3, −1^なので，

x

²

− 4 x + 3 = ( x − 3 )( x − 1 )

＊(5)，(6)では，まず共通因数のくくり出しを行う。

(5)

^{2 ax}

²

^{− 2 ax − 12 a = 2 a} ( ^x

²

^{− x − 6} )

かけて−6^，加えて−1^になる2数は2, −3^なので，

2 a ( x

²

− x − 6 ) = 2 a ( x + 2 )( x − 3 )

(6) ^{−9a2 +6ab−b2 =−}

(

^{9a2 −6ab+b2}

)

⁼⁻

( ( )

^{3a 2 −2×3a×b+b2}

)

⁼⁻

⁽

^3a−b

⁾

²

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) ax−bx (2) x² −8x+12

(3)

9 x

²

− 12 xy + 4 y

² (4) a² −b²

(5)

ax

²

− 6 ax − 27 a

(6)

− 3 ax

²

− 12 a + 12 ax

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

[解答](1)

^x ( ^a − ^b )

(2)

( x − ² )( x − ⁶ )

(3)

(

^3x−^2y

)

² (4)

( ^a + ^b )( ^a − ^b )

(5)

a ( x + 3 )( x − 9 )

(6) −3a

(

x−2

)

²

[解説]

(1) ＊共通因数のくくり出し

ax − bx = x ( a − b )

(2) ＊

^x

²

+ ( ^a + ^b ) ^x + ^ab = ( ^x + ^a )( ^x + ^b )

^{の公式を使う。}

かけて12^，加えて−8^になる2数は−2, −6^なので，

x

²

− 8 x + 12 = ( x − 2 )( x − 6 )

(3) ＊a²−2ab+b² =

(

a−b

)

^{2の公式を使う。}

9 x

²

− 12 xy + 4 y

^2で，9x^2は3x^の2乗，

4y

^2は2y^の2乗，12xy^は3x×2y×2 なので，

9 x

²

− 12 xy + 4 y

²

= ( 3 x − 2 y )

²

(4) ＊

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

＊(5)，(6)では，まず共通因数のくくり出しを行う。

(5)

^ax

²

^{− 6 ax − 27 a = a} ( ^x

²

^{− 6 x − 27} )

^{かけて−27，加えて−6になる2数は}

^{3 , − 9}

なので，

^a ( ^x

²

^{− 6 x − 27} )

^＝

a ( x + 3 )( x − 9 )

(6)

^{− 3 ax}

²

^{− 12 a + 12 ax = − 3 a} ( ^x

²

^{− 4 x + 4} )

( )

²

2

2 2ab b a b

a − + = − ^{の公式を使うと，}

^{− 3 a} ( ^x

²

^{− 4 x + 4} )

^＝−3a

(

^x−2

)

²

＊x²の係数を＋にしないと，次の因数分解ができないので，3a^ではなく−3a^でくくる

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) 8a²b−4ab² (2)

4 x

²

− 25 y

²

(3) 9x²−30x+25 (4) 2a²−16ax+32a

(5) − − + (6)

−

[解答](1)

4 ab ( 2 a − b )

(2)

( 2 x + 5 y )( 2 x − 5 y )

(3)

(

3x−5

)

² (4)

2 a ( a − 8 x + 16 )

(5)

− 3 a ( x + 3 )( x − 1 )

(6)

4 ( x + 3 y )( x − 3 y )

[解説]

(1)＊共通因数のくくり出し

( ) b ab ( a b )

ab a ab ab

b

a − 4 = 4 × 2 + 4 × − = 4 2 −

8

^{2 2}

(2)＊

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

( ) ( ) ( ^{x y x y} )( ^{x y} )

y

x 25 2 5 2 5 2 5

4

²

−

²

=

²

−

²

= + −

(3)＊

a

²

− 2 ab + b

²

= ( a − b )

^{2の公式を使う。}

9 x

²

− 30 x + 25

^で，

9x

^2は3x^の2乗，25は5の2乗，30x^は3x×5×2^なので，

( )

²

2 30 25 3 5

9x − x+ = x−

＊(4)～(6)：まず共通因数のくくり出しを行う。

(4)

^{2 a}

²

^{− 16 ax + 32 a = 2 a} ( ^{a − 8 x + 16} )

(5)

^{− 3 ax}

²

^{− 6 ax + 9 a = − 3 a} ( ^x

²

^{+ 2 x − 3} )

^{かけて−3，加えて2になる}2数は3, −1 なので，

^{− 3 a} ( ^x

²

^{+ 2 x − 3} )

^＝

− 3 a ( x + 3 )( x − 1 )

(6)＊まず共通因数のくくりだし。次に

^a

²

− ^b

²

= ( ^a + ^b )( ^a − ^b )

^{の公式を使う。}

(

^{x y}

) (

^x

( )

^y

) ⁽

^{x y}

⁾⁽

^{x y}

⁾

y

x 36 4 9 4 3 4 3 3

4 ² − ² = ² − ² = ²− ² = + −

(注) 4x² −36y² =

( ) ( ) (

2x ²− 6y ² = 2x+6y

)(

2x−6y

)

はまだ，完全に因数分解を行っていない ので正解にはならない。

2 x + 6 y = 2 ( x + 3 y )

^，

2 x − 6 y = 2 ( x − 3 y )

とそれぞれ，さらに因数分 解できるので，

( ^{2 x} + ^{6 y} )( ^{2 x} − ^{6 y} ) ( = ^{2 x} + ^{3 y} ) ( × ^{2 x} − ^{3 y} )

^＝

⁴ ( ^x + ^{3 y} )( ^x − ^{3 y} )

^{とできるからである。}

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) 8x² +4x (2) 15ab² −9a²b

(3) x² −16 (4)

49 x

²

− 25 y

²

(5) x² −8x+16 (6) 4x² +12x+9

(7) x² −3x−18 (8) −9x+14+x²

(9)

y − x

²

y

(10) −3ax² −6ax+9a

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

(10)

[解答](1)

⁴ x ( ² x + ¹ )

(2)

^{3 ab} ( ^{5 b} − ^{3 a} )

(3)

( x + ⁴ )( x − ⁴ )

(4)

( ^{7 x} + ^{5 y} )( ^{7 x} − ^{5 y} )

(5)

(

x−4

)

² (6)

(

2x+3

)

² (7)

( x + 3 )( x − 6 )

(8)

( x − 7 )( x − 2 )

(9)

y ( x + 1 )( − x + 1 )

(10)

− 3 a ( x + 3 )( x − 1 )

[解説]

＊(1)，(2)は共通因数のくくり出し

(1)

8 x

²

+ 4 x = 4 x × 2 x + 4 x × 1 = 4 x ( 2 x + 1 )

(2)

15 ab

²

− 9 a

²

b = 3 ab × 5 b + 3 ab × ( − 3 a ) = 3 ab ( 5 b − 3 a )

＊(3)，(4)は

^a

²

− ^b

²

= ( ^a + ^b )( ^a − ^b )

^{の公式を使う。}

(3)

x

²

− 16 = x

²

− 4

²

= ( x + 4 )( x − 4 )

(4) 49x² −25y² =

( ) ( ) (

7x ² − 5y ² = 7x+5y

)(

7x−5y

)

＊(5)，(6)はa²+2ab+b² =

(

a+b

)

^2，a² −2ab+b² =

(

a−b

)

^{2の公式を使う。}

(5) x² −8x+16^で，x^2は

x

^の2乗，16は4の2乗，8x^はx×4×2^なので，

( )

²

2−8x+16= x−4 x

(6) 4x² +12x+9^で，4x^2は2x^の2乗，9は3の2乗，12x^は2x×3×2^なので，

( )

²

2 12 9 2 3

4x + x+ = x+

＊(7)，(8)は

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

(7) かけて−18^，加えて−3^になる2数は3, −6^なので，

x

²

− 3 x − 18 = ( x + 3 )( x − 6 )

(8) −9x+14+x² =x²−9x+14 ^かけて14^，加えて−9^になる2数は−7, −2 なので，x²−9x+14^＝

( ^{x − 7} )( ^{x − 2} )

＊(9)，(10)では，まず共通因数のくくり出しを行う。

(9)

y − x

²

y = y ( 1 − x

²

) = y ( 1 + x )( 1 − x ) ( = y x + 1 )( − x + 1 )

(10)

^{− 3 ax}

²

^{− 6 ax + 9 a = − 3 a} ( ^x

²

^{+ 2 x − 3} )

かけて−3^，加えて2^になる2数は3, −1^なので，

( ^{2 3} )

3

²

+ −

− a x x

^＝

− 3 a ( x + 3 )( x − 1 )

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) ab+3a (2) ^{2 2}

4 9a −1b

(3) 9a² −1 (4) x² −8x+16

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8)

[解答](1)

a ( b + 3 )

(2) 



 



 −



 



 a+ b a b 2 3 1 2

3 1 (3)

( 3 a + 1 )( 3 a − 1 )

(4)

(

x−4

)

²

(5)

(

^3a−^2b

)

² (6)

( x + ⁴ )( x + ² )

(7)

² ( x − ² )( x − ⁴ )

(8)

^{3 x} ( ^x + ^{2 y} )

[解説]

(1) ＊共通因数のくくり出し

( 3 )

3 = +

+ a a b ab

＊(2)，(3)は

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

(2)

( )





 



 −



 



 +

 =



 



−

=

− b a b a b a b

a 2

3 1 2 3 1 2

3 1 4

9 1

2 2 2

2

(3) 9a² −1=

( )

3a ² −1² =

(

3a+1

)(

3a−1

)

＊(4)，(5)はa²−2ab+b² =

(

a−b

)

^{2の公式を使う。}

(4) x² −8x+16^で，x^2は

x

^の2乗，16は4の2乗，8x^はx×4×2^なので，

( )

²

2−8x+16= x−4 x

(5) 9a² −12ab+4b^2で，9a^2は3a^の2乗，4b^2は2b^の2乗，12ab^は3a×2b×2 なので，9a²−12ab+4b² =

(

3a−2b

)

²

＊(6)，(7)は

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

(6) かけて8^，加えて6^になる2数は4, 2^なので，

x

²

+ 6 x + 8 = ( x + 4 )( x + 2 )

(7) ＊共通因数がある場合は必ず最初くくりだしておく。

( ^{6 8} )

2 16 12

2 x

²

− x + = x

²

− x +

^かけて8^，加えて−6^になる2数は−2, −4 なので，

² ( ^x

²

^{− 6 x + 8} )

^＝

2 ( x − 2 )( x − 4 )

(8) A=2x+ y, B= x−y^{とおくと，}

(

^2x+^y

) (

²− ^x−^y

)

^2＝

^A

²

− ^B

²

= ( ^A + ^B )( ^A − ^B )

＝

( 2 x + y + x − y )( 2 x + y − x + y ) = 3 x ( x + 2 y )

[問題](1学期中間)

次の式を因数分解せよ。

(1)

4 x

²

− 20 xy + 25 y

² (2) 3x² +12x−36 (3) −ax² +3ax+18a

[解答欄]

(1) (2) (3)

[解答](1)

(

2x−5y

)

² (2)

3 ( x + 6 )( x − 2 )

(3)

− a ( x + 3 )( x − 6 )

[解説]

(1) ＊^a2−^2ab+^b2 =

(

^a−^b

)

^{2の公式を使う。}

4 x

²

− 20 xy + 25 y

^2で，

4x

^2は2x^の2乗，

25 y

^2は5y^の2乗，20xy^は2x×5y×2 なので，4x²−20xy+25y² =

(

2x−5y

)

²

＊(2)，(3)共通因数があるものは，まず共通因数でくくる。

(2)

^{3 x}

²

^{+ 12 x − 36 = 3} ( ^x

²

^{+ 4 x − 12} )

^{かけて−12，加えて4になる 2 数は6と−2なので，}

( ^{4 12} )

3 x

²

+ x −

^＝

³ ( x + ⁶ )( x − ² )

(3)

^{− ax}

²

^{+ 3 ax + 18 a = − a} ( ^x

²

^{− 3 x − 18} )

かけて−18^，加えて−3^になる2数は−6^と3^なので，

(

²

^{− 3 − 18} )

− a x x

^＝

− a ( x + ³ )( x − ⁶ )

[問題](1学期期末) 次の式を因数分解せよ

(1)

5 x

²

− 10 xy

(2) x² −15x+36

(3)

x

²

+ 8 x + 16

(4)

x

²

− 100

(5) 2

2 1

2x² − x+ (6)

3 x

²

y − 36 xy

²

+ 3 x

³ [解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

[解答](1)

5 x ( x − 2 y )

(2)

( x − 3 )( x − 12 )

(3)

(

x+4

)

² (4)

( x + 10 )( x − 10 )

(5)

(

2 1

)

²

2

1 x− (6)

^{3 x} ( ^x + ^{4 y} )( ^x − ^{3 y} )

[解説]

(1) ＊共通因数のくくり出し

( y ) x ( x y )

x x x xy

x 10 5 5 2 5 2

5

²

− = × + × − = −

(2) ＊

^x

²

+ ( ^a + ^b ) ^x + ^ab = ( ^x + ^a )( ^x + ^b )

^{の公式を使う。}

かけて36^，加えて−15^になる2数は−3, −12^なので，

36

2 −15x+

x ^＝

( x − 3 )( x − 12 )

(3) + + =

(

+

)

²

(5) 少し難しい問題

2 4 1 2 4 1 2 1 2 2 1

2x²− x+ = × x²− × x+ ^＝

(

^{4 4 1}

)

2

1 x2− x+

＝

( ( )

^{2 2 2 2 1 12}

)

2

1 x − × x× + ^＝

(

^{2 1}

)

²

2 1 x−

(6) まず共通因数の3x^{でくくり出す。}

3 2

2

36 3

3 x y − xy + x

^＝

^{3 x} ( ^{xy − 12 y}

²

^{+ x}

²

) ( ^{= 3 x x}

²

^{+ yx − 12 y}

²

)

かけて

− 12 y

^{2，加えて}y^になる2数は4y, −3y^なので，

^{3 x} ( ^x

²

^{+ yx − 12 y}

²

)

^＝

^{3 x} ( ^x + ^{4 y} )( ^x − ^{3 y} )

[問題](1学期期末)

次の式を因数分解せよ。

(1) x² +9x+14 (2) a² −10a+9

(3) 49−9b² (4)

4 y

²

− 4 y − 15

(5)

11 xy + x

²

+ 30 y

² (6) ^{2 2}

4 3ab 9b

a − +

(7)

xy

²

− x

(8)

2 x

²

y − 8 xy + 6 y

(9)

^m ( ^x

²

^{+ x} ) ^{− 6 m}

^{(10) ab−a+b−1}

[解答欄]

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

(10)

[解答](1)

( x + 2 )( x + 7 )

(2)

( a − 1 )( a − 9 )

(3)

( 3 b + 7 )( − 3 b + 7 )

(4)

( 2 y + 3 )( 2 y − 5 )

(5)

( x + 5 y )( x + 6 y )

(6)

2

2 3 



 

  − a b

(7)

x ( y + 1 )( y − 1 )

(8)

2 y ( x − 1 )( x − 3 )

(9)

m ( x + 3 )( x − 2 )

(10)

( a + 1 )( b − 1 )

[解説]

＊(1)，(2)は

^x

²

+ ( ^a + ^b ) ^x + ^ab = ( ^x + ^a )( ^x + ^b )

^{の公式を使う。}

(1) かけて14^，加えて9^になる2数は2, 7^なので，

x

²

+ 9 x + 14 = ( x + 2 )( x + 7 )

(2) かけて9^，加えて−10^になる2数は−1,−9^なので，

a

²

− 10 a + 9 = ( a − 1 )( a − 9 )

(3)＊

a

²

− b

²

= ( a + b )( a − b )

^{の公式を使う。}

( ) (

b b

)(

b

)

b 7 3 7 3 7 3

9

49− ² = ² − ² = + − ^＝

( 3 b + 7 )( − 3 b + 7 )

(4) 4y² −4y−15=

( )

2y ² −2×

( )

2y −15 ^かけて−15^，加えて−2^になる2数は 5

,

3 − ^なので，

( )

2y ² −2×

( )

2y −15^＝

( 2 y + 3 )( 2 y − 5 )

(5) ＊

x

²

+ ( a + b ) x + ab = ( x + a )( x + b )

^{の公式を使う。}

2 2

2

2

30 11 30

11 xy + x + y = x + yx + y

^かけて

30 y

^{2，加えて}11y^になる2数は y

y, 6

5 ^なので，

x

²

+ 11 yx + 30 y

^2＝

( x + 5 y )( x + 6 y )

(6)＊

a

²

− 2 ab + b

²

= ( a − b )

^{2の公式を使う。}

^{2 2}

4 3 ab 9 b

a − +

^で，

a

^2は

a

^の2乗， ²

4

9 b

^は

b 2

3

の2乗，3ab^は

2 2 3 ×

× b

a

^なので，

2 2

2

2 3 4

3 9 



 

 −

= +

− ab b a b

a

(7)＊まず共通因数のくくりだし。

^a

²

− ^b

²

= ( ^a + ^b )( ^a − ^b )

^{の公式を使う。}

(

²

¹ ) ( ¹ )( ¹ )

2

− x = x y − = x y + y −

xy

(8)＊まず共通因数のくくりだし。

^{2 x}

²

^{y − 8 xy + 6 y = 2 y} ( ^x

²

^{− 4 x + 3} )

かけて3^，加えて

− 4

^になる2数は

− 1 , − 3

^なので，

( ^{4 3} )

2 y x

²

− x +

^＝

² y ( x − ¹ )( x − ³ )

(9)＊まず共通因数のくくりだし。

^m ( ^x

²

^{+ x} ) ^{− 6 m = m} ( ^x

²

^{+ x − 6} )

かけて−6^，加えて1^になる2数は3, −2^なので，

( ^x

²

^{+ x − 6} )

m

^＝

m ( x + ³ )( x − ² )

(10) 前2項を

a

^{でくくると，}

ab − a + b − 1 = a ( b − 1 ) ( + b − 1 )

M

b−1= ^{とおくと，}(式)＝

aM + M = ( a + ¹ ) M = ( a + ¹ )( b − ¹ )

[問題](1学期期末)

次の文の( )にあてはまることばを書け。

多項式x²+3x+2^は，x+1^とx+2の積として表すことができる。このとき，x+1^とx+2 をx²+3x+2^の( )という。

[解答欄]

[解答] 因数

[問題](1学期期末)

次の( )にあてはまることばや式を答えよ。

多項式x² +3x+2^を

x

²

+ 3 x + 2 = ( x + 1 )( x + 2 )

^のようにx+1^とx+2^{の積として表したと} き，x+1^とx+2^をx²+3x+2^の( ① )という。また，多項式をいくつかの( ① )の積に して表すことを，その多項式を( ② )するという。

多項式の各項に共通な( ① )があるとき，それを( ③ )にくくりだして，式を( ② ) することができる。

例えば，

x

²

+ 2 xy

^{には共通な}( ① )である( ④ )があるから

x

²

+ 2 xy

^＝( ④ )(( ⑤ ))と( ② )できる。

[解答欄]

① ② ③

④ ⑤

[解答] ① 因数 ② 因数分解 ③ 外 ④

x

^⑤

x + 2 y

ドキュメント内 【FdData中間期末過去問題】中学数学3年(乗除/乗法公式/因数分解) (ページ 41-61)